数学建模城市幸福指数.docx
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数学建模城市幸福指数
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明口，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年—月—日
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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评阅人
评分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:
摘要1
1问题重述2
2问题分析2
3模型假设3
4符号约定3
5模型的建立和求解3
5.1问题一3
5.1.1模型建立3
5.1.2模型求解6
5.2问题二8
5.2.1模型建立8
5.2.2模型求解9
6模型的评价与推广15
7写给学校管理管理部门的一封信
8参考文献
附录A17
表A-117
表A—218
附录B18
幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，乂是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。
通过调查大量的文献，参考权威人士的研究，对问题一建立了贝叶斯佔讣模型，采用白分制，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的，通过mat"b编程计算结果与实际值十分贴近。
在问题二中，尝试构建了新的层次分析法和爛值法的综合评价模型。
肖•先我们搜集了师生的调查问卷数据，构建了幸福指数的二级指标体系。
山于一级隐性指标没有相关数据，我们采用层次分析法确定权重并进行一致性检验。
对于二级数据齐全的显性指标，选择爛值法可以更加客观的给出各指标的权重。
最后运用加权评价法得出幸福指数，教师和学生的幸福指数都在69-70之间，通过模型显示结果找到了影响幸福感的主要因素。
问题三，以模型的适用范围、幸福指数的可信度、算法特点与结果检验等方面对模型进行评价和推广。
论文的最后根据调查分析结果给学校的管理部门耳了封短信。
关键词：
贝叶斯估计层次分析法爛值法加权评价法matlab
1问题重述
改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。
但也有越来越多的人开始思考：
我们大力发展经济，最终LI的是为了什么？
温家宝总理近年来多次强调：
我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。
在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。
幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，乂是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。
它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。
而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。
美国.英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。
如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，白姓幸福指数就可以成为一个衡量白姓幸福感的标准。
百姓幸福指数与GDP—样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。
可以说，作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”o国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。
根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：
1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。
2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。
3、你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。
4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门（例如政府、或学校管理部门等）写一封短信（1000字以内），阐明你对幸福的理解和建议。
2问题分析
2.1问题一分析
对于幸福感的评价是一个定性的评价，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。
材料中给出了网民幸福指数的调查结果，可以默认为广大网民幸福指数的样本。
在建立模型过程中，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的。
评分规则山有利提高幸福指数依次升高，指标得分为20、40、60、80、100。
贝叶斯统讣的特点在于利用先验信息形成的先验分布，参与统讣的推断。
本模型中考虑到网民的幸福指数本质上是一种主观多级量化评分的贝叶斯模型。
山此，我们建立评价幸福感的指标体系并根据指标建立衡量幸福感的贝叶斯估计模型。
2.2问题二分析
问题一所建立的模型没有考虑到各指标对幸福指数的权重大小，在客观评价上有所欠缺。
