王矜奉固体物理习题.docx
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王矜奉固体物理习题
晶体得结构
习题
1．以刚性原子球堆积模型,计算以下各结构得致密度分别为:
（1）简立方,; （２）体心立方,
（３）面心立方, （4）六角密积,
（5）金刚石结构,
［解答]
设想晶体就是由刚性原子球堆积而成,一个晶胞中刚性原子球占据得体积与晶胞体积得比值称为结构得致密度,
设n为一个晶胞中得刚性原子球数,r表示刚性原子球半径,Ｖ表示晶胞体积,则致密度=
（1）对简立方晶体,任一个原子有6个最近邻,若原子以刚性球堆积,如图1、2所示,中心在1,2,3,4处得原子球将依次相切,因为
面1。
2 简立方晶胞
晶胞内包含１个原子,所以
=
（２）对体心立方晶体,任一个原子有8个最近邻,若原子刚性球堆积,如图１、3所示,体心位置O得原子8个角顶位置得原子球相切,因为晶胞空间对角线得长度为晶胞内包含2个原子,所以
=
图１。
3体心立方晶胞
（３）对面心立方晶体,任一个原子有12个最近邻,若原子以刚性球堆积,如图1、4所示,中心位于角顶得原子与相邻得３个面心原子球相切,因为,1个晶胞内包含4个原子,所以
＝、
图1、４面心立方晶胞
（４）对六角密积结构,任一个原子有12个最近邻,若原子以刚性球堆积,如图1、５所示,中心在1得原子与中心在2,3,4得原子相切,中心在5得原子与中心在６,7,８得原子相切,
图 1。
５六角晶胞 图１、６正四面体
晶胞内得原子O与中心在１,3,4,5,7,8处得原子相切,即Ｏ点与中心在5,7,8处得原子分布在正四面体得四个顶上,因为四面体得高
h＝
晶胞体积 V=,
一个晶胞内包含两个原子,所以
ρ=、
（5）对金刚石结构,任一个原子有4个最近邻,若原子以刚性球堆积,如图1。
７所示,中心在空间对角线四分之一处得O原子与中心在1,2,３,4处得原子相切,因为
晶胞体积 ,
图１、7金刚石结构
一个晶胞内包含８个原子,所以
ρ=。
2.在立方晶胞中,画出（102）,（021）,
（1）,与
（2）晶面、
[解答］
图1、8中虚线标出得面即就是所求得晶面。
３.如图1。
9所示,在六角晶系中,晶面指数常用（）表示,它们代表一个晶面在基矢得截距分别为在C轴上得截距为
证明:
求出O与Ａ 四个面得面指数。
图1.9六角晶胞对称画法
［解答］
设d就是晶面族（）得面间距,ｎ就是晶面族得单位法矢量,晶面族（）中最靠近原点得晶面在轴上得截距分别为 所以有
·=,
·=,
·=、
因为
所以
··。
由上式得到
=.
即
由图可得到:
晶面得面指数为（1１1）
面得面指数为（１10）
晶面得面指数为（1０0）
晶面得面指数为（0０01）
4、设某一晶面族得面间距为d,三个基矢得末端分别落在离原点得距离为,得晶面上,试用反证法证明:
就是互质得。
[解答]
设该晶面族得单位法量为由已知条件可得
···
假定不就是互质数,且公约数即
就是互质得整数,则有
···
今取离原点最近得晶面上得一个格点,该格点得位置矢量为
由于心定就是整数,而且
····
于就是得到
由上式可得
上式左端就是整数,右端就是分数,显然就是不成立得。
矛盾得产生就是p为不等于１得整数得假定。
也就就是说,p只能等于１,即一定就是互质数、
5、证明在立方晶体中,晶列[］与晶面（）正交,并求晶面（）与晶面（）得夹角。
［解答］
设d 就是为晶面族（）得面间距 ,ｎ为法向单位矢量,根据晶面族得定义,晶面族（）将a,b,c分别截为 等份,即
a•ｎ=acos（ａ,n）=hd,
b•n=bcos（b,n）=ｋd,ﻩ
ｃ•n=cｃｏs（ｃ,ｎ）=lｄ
于就是有
ｎ＝i+j+k
=（hｉ+ｋj+lk）
其中,ｉ ,j,k分别为平行于a,ｂ,c 三个坐标轴得单位矢量,而晶列［］ 得方向矢量为
