24.1.2-垂直于弦的直径(公开课).ppt

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24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂径定理及其推论垂径定理及其推论R九年级上册圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？

圆有哪些对称轴？

O已知：

如图，已知：

如图，AB为圆为圆O直径，点直径，点C为圆上任为圆上任意一点意一点求证：

点求证：

点C关于关于AB的对称点一定在圆的对称点一定在圆O上上OA如何来证明圆是轴对称图形呢？

BC垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧DOABEC垂径定理垂径定理AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理下列哪些图形可以用垂径定理？

你能说明理由吗？

下列哪些图形可以用垂径定理？

你能说明理由吗？

DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧DOABEC过圆心过圆心平分弦平分弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分平分弦的直径弦的直径垂直垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧于弦，并且平分弦所对的两条弧NOABMCD为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？

一个圆的任意两条一个圆的任意两条直径总是互相平分直径总是互相平分，但但它们不一定互相垂它们不一定互相垂直直.因此这里的弦如果是直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立径，结论不一定成立垂径定理推论平分弦平分弦（不是直径）的直径（不是直径）的直径垂直垂直于弦，并且平于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形d+h=rdhar有哪些等量关系有哪些等量关系？

在在a，d，r，h中，中，已知其中任意两个量，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量可以求出其它两个量随堂演练随堂演练基础巩固基础巩固1.下列说法中正确的是（）A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴B2.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是（）A.AOD=BODB.AD=BDC.OD=DCD.AC=BC3.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是，最短弦的长是.C1064.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E.求证：

四边形ADOE是正方形.5.如图，在半径为50mm的O中，弦AB的长为50mm.求：

（1）AOB的度数；

（2）点O到AB的距离.5.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：

AC=BD.证明：

过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

ACBDO377.2318.5RR-7.23解：

设赵洲桥主桥拱的半径为R.则R2=18.52+（R-7.23）2解得：

R27.3因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.ACBDO377.2318.5RR-7.236.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求O的半径.解：

连接OC.OM平分CD,OMCD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在RtOCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+（6-r）2.解得r=.即O的半径为m.7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：

设半径为r.OCAB，AD=BD=AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即（r-45）2+1502=r2.解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.9.O的半径为13cm，AB、CD是O的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.综合应用综合应用解：

分两种情况讨论.第一种情况：

当AB、CD在圆心O的同侧时.如图

（1），过点O作OMCD，垂足为M，交AB于点E.连接OB、OD.ABCD.OEAB.EMOM-OE7cm.第二种情况：

当AB、CD在圆心O的异侧时，如图

（2），同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.10.如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？

为什么？

拓展延伸拓展延伸解：

OMON.理由如下：

连接OA、OC.则OAOC.ONCD,OMAB,又ABCD,CNAM,CN2AM2.在RtOCN和RtOAM中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2.OMON.课堂小结课堂小结垂垂径径定定理理垂径定理：

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧.垂径定理的推论：

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：

方法规律：

利用垂径定理解决问题，通常是根据题意利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答.课后作业课后作业1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.