我们通过网上查找资料和分析，对评价幸福指数的建立了新的数学模。
幸福指数可以山一级隐性指标和二级显性指标来进行评判，笫一级的隐性指标山身体状况、人际关系、生活环境、物质条件、自身价值（学生幸福感第一级指标：
环境、校园生活、自我实现、学习状况）组成。
建立的层次分析结构如图3、4所示。
对于一级隐形指标，山于没有相关数据，我们采用层次分析法对一级指标的权重进行赋值。
然后根据笫二级指标数据量齐全，采用了更加客观的爛值法对二级指标赋权，得出二级指标和一级指标的关系，再根据第一级与幸福指数的关系运用加权平均法得出对幸福指数的量化值。
3模型假设
1）被调查对象所反映的思想都是内心的真实想法
2）调查范围足够广
3）所抽取的样本忽略社会各个阶层的差异
4）对上下级指标量化相对关系的权重时，忽略主观因素的影响
5）调査问卷是随机的，网民分布均匀
6）提取主成分的过程中，不考虑信息量损失对模型结果的影响
4符号约定
符号
含义
%
第j个指标分数序号为i的票数
Z
分数序号为i的所有指标的总投票数
Xi
贝叶斯估计值
P
实际幸福指数
P*
模型计算幸福指数值
£
残差
A
对比矩阵
第i个指标对上级指标的权重
£
调查问卷中第i个一级指标
%
调查问卷中属i个一级指标下第j个二级指标
fij
第i个一级指标下第j个二级指标的分数
仟
第i个指标的分数
CR
一致性指标
CI
A的一致性指标
RI
平均一致性指标
5模型的建立与求解与检验
5.1问题一
5.1.1模型建立
在建立此模型前，首先对网民调查指标量化处理，如下表:
表1幸福程度量化值
序号
内容
量化值（分数）
1
很不幸福
20
2
不太幸福
40
3
_般
60
4
比较幸福
80
5
非常幸福
100
而对网民各指标的设定，有Z=2j=i^-；，（£="34,5）,其中n为指标个
数，（其量化分析见附表A-l）o
由贝叶斯估计法…k=£莒夠，X=Z,其中X：
为贝叶斯估计值。
由贝叶斯估计（原理见北京市幸福指数的贝叶斯估计），得出幸福指数模型
=r（^7T,X）=J
n+（（m+l）/2k）
化简公式，可得网民幸福指数模型为：
_iZ2+（l/2k）=-rr+（（m+l）/2k）
5.1.2模型求解与检验
将附表1为z矩阵，带入matlab运行（程序见附录A）,结果如下：
n=18
m=5
Z=2005443512306122434597
k=1977
P=0.056340.124620.345780.344010.12917
与附表中题一的数据进行对比，比较结果为：
表2幸福指数计算值与实际值的比较
量化值
20
40
60
80
100
实际幸福指数R
0.05665
0.12443
0.34598
0.34396
0.12898
模型幸福指数
0.05634
0.12462
0.34578
0.34401
0.12917
残差£
0.00031
0.00019
0.0002
0.00005
0.00019
运用excel作图，可以看出，附表中的总体幸福感指数与模型讣算幸福指数差距棋微，拟合度高。
/通用格式
/通用格式
/通屈格式
/通屈格式
/通用林式
/通用林式
/通用榕式
/通用榕式
12345
图1幸福指数实际值与计算值比较
通过对残差的考察来判断模型的精度，利用相对误差检验标准来检验幸福指数的贝
叶斯模型。
相对误差序列'刃
平均相对误差2招〜亠
八"）
模拟误差亠叫
幸福指数贝叶斯模型的平均相对误差40001839<0.01，模拟误差A&=0.001473<0.1,贝叶斯幸福指数模型为一级模型。
可看出该模型的计算结果与附表中网民总幸福感的统讣值儿乎一致，山此证明本模型用贝叶斯模型的可行性与准确度因此也用于预测网民的幸福指数。
图2网民幸福感比重
网民幸福感的比重，可以看出大部分人觉得现在自己是幸福的，但是那些觉得不幸福的群体更应该引起关注。
通过讣算得到网民幸福感总分为67.4042,可见整体网民的幸福感属于一般程度。
社会以及政府更应该加大力度，创造一个更加祥和幸福的环境。
5.1.2模型求解
5.2问题二
5.2.1模型建立
1、建立幸福指标体系表
我们通过网络等匚具查询到一份关于幸福指数的调查报告，并根据结果整合得到如下图。
身体健康
身体
业余
工作
生活
师生
朋友
家人
工作
发挥
社会
薪资
社会
住房
了解
社会
学校
状况
生活
压力
态度
关系
同事
关系
环境
才能
公平
状况
经济
条件
职责
形象
发展
Vu
V12
VI3
V14
5
关系
V22
V23
V31
平台
程度
Vh
发展
V42
所在
V51
V52
前景
%
图3教师幸福感层次分析
图4学生幸福感层次分析
2、层次分析法求一级权重
（1）构造两两比较判断矩阵。
设要对比n个因素对口标z的影响。
（1）
其中fl..>0,ajt=\!
a..（心J）a.=1（i,j=l,2,...n）⑵
III
（1）
（2）构成的矩阵为正反比较判断矩阵，其中坷根据saaty等人提出用1-9尺度作为尺度，见表3。
表31-9尺度Aij的含义
尺度
含义
1
Ai与Aj的影响相同
3
Ai比Aj的影响稍强
5
Ai比Aj的影响强
7
Ai比Aj的影响明显的强
9
Ai与Aj的影响绝对的强
2,468
Ai与Aj比的影响在上述两个相邻等级之间
1,1/2…・1/9
Ai与Aj的影响之比为Aij上而的互反数
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个。
用1~3,1〜5,・・・l~17,・・・,lp~9p（p=2,3A5）,d+0・l~d+0・9（d=123,4）等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优
用matlab软件得出一级指标对幸福指数的权重向量。
（mdtldb代码见附录B）由此可得出影响教师幸福感的主要因素。
（2）层次分析法的一致性检验。
首先计算A的最大特征值人ax，再计算一致性指标CI,定义
C/=Anax_"
7?
