反比例函数知识点总结.docx
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反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结李苗
知识点1反比例函数的定义
k
一般地，形如舗为常数，k^o）的函数称为反比
例函数，它可以从以下几个方面来理解：
（l）x是自变量，y是X的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是XH0的一切实数，函数值的取值范围是yz°；
⑶比例系数k工0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：
k.小
1y（kHO）,
2汁虻（kzO）,
3x・y=k（定值）（kHO）；
_k_k
⑸函数y二；（kzO）与x=y（kHO）是等价的,所以当y是X的反比例函数时,X也是y的反比例函数。
（k为常数，kH0）是反比例函数的一部分，当k=0时,二理_k
y一7,就不是反比例函数了，由于反比例函数y=：
（k北°）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
k
由于反比例函数（kHO）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x#0,函数值yH°,所以它的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：
⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
1列表时选取的数值宜对称选取；
2列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
3连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
4画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例函数
y=7（kHO）
k的符号
k>0
k<0
图像
j
J
丿
5
*V
O
*Y
厂’
性质
①X的取值范围是XHO,y的取值范围是
1X的取值范围是XH0,y的取值范围是y=o
2当k<0时，函数图像
yH0
②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而渝小。
的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内,y随x的增大而增大。
注意：
描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当k〉0时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和k
函数的增减性，也可以推断岀k的符号。
如在第一、第三象限，则可知k>0o☆反比例函数y=j（kzO）中比例系数k的绝对值k的几何
意义。
如图所示，过双曲线上任一点P（x,y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，y
则1时=|則=卜|•A=PF•PE=S矩形oepf
越远离坐标原点；XI越小，双曲线y—j越靠近坐标原点。
☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是
轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=—Xo
☆经典例题透析
类型一反比例函数的概念
☆31.判断下列各式是否表示y是x的反比例函数，若
是，指出比例系数k的值；若不是，指出是什么函数.
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（1）丁=一；；
（2）心=§；（3）y=4-3x;（4）y=-y^
丁_c6ki小
（5）：
=2；（6）丁=一齐；（7）丁二匚（比为常数，PHO）
☆^2.根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.
☆
（1）面积为常数m的长方形的长y与宽x之间的关系;
☆
☆
（2）一本500页的书，每天看15页，x天后尚未看完的页数y与天数x之间的关系.
☆
专题2反比例函数图象的位置与系数的关系
_k
☆【专题解读】反比例函数y=7的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数丘的关系有如下两种情况：
☆
（1）£>0u>双曲线的两个分支在第一、三象限o在第一象限内，y随x的增大而减小.
☆
（2）£<0U>双曲线的两个分支在第二、四象限O在第一象限内，y随x的增大而增大.
☆
若点Agy）为反比例
☆【专题解读】如左下图所示，
_k
函数
AC丄y轴于C，则S^aob=S/\aoc=^-S矩形ABOC=\\k\.
☆
y=~图象上的任意一点，过A作4B丄x轴于B,作
2
y
（）P
☆例•如右上图所示，点P是x轴正半轴上的一个动点，
过P作x轴的垂线交双曲线丁一；于点0,连接O0,当点P沿x轴正方向运动时，RtAQOP的面积（）
A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定
☆^5.在反比例函数歹一一；的图像上有三点（兀1,%）,（兀2,%）,（兀3,儿）。
若旺＞兀2〉°〉兀3则下列各式正
确的是（）
A.^3>Ji>^2e.旳>力>只c.必>九>儿d.>^3>y2
j2鸟2+£_2
☆®6.如果函数y^kx的图像是双曲线，且在第
二，四象限内，那么比的值是多少？
☆帖.如果一次函数y*+go肖反比例函如¥的图像
-,2
相交于点
（2）,那么该直线与双曲线的另一个交点为
（）
☆08.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
6
^=7的图象相交于A，B两点，点A的横坐标是3,点B的纵坐标是-3.
☆
（1）求一次函数的表达式；
☆
（2）当一次函数值小于0时，求x的取值范围.
_k
☆<^9.已知反比例函数J=x的图象经过点4（-2,3）.
☆
（1）求这个反比例函数的表达式；
☆
（2）经过点a的正比例函数y=kfx的图象与反比例函
k
数的图象还有其他交点吗？
若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
☆^10.如图，在用AAOB中，点4是直线尸兀+加与双
m
曲线）=匚在第一象限的交点，且则加的值是
有点片,£,£占，它们的横坐标依次为1,2,3,4,分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为St,S2,S3,S4,贝I]S,+S2+S3=
☆求S1+S2+S3+......+S”的值（用含n的代数式来表示）☆中考真题精选：
☆1.（江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6）,贝9
下列各点中，此函数图象也经过的点是（）
☆A.（-3,2）B.（3,2）C.（2,3）D.（6,1）
k
☆2.（重庆江津区）已知如图，4是反比例函数=-的图
象上的一点，AB丄x轴于点B,且的面积是3,
则k的值是（
☆A、3B、
_k
☆3.（吉林）反比例函数y~：
的图象如图所示，则k的
值可能是（）
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4.（辽宁阜新）反比例函数）匸；与沪匚在第一象限的图象如图所示,作一条平行于X轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB,则AAOB的面积为（）
（玉林）如图是反比例函数y二x和y二％
在第一象限的图象，直线AB〃x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若Saaob=2,则k2-ki的值是（）
A、1B、2
C、4D、8
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