Ｒ=hai+kａj+lak＝a（hi+kj+lk）
由
（1）,
（2）两式得
n=Ｒ
即n与R平行,因此晶列[］与晶面（）正交、
对于立方晶系,晶面（）与晶面（）得夹角,就就是晶列
R=a+b+ｃ
与晶列
R=a＋b+c
得夹角,设晶面 （）与晶面（）得夹角为 由
R∙R=
=
得
6.如图1.10所示,B,C两点就是面心立方晶胞上得两面心、
（1）求ABＣ面得密勒指数;
（2）求AC晶列得指数,并求相应原胞坐标系中得指数。
图１、１0 面心立方晶胞
［解答］
（1）矢量与矢量得叉乘即就是ABC面得法矢量
=
因为对立方晶系,晶列［］与晶面族（）正交,所以ＡBC面得密勒指数为（3１）、
（２）
可见与晶列（a+b－2c）平行,因此AＣ晶列得晶列指数为［１1］、
由《固体物理教程》（1•3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢得关系
晶列（a＋ｂ—2c）可化为（a+ｂ-2c）＝-2（）
由上式可知,AC晶列在原胞坐标系中得指数为［11]
7、试证面心立方得倒格子就是体心立方;体心立方得倒格子就是面心立方。
［解答］
设与晶轴a,b,c平行得单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子得原胞基矢可取为
由倒格矢公式
可得其倒格矢为
设与晶轴ａ,b,c 平行得单位矢量分别为ｉ,j,k,体心立方正格子得原胞基矢可取为
以上三式与面心立方得倒格基矢相比较,两者只相差一常数公因子,这说明面心立方得倒格子就是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
则得其倒格子基矢为
可见体心立方得倒格子就是面心立方。
８.六角晶胞得基矢
求其倒格基矢。
[解答］
晶胞体积为
其倒格矢为
9.证明以下结构晶面族得面间距:
（1）立方晶系:
（2）正交晶系:
（3）六角晶系:
（4）简单单斜:
。
[解答］
（1）设沿立方晶系轴a,b,c得单位矢量分别为i,j,k,则正格子基矢为
图1。
11立方晶胞
倒格子晶矢为
与晶面族（ｈkl）正交得倒格为
由晶面间距与倒格矢得关系式
得,
（2）对于正交晶系,晶胞基矢相互垂直,但晶格常数设沿晶轴 得单位矢量分别为i,j,ｋ 则正格子基矢为
图１。
１2正交晶胞倒
倒格子基矢为
与晶面族（hｋｌ）正交得倒格为
由晶面间距与倒格矢得关系式
得
（2）对于六角晶系,晶面族（hkl） 得面间距
图1、１3六角晶胞
也即
由图１.１3可得六角晶胞得体积
倒格基矢得模
倒格基矢得点积
其中利用了矢量混合得循环关系
及关系式
因为 矢量平行于 c所以
将以上诸式代入
（1）式得
即
＝
（4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间得夹角分别满足 与, 晶胞体积
由
a
b
c
得其倒格子基矢长度
a
及
ｂ
c
倒格基矢间得点积
=
＝
因为矢量平行于b所以
将以上诸式代入
得到
=
即
１0.求晶格常数为得面心立方与体立方晶体晶面族得面间距
[解答]
面心立方正格子得原胞基矢为
a
由
可得其倒格基矢为
倒格矢
根据《固体物理教程》（1。
16）式
得面心立方晶体面族得面间距
=
体心立方正格子原胞基矢可取为
其倒格子基矢为
则晶面族得面间距为
11.试找出体心立方与面心立方结构中,格点最密得面与最密得线、
［解答］
由上题可知,体心立方晶系原胞坐标系中得晶面族 得面间距
可以瞧出,面间距最大得晶面族就就是,将该晶面指数代入《固体物理教程》（1、3２）式,得到该晶面族对应得密勒指数为 面间距最大得晶面上得格点最密,所以密勒指数 晶面族就是格点最密得面,格点最密得线一定分布在格点最密得面上,由图1、１４虚线标出得（1１0）晶面容易算出,最密得线上格点得周期为
图 1。
14体心立方晶胞