-1
（3）
式中，n为A的阶数，当CI二0,即2max=n时，A有完全一致性，CI越大，A的一致性越差。
将CI于平均随机一致指标RI进行比较，令CR=罟,称RI为随机性一致性比率。
、“|CR<0.10时，A具有满意的一致性，否则要对A重新调整，知道具有满意的一致性。
表4RI随机一致性指标值
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.90
1.24
132
1.41
1.45
1.49
1.51
3、嫡值法求二级权重
（1）对二级指标进行归一化处理，消除量纲的影响。
公式如下:
计算第i项指标下第j想因素的爛值
釘轻'式中'別孕月
（7）
（5）计算第i项指标下第j项因素的权重
乞gj
（8）
此过程可用matlab编程求解，代码见附录C。
4、加权平均法求幸福指数
我们采用白分制体系对调查的结果进行量化，得到加权分。
其评分表如下：
表5评分表
等级
非常满意
满意
一般
不满意
很不满意
100分制
100
80
60
10
20
量化计算方法如下:
fij=100V1+80%・2+60%・3+40晞+20%・5
（9）
即通过每一个选项的票数在总票数中的口分比与其他相应分值相乘所得乘积并相
加。
最后通过加权平均法算出第一层各项得分情况:
Fi=fWji=l,23...
（10）
最后，幸福指数H二F*W。
5.2.2模型求解
1、教师幸福指数求解
一级指标两两的比较判断矩阵为:
3
丄
2
£
3
1
fl
5
£
6
£
3
1
<6
用matlab编程求解得一级权W=（0.4891,0.1384,0.0852,0.2304,0.0569）一致性比例CR=0・0012<0.1通过检验，w可作为一级权重。
图5教师幸福感各指数比重
用爛值法编程求的的二级指标的权重如下：
vv,=（0.21180.23270.39160.1638）
=（0.41580.21310.3711）
w3=（0.37410.40110.2247）
w4=（0.27990.46080.2593）
些二（0.32770.46340.2090）
对教师调查问卷数据100分制量化得
f1=（69.85,71.71,73.46,59.1）
f2二（59.94,78.66,83.66）
f3二（69.9125,72.14,56.7）
f4=（61.96,64.5,65.16）
f5=（77.66,77.64,75.43）
通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情况如下:
F1
F2
F3
F1
F5
69.93
72.73
67.83
63.96
85.30
幸福指数：
H=F*W=69.64
2、学生幸福指数求解
一级指标两两的比较判断矩阵为:
33
22
11
2
21
用matlab编程求解得一级权W=（0.0807,0.4427,0,1969,0.2797）一致性比例CR二0.0240<0.1通过检验，w可作为一级权重。
图5学生幸福感各指数比垂
用爛值法编程求的的二级指标的权重如下：
忙（0.1362,0.3808,0.2128,0.2702）
w2=（0.1124,0.3731.0.3004,0.2142）
w3=（0.5352,0.1942,0.2706）
w4=（0.3500,0.1701,0.2550,0.2248）
对教师调查问卷数据100分制量化得fl=（61.29,69.90,73.71,67.33）
f2=（59.2,63.2&79.92,72.08）
f3=（70.17,63.19,73.1）
f4=（71.97,67.83,72.43,66.8）
通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情况如下:
F1
F2
F3
F4
68.84
69.75
69.61
70.21
幸福指数：
H=F*W=69.78
6模型的评价与推广
问题一模型：
采用贝叶斯模型能够对网民群体的不同幸福体验佔算出比较准确的不同阶段的幸福感比例。
并经过检验之后可以得出比较正确的数值，便于管理部门获得基本数据。
但本模型的针对对象单一，而且指标的额选取也没有涉及到其主要组成的权重因素，因此它的使用是有限制条件和前提的，因此它不可以推广到更加普遍的人群，但是对于固定单一的人群，釆用此方法是很可取的。
问题二模型：
层次分析法是一种主观确定权重的方法，它可以把复杂的研究对象简化为比较系统、有条理、有序的结构，便于分析和统讣。
而且层次分析的使用范围广，所需的数据信息少。
但山于它的主观性，定量数据少，定性成分多，不能消除知识的局限性，不易令人幸福。
所以层次分析法的适用范rar,不需要具体样本数据，专家仅凭对评价指标的内涵和理解即可做出判断。
嫡值法，是一种客观的评价方法，深刻的反应了指标信息爛值得效用价值，其给出的指标权至的可信的比层次分析法高。
