概率论与数理统计与其应用第二版课后答案浙江大学.docx
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概率论与数理统计与其应用第二版课后答案浙江大学
概率论与数理统计及其应用习题解答
第1章随机变量及其概率
1，写出下列试验的样本空间：
（1）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2）连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4）抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰
子，观察出现的各种结果。
解：
（1）S{2,3,4,5,6,7}；
（2）S{2,3,4,}；（3）S{H,TH,TTH,TTTH,}；
（4）S{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。
2，设A,B是两个事件，已知P（A）0.25,P（B）0.5,P（AB）0.125,，求
______
P（AB）,P（AB）,P（AB）,P[（AB）（AB）]。
解：
P（AB）P（A）P（B）P（AB）0.625，
P（AB）P[（SA）B]P（B）P（AB）0.375，
___
P（AB）1P（AB）0.875，
___
P[（AB）（AB）]P[（AB）（SAB）]P（AB）P[（AB）（AB）]0.625P（AB）0.5
3，在100，101，⋯，999这900个3位数中，任取一个3位数，求
不包含数字1个概率。
1
概率论与数理统计及其应用习题解答
解：
在100，101，⋯，999这900个3位数中不包含数字1的3位数
的个数为899648，所以所求得概率为
648
900
0.72
4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全
体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；
（2）求该
数大于330的概率。
解：
仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全
体三位数的个数有554100个。
（1）该数是奇数的可能个数为
44348个，所以出现奇数的概率为
48
0.48
100
（2）该数大于330的可能个数为24545448，所以该数大于
330的概率为
48
0.48
100
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列
事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解:
（1）所求概率为C52C41C31
8；
C124
33
2
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）所求概率为C42C82
C43C81
C44
201
67；
C124
495
165
（3）所求概率为
C74
35
7
。
C124
495
165
6，一公司向M个销售点分发n（nM）张提货单，设每张提货单分发给
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
特定的销售点得到k（kn）张提货单的概率。
解：
根据题意，n（nM）张提货单分发给M个销售点的总的可能分法
有Mn种，某一特定的销售点得到
k（k
n）张提货单的可能分法有
Cnk（M1）nk种，所以某一特定的销售点得到
k（kn）张提货单的概率为
Cnk（M
1）nk
Mn
。
7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子
装一只球。
若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。
（1）求3只球至少有1只配对的概率。
（2）求没有配对的概率。
解：
根据题意，将3只球随机地放入
3只盒子的总的放法有
3！
=6
种：
123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有
2种：
312，231。
至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。
所以
（2）没有配对的概率为2
1；
6
3
（1）至少有1只配对的概率为11
2。
3
3
3
概率论与数理统计及其应用习题解答
8，
（1）设P（A）0.5,P（B）0.3,P（AB）0.1,，求P（A|B）,P（B|A）,P（A|AB）,
P（AB|AB）,P（A|AB）.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。
连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解：
（1）由题意可得P（A
B）
P（A）P（B）
P（AB）
0.7，所以
P（A|B）
P（AB）
0.1
1，
P（B|A）
P（AB）
0.1
1，
P（B）
0.3
3
P（A）
0.5
5
P（A|A
B）
P[A（AB）]
P（A）
5，
P（AB）
P（AB）
7
P（AB|A
B）
P[AB（A
B）]
P（AB）
1，
P（A
B）
P（A
B）
7
P（A|AB）
P[A（AB）]
P（AB）
P（AB）
1。
P（AB）
（2）设Ai（i
1,2,3,4）表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可
以用它的补来表示。
那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球
可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）
P（A1A2A3A4）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2A3）
6
7
5
4
840
11
12
13
12
0.0408。
20592
9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取
一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另
一只也是红球的概率。
解：
设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只
4
概率论与数理统计及其应用习题解答
也是红球”记为事件B。
则事件A的概率为
2
2
2
1
5
P（A）2
3
4
3
（先红后白，先白后红，先红后红）
4
6
所求概率为
P（AB）
2
1
1
4
3
P（B|A）
5
5
P（A）
6
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最
后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。
以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列
概率。
（1）P（A）,P（B）；
（2）P（B|A）；（3）P（B|A）；（4）P（A|B）；（5）P（A|B）。
解：
（1）根据题意可得
P（A）P（AB）
P（AB）
5%45%50%；
P（B）
P（BA）
P（BA）
5%10%15%；
P（AB）
5%
；
（2）根据条件概率公式：
P（B|A）
0.1
P（A）
50%
（3）P（B|A）
P（BA）
10%
0.2；
P（A）
1
50%
（4）P（A|B）
P（AB）
1
45%
9；
P（B）
15%17
（5）P（A|B）
P（AB）
5%
1。
P（B）
15%
3
5
概率论与数理统计及其应用习题解答
11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽
6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：
根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1
个r。
从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2
个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取
的概率。
最后要求的概率为
2231
31
36
1
；或者
C21C21C31C11C31C11
1
。
111098
76
332640
9240
A116
9240
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：
症状A、症状B，有20%
的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，
其他的人两种症状都没有。
在患这种病的人群中随机地选一人，求
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：
（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状
都没有的概率为120%30%10%40%；
（2）至少有一种症状的概率为140%60%；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或
者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在
已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
10%
1。
30%
10%
4
6
概率论与数理统计及其应用习题解答
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随
机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线
通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1
0.4
0.9998
2
0.3
0.9999
3
0.1
0.9997
4
0.2
0.9996
解：
设“讯号通过通讯线
i进入计算机系统”记为事件
Ai（i1,2,3,4），
“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。
则根据全概率公式有
4
P（B）
P（Ai）P（B|Ai）0.40.99980.30.99990.10.99970.20.9996
i1
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。
已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。
解：
设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名
被检验者确实患有关节炎”记为事件B。
根据全概率公式有
P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）10%85%90%4%12.1%，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
P（BA）
P（B）P（A|B）
10%（185%）
17.06%
P（B|A）
1P（A）
112.1%
P（A）
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为
17.06%.