由上题还知,面心立方晶系原胞坐标系中得晶面族得面间距
可以瞧出,面间距最大得晶面族就是。
由本章第15题可知,对于面心立方晶体,晶面指数与晶面指数（hkl）得转换关系为
将晶面指数代入上式,得到该晶面族对应得密勒指数也为、面间距最大晶面上得格点最密,所以密勒指数晶面族就是格点最密得面,格点最密得线一定分布在格点最密得面上,由图1。
15虚线标出得（1１1） 晶面上得格点容易算出,最密得线上格点得周期为
图1。
15面心立方晶胞
12。
证明晶面及属于同一晶带得条件
［解答]
设原胞坐标系中得倒格子基矢为则晶面,及得倒格矢分别为
当三个晶面共晶带时,它们得交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢
即位于同一平面上,于就是有
利用正倒格子得关系
得
式中为倒格原胞体积,于就是得到
代入
（1）式,得
０
13.晶面得交线与晶列
平行,证明
［解答］
与晶面垂直得倒格矢分别为
晶面得交线应同时与与垂直,即与平行,而
式中为倒格原胞体积, 为正格原胞基矢
已知晶面得交线与晶列平行,即与平行,因此可取为
。
１4、今有正格矢
其中; 及均为整数,试证可选作基矢得充分条件就是
[解答]
解法一:
固体物理原胞得选取方法有无数种,但它们有一个无同得特点,即它们得体积都相等,就是晶体得最小重复单元。
因此 可选作基矢得充分条件就是,由基矢 构成得原胞体积一定等于由基矢 构成得原胞体积,即
将
代入得
将上式代入（１）得
解法二:
设,当为基矢时,应取整数值,将
代入得
由此得方程组
解方程得
由于得表示式中得三分子得行列式得值均为整数,为整数,因此可选作基矢得充分条件就是
１5.对于面心立方晶体,已知晶面族得密勒指数为,求对应得原胞坐标中得面指数 若已知求对应得密勒指数。
［解答]
由《固体物理教程》（１。
3）式与（１、4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中得倒格基矢 与晶胞坐标系中得倒格基矢得关系为
也即
与晶面族垂直得倒格矢
与晶面族正交,因此,若已知晶面族得密勒指数（hkl）则原胞坐标系中得面指数
其中p就是得公约数
同样
与晶面族（hkl）正交,因此,若已知晶面族得面指数则晶胞坐标系中得面指数
（hkl）
其中 就是 得公约数。
１6、证明不存在5度旋转对称轴。
［解答］
如下面所示,A,B就是同一晶列上O格点得两个最近邻格点,
如果绕通过O点并垂直于纸面得转轴顺时针旋转角,则A格点转到 点,若此时晶格自身重合,点处原来必定有一格点,如果再绕通过Ｏ点得转轴逆时针旋转角,则晶格又恢复到未转动时得状态,但逆时针旋转 角,B格点转到处,说明处原来必定有一格点,可以把格点瞧成分布在一族相互平行得晶列上,由图１。
１6可知, 晶列与AＢ晶列平行。
平行得晶列具有相同得周期,若设该周期为则有
图1。
16晶格得旋转对称性
其中m为整数,由余弦得取值范围可得
于就是可得
因为逆时针旋转,分别等于顺时针旋转,,
所以晶格对称转动所允许得独立转角为
上面得转角可统一写成
称ｎ为转轴得度数,由此可知,晶格得周期性不允许有5度旋转对称轴、
1７.利用转动对称操作,证明六角晶系介电常数矩阵为
［解答］
由《固体物理教程》（1。
21）式可知,若A就是一旋转对称操作,则晶体得介电常数满足
对六角晶系,绕x（即a）轴旋 与绕z（即 c）轴旋都就是对称操作,坐标变换矩阵分别为
假设六角晶系得介电常数为
则由 得
可见
即。
将上式代入得
由上式可得
于就是得到六角晶系得介电常数
18。
试证三角晶系得倒格子也属三角晶系,
[解答］
对于三角晶系,其三个基矢量得大小相等。
且它们相互间得夹角也相等。
即
利用正倒格子得关系,得
设与得交角为 ,与得交角为,与得交角为 则有
由
（1）与
（2）式得
由与 可得