但它需要样本数据多，信息量大，在应用上受到限制。
所以它适用于数据量大的悄况下进行更加合理的评判。
综上，可以对复杂问题进行分析，在各级指标有间同时釆用这两种赋权方法可以使结果更具可信度。
该模型可用于管理人员绩效评佔、民意调查、各种活动影响力的分析等方面。
7给学校管理者的一封信
8参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊•数学模型•北京•高等教育出版社.2011
[2]吴喜之•现代贝叶斯统计学（M）•中国统计出版社.2004
[3]刘卫国.MATLAB程序设计教程•北京•高等教育出版社.2006.07
[4]王莲芬，许数柏•层次分析法引论（M）•北京•北京大学出版社.1990
[5]樊宏，戴良铁•基于层次分析法的岗位评价报酬要素权重确定方法（J）.2004
[6]郭显光.改进的爛值法及其在经济效益评价中的应用[J].系统丄程理论与实践.1998.12
9附录:
附表A指标量化数据
J值'
11
2
3
4
5
、20
40
60
80
100
1
189
447
807
412
122
2
85
270
825
607
190
3
298
354
627
398
300
4
44
205
793
673
262
5
116
189
579
724
369
6
109
253
1016
431
168
7
36
94
411
898
538
8
41
73
319
1153
391
9
179
429
812
400
157
10
49
71
341
1168
348
11
50
228
657
813
229
12
330
626
482
405
134
13
61
201
411
1028
276
14
70
185
780
677
265
15
151
311
839
492
184
16
69
140
665
744
359
17
118
200
943
506
210
18
10
159
999
714
95
附表B教师调查人数为1600人
1.薪水水平满意程度（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常满意
205
2
比较满意
345
3
满意
589
4
不满意
324
5
非常不满意
137
2.良好的工作环境（单选题）
选项
内容
得票数
1
环境特别好
337
2
环境比较好
423
3
环境还可以
596
4
环境差
184
5
环境很差
60
3.近一年来您的身体健康情况如何（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常好
322
2
比较好
473
3
一般
556
4
不好
169
5
很差
80
4.了解自己的职责所在（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常了解
505
2
比较了解
655
3
了解
260
4
不了解
108
5
非常不了解
72
5有充分发挥才能的平台（单选题）
选项
内容
得票数
1
能够尽情好的发挥
336
2
可以发挥自己的才能
582
3
一般
433
4
不能很好的发挥
205
5
没有发挥的平台
40
6.学校具有良好的社会形象（单选题）
选项
内容
得票数
1
形象非常好
482
2
形象比较好
522
3
形象还可以
536
4
形象差
45
5
形象很差
15
7.您的业余生活（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常充实
372
2
比较充实
476
3
一般
535
4
很少
151
5
几乎没有
66
&感受到学校的发展前
景（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常乐观
552
2
比较乐观
459
3
一般
339
4
不乐观
171
5
悲观
79
9.您觉得工作/生活上白
勺压力大吗？
（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常大
301
2
较大
636
3
一般
512
4
有一点
141
5
儿乎感觉不到
10
10•总体来讲，您对生活的态度怎样?
（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常满意
156
2
很满意
376
3
一般
425
4
不满意
526
5
非常不满意
117
11•请问您对现在社会公平程度的看法？
（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常公平
151
2
比较公平
325
3
一般
399
4
不公平
559
5
很不公平
166
12.您和学生之间的关系怎样？
（单选题）
选项
内容
得票数
1
非常好
79
2
比较好
226
3
升级会员 