7
概率论与数理统计及其应用习题解答
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：
设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。
则根据全概率公式有
3
P（M）
P（Ni）P（M|Ni）0.6
0.01
0.30.05
0.10.040.025，
i1
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P（N1
P（N1）P（M|N1）
0.6
0.01
，
|M）
0.24
P（M）
0.025
P（N2
P（N2）P（M|N2）
0.3
0.05
|M）
0.60，
P（M）
0.025
P（N3
P（N3）P（M|N3）
0.1
0.04
。
|M）
0.16
P（M）
0.025
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信
的。
又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而
全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。
求由密码钥匙传送的一讯息是
可信讯息的概率。
解：
设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信
的”记为事件B。
根据Bayes公式，所要求的概率为
P（AB）
P（B）P（A|B）
95%1
P（B|A）
P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）
99.9947%
P（A）
95%15%0.1%
8
概率论与数理统计及其应用习题解答
17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二
次得H”，“两次得同一面”。
试验证A和B，B和C，C和A分别相
互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。
解：
根据题意，求出以下概率为
P（A）
P（B）
1，
P（C）
1
1
1
1
1；
2
2
2
2
2
2
P（AB）
1
1
1，
P（BC）
P（CA）
1
1
1，P（ABC）
1
1
1。
2
2
4
2
2
4
2
2
4
所以有
P（AB）P（A）P（B），P（AC）P（A）P（C），P（BC）P（B）P（C）。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。
但是
P（ABC）P（A）P（B）P（C）
所以A,B,C不是相互独立。
18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,
0.7,0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互
独立，求
（1）恰有一人进球的概率；
（2）恰有二人进球的概率；（3）
至少有一人进球的概率。
解：
设“A,B,C进球”分别记为事件Ni（i1,2,3）。
（1）设恰有一人进球的概率为p1，则
p1P{N1N2N3}P{N1N2N3}P{N1N2N3}
P（N1）P（N2）P（N3）P（N1）P（N2）P（N3）P（N1）P（N2）P（N3）（由独立性）
0.50.30.40.50.70.40.50.30.6
0.29
9
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）设恰有二人进球的概率为p2，则
p2P{N1N2N3}P{N1N2N3}P{N1N2N3}
P（N1）P（N2）P（N3）P（N1）P（N2）P（N3）P（N1）P（N2）P（N3）（由独立性）
0.50.70.40.50.70.60.50.30.6
0.44
（3）设至少有一人进球的概率为p3，则
p31P{N1N2N3}1P（N1）P（N2）P（N3）10.50.30.40.94。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的
A-RH+血才能得救。
设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。
求病人能得救的概率。
解：
根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个
人才验出是A-RH+型血。
问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？
因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
10
概率论与数理统计及其应用习题解答
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠
性。
如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的
方式连接，设元件的可靠性均为
p，试求系统的可靠性。
解：
设“元件i能够正常工作”记为事件Ai（i1,2,3,4,5）。
1
2
那么系统的可靠性为
3
P{（A1A2）（A3）
（A4A5）}P（A1A2）
P（A3）
P（A4A5）
4
5
P（A1A2A3）
P（A1A2A4A5）P（A3A4A5）
P（A1A2A3A4A5）
第20题
P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）P（A5）P（A1）P（A2）P（A3）P（A1）P（A2）P（A4）P（A5）
P（A3）P（A4）P（A5）P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）P（A5）
p2
p
p2
p3
p4
p3
p5
p2p2
2p3
p4
p5
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。
若真含
有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不
含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂
质的概率分别为0.4，0.6。
今独立地对一产品进行了3次检验，结果
是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真
含有杂质的概率。
（注：
本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：
设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，
结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事
件B。
则要求的概率为P（A|B），根据Bayes公式可得
P（A）P（B|A）
P（A|B）
P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）
11
概率论与数理统计及其应用习题解答
又设“产品被检出含有杂质”记为事件
C，根据题意有P（A）
0.4，而
且P（C|A）
0.8，P（C|A）
0.9，所以
P（B|A）C32
0.82
（10.8）
0.384；P（B|A）C32
（10.9）2
0.9
0.027
故，
P（A）P（B|A）
0.4
0.384
0.1536
P（A|B）
0.40.384
0.60.027
0.9046
P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）
0.1698
（第1章习题解答完毕）
第2章随机变量及其分布
1，设在某一人群中有
40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是
A型的人
为止，以Y记进行验血的次数，求
Y的分布律。
解：
显然，Y是一个离散型的随机变量，
Y取k表明第k个人是A型血而前k
1个人都不是A型血，因
此有
P{Y
k}0.4
（1
0.4）k1
0.40.6k1
，
（k
1,2,3,）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。
2，水自A处流至B处有3
个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。
当信号发出时各阀门以
0.8的概率打
开，以X表示当信号发出时水自
A流至B的通路条数，求
X的分布律。
设各阀门的工作相互独立。
解：
X
只能取值
0，1，2。
设以Ai
（i
1,2,3）记第i个阀门没有打开这一事件。
则
P{X
0}
P{A1（A2
A3）}
P{（A1A2）
（A1A3）}
P{A1A2}P{A1A3}P{A1A2A3}P（A1）P（A2）P（A1）P（A3）P（A1）P（A2）P（A3）
（1
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