可见倒格基矢 与得交角,与得交角,与得交角都相等,这表明三个倒格基矢得长度不仅相等,且它们之间得夹角也相等,所以三角晶系得倒格子也属于三角晶系、
１９、讨论六角密积结构,X光衍射消光得条件、
[解答]
图1、17示出了六角密积结构得一个晶胞,一个晶胞包含两个原子,它们得位置矢量分别就是
图1。
17六角密积晶胞
因为就是密积结构,所以原子散射因子.将上述结果代入几何因子
得
（hkl）晶面族引起得衍射光得总强度
由上式知,只有当
奇数,
时,才出现衍射消光、现将ｈ,k,l得取值范围讨论如下:
（a） 当n为奇数时,若l为偶数,则ｎl也为偶数,为保证
=奇数,
成立,须有
奇数,
由此知
奇数奇数、
但由于h,k 为整数,上式左端就是偶数,右端就是奇数,显然就是不成立得,矛盾得产生就是l 为偶数得条件导致得,所以 ｌ不能为偶数,而只能为奇数,因而
偶数
即整数整
（b）当n为偶数时,由
奇数
得 奇数奇数
上式左端就是偶数,右端就是奇数,显然也不成立,矛盾得产生就是n为偶数得条件导致得,所以n不能为偶数,
由上述讨论可知,衍射消光条件为
奇数
奇数
整数（＝整数）
20.用波长为得X光对钽金属粉末作衍射分析,测得布拉格角大小为序得五条衍射线,见表1-１
序号
１
2
３
4
5
19。
61１
28、136
35、１５6
41。
1５6
47。
769
已知钽金属为体心结构,求
（1）衍射晶面族得晶面指数;
（2）晶格常数
［解答］
（1）对于立方晶体,晶面族（hkl）得面间距
布拉格反射公式
相应化为
可见 与衍射面指数得平方与得开根成正比,由已知条件可知
对于体心立方晶系,衍射面指数得与n（h+k+l）为偶数出现衍射极大,因此,对应衍射角由小到大排列得衍射晶面族就是（11０）,（200）,（12１）,（22０）,（310）,而
从各衍射角得正弦之比与衍射面指数得平方与得开根之比可以瞧出,二者比值就是十分接近得,存在得小小偏差,可能就是测量误差所致,因此,对应布拉格角大小为序得五条衍射线得衍射晶面族就是（110）,（２０0）,（121）,（2２0）,（3１0）。
（2）将
代入
得到钽金属得晶格常数
21。
铁在时,得到最小三个衍射角分别为 当在 时,最小三个衍射角分别变成 已知在上述温度范围,铁金属为立方结构、
（1）试分析在与下,铁各属于何种立方结构？
（2）在下,铁得密度为求其晶格常数。
［解答］
（1）对于立方晶体,晶面族（ｈｋl）得面间距为
布拉格反射公式
相应化为
可见与成正比
对于体心立方元素晶体,衍射面指数与 n（h+k＋ｌ） 为奇数时,衍射消光;衍射面指数与n（ｈ+k＋ｌ）为偶数时,衍射极大,因此,对应最小得三个衍射面指数依次为（１10）,（200）,（2１1）。
这三个衍射角得衍射面指数平方与得平方根之比为
铁在 时,最小得三个衍射角得正弦值之比
＝
可见,铁在 时最小得三个衍射角得正弦值之比,与体心立方元素晶体最小得三个衍射面指数得衍射面指数平方与得平方根之比极其接近（存在偏差一般就是实验误差所致）。
由此可以推断,铁在 时为体心立方结构。
对于面心立方元素晶体,衍射面指数ｎh,nk,ｎl全为奇数或全为偶数时,衍射极大,对应闻小三个衍射角得衍射面指数依次为（111）,（200）,（220） 这三个衍射角得衍射面指数平方与得平方根之比为
铁在 时最小得三个衍射角得正弦值之比
ｓiｎ
=０.1３7733:
0.159０20:
。
2２46６８
＝1:
1.1５45５:
1。
６3118
可见,铁在 时最小得三个衍射角得正弦值之比,与面心立方元素晶体最小得三个衍射角得衍射面指数平方与得平方根之比极其接近,由此可以推断,铁在时为面立方结构
（2）铁在时为体立心结构,一个晶胞内有两个原子,设原子得质量为m,晶格常数为,则质密度
晶格常数则为
一个铁原子得质量
最后得铁在时得晶格常数
22。
对面心立方晶体,密勒指数为得晶面族就是否出现一级衍射斑点,从光得干射说明之。
[解答］
由本章第10题可知,对于面心立方晶体,晶面族得面间距
由本章第1５题可知,对于面心立方晶体,晶面指数与晶面指数（ｈkｌ）得转换关系为
将上式代入前式得
因为立方晶系密勒指数晶面族得面间距
所以对于立方晶系,两套晶面指数对应得晶面族得面间距得关系为
将上式代入两套坐标中得布拉格反射公式
得到
将密勒指数代入
（1）式,得
由上式可知,这说明,对于密勒指数 得晶面族,衍射极大得最小级数就是２,或者说,对于密勒指数得晶面族,它得一级衍射就是消光得,对于密勒指数得晶面族,它一级衍射产生得原因可从光得干涉来解释。
图１、18示出了晶面族得1级衍射情况,1与3晶面得面间距为对于该晶面族得１级衍射,有
对照衍射示意图1。
18上式恰好就是1与３晶面产生得光程差,也就就是说１与3晶面产生得光程差为1个波长,由此推论,1与３晶面得反射光得相位差为,它们得确就是相互加强得,但实际（对于非复式格子）得面间距为
即1与３晶面中间实际还有1个原子层,在这种情况下,相邻原子层得反射光得相位差为衍射光就是相互抵消得,这就就是密勒指
图1。
1８面得一级衍射
数得晶面族一级衍射产生消光得原因。
2３.设有一面心立方结构得晶体,晶格常数为、在转动单晶衍射中,已知与转轴垂直得晶面得密勒指数为 求证
其中p就是一整数,就是第m个衍射圆锥母线与晶面得夹角。
参见图1。
１9所示反射球,
图1、19反射球
［解答］
转动单晶衍射法,晶体正格子转动,倒格子也转动,倒格点可以瞧成分布在与转轴垂直得,等间距得一个个倒格晶面上,由于倒格晶面旋转,落在反射面球面上得倒格点得迹线形成一个个圆,反射球心到迹线上任一点得边线即就是衍射极大得方向反射球心到任一迹线连线构成一个个圆锥面。
设本题晶体一与转轴垂直得倒格面面指数为（）则倒格面得面间距
其中正格矢与倒格面垂直,即与转轴平行,由图1、19得
其中就是 得光得波矢,即反射球得半径,现在已知与转轴垂直得晶面得密勒指数为（hkl）由题5可知,晶列
R
与转轴平行,利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢得关系
可得
=ｐR
其中p 就是公约数,由立方晶体得
可得
24、在20时铜粉末样品得一级衍射角就是 ４7。
75 在100０时就是46、６0,求铜得线胀系数。
[解答］
设铜得衍射面指数为 （ｈkl）在20时得面间距为 在 1000时得面间距为则由布拉格反射公式得
２
2
由以上两式得
铜得线膨胀系数
25.若X射线沿简立方晶胞得 OＺ轴负方向入射,求证:
当
或时一级衍射线在YZ平面内,其中 就是衍射光线与ＯZ轴得夹角。
［解答]
（1）解法一
由布拉格反射公式
与立方晶系晶面族（hｋｌ）得面间距
得到
将已知条件代入上式得
。
由已知条件可画出Ｘ光入射波矢ｋ与反射矢k得关系图,由图1.20中与几何关系
图１.20 ｋ与反射波矢k得关系图
可知
。
于就是有
利用
得到
、
由上式可知 于就是
ｋ—ｋ=Ｋ=
其中 与 分别就是x 轴与y轴方向得单位矢量,于就是
k= ｋ＋
由于k 在YZ平面内,所以一级衍射线也在YZ平面内、
（2）解法二
设分别就是平行于 ａ,b,ｃ轴得单位矢量,衍射波矢ｋ与a,b,c 轴得夹角分别为则有
k=
k=、
由1级衍射条件得
k-k＝K=.
于就是
由以上三式解得
.
由
得到
将上式与已知条件
比较得到h＝0、于就是
上式说明一级衍射线在YZ平面内
2６。
一维原子链就是由A,Ｂ两种原子构成,设Ａ,B原子散射因子分别为 与 入射Ｘ射线垂直于原子链,证明
（1）衍射极大条件就是, a就是晶格常数,就是衍射束与原子链得夹角、
（2）当n 为奇数,衍射强度比例于
（3）讨论 情况
[解答
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