A已知：
如图，定点A、B分布在定直线1的两侧（A、B
1两点到1的距离不相等）
R要求：
在直线1上找一点P,使IPA-PB|的值最大
解：
作点B关于直线1的对称点B7，连接WA
并延长交
于点P,点P即为所求；
理由：
根据对称的性质知1为线段BB,的中垂
痒.止Irh冠
线的性质得：
PB=PB,,要使|PA-PB|最大，则需
IPA-PBz丨侑最大，从而转化为模型3.
典型例题1T
2
如图，直线y二Jx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、
0B的中点，点P为0A上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为,此时PC+PD
的最小值为・
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，由条件知CD为厶班。
的中位线，0卩为△CDD'的中位线，易求0P长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算・
【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点V,连接CDZ交x轴
于点P,此时PC+PD值最小.令y=,x+4中x二0,则y二4,
3
3x+4=0,解得：
X-6,.孑屮席握鏗33（°’4）；令y=sX+4中尸°’则
为（-6,0）・•••点C、D分别为线段AB、0B的中点，・•・BA0的中位线，/.CD//x轴，且CD=12A0=3,
・••点D'和点D关于x轴对称，・・・0为DL的中点，
D'（0,-1）,・•・0卩为厶CDD'的中位线，JOP^CDT,
・••点P的坐标为（-餐0）•在RtACDD,中，
CD'=CDDD=3242=5,即PC+PD的最小值为5.
小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变
化，C、D不是AB和0B中点时，则先求直线CD'的解析式，再求其与x轴的交点P的坐标・
典型例题1-2
如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
的坐标为（0,1）,点B
的坐标为（J,-2）,，PA-PB|的最大值.
点P在直线y二-x上运动，
当|PA-PB|最
大时点P的坐标为
分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y二・x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=-x的交点P的坐标；此时PA・PB|=|PC-PB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值•
解答】作A关于直线y=-x对称易得C的坐标为（-1,连接BC,可得直线点C,的方程为y=-5*x--s,与直敎；y=-x联立解得交点仙P为（4,-
4）；此时|PA最大值BC=（%1）=
（2）2-PB|=|PC・PB|=BC取得最大值，="；
小结】“两点一线”大多考查2和4,需作一次对称点，连线
基本模型得交点
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A
（5,0）,
0B=4V5,点P是对角线0B上的一个动点，D（0,1），当
CP+DP最短时，点P的坐标为（）
A.（0,0）B・（1,2）C・（5，5）D・（7，7）
变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点0,AC二2,
BD=2V3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为・
变式训练1-3
如图，已知直线y=；x+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yp空+bx+c与直线交于
A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,
0）・
1）求该抛物线的解析
（选；/I拋物线的対称轴卜•找-点M,使|AM-MC|的値最大，求川点M的坐标
拓展模型
已知：
如图，A为锐角ZM0N外一定点；
要求：
在射线0M上找一点P,在射线0N上找一点
Q,使AP+PQ的值最小・
解：
过点A作AQ丄0N于点Q,AQ与0M相交于点
P,此时,AP+PQ最小；
理由：
AP+PQMAQ,当且仅当A、P、Q三点共线
时，AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最
短，当AQ丄0N时，AQ最小・
已知：
如图，A为锐角ZMON内一定点;
要求：
在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小・
3.
解：
作点A关于0M的对称点A',过点A'作AQ丄ON
于点Q,A'Q交0M于点P,此时AP+PQ最小；理由：
由轴对称的性质知AP二A'P,要使AP+PQ最小，
只需AzP+PQ最小，从而转化为拓展模世1
已知：
如图，A为锐角ZMON内一定点；
要求：
在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点
Q,使
AAPQ的周长最小
解：
分别作A点关于直线0M的对称点Ai,关于
ON的对
称点A2,连接AA交0M于点P,交ON于点
Q,点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A】去的长度；
理由：
由轴对称的性质知AP=A1P,AQ=A2Q,AAPQ的周长AP+PQ+AQ二1AP+PQ+A2Q,当Ai、P、Q、A2四点共线时，其值最小.
已知：
如图，A、B为锐角ZMON内两个定点；
要求：
在0M上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小
解：
作点A关于直线0M的对称点N,作点B关于直线ON的对称点B',连接A'Bz交0M于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A'的长度之和；
理由：
AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA',将QB转化为QB',当A'、P、Q、四点共线时，PA'+PQ+QB7的值最小，即PA+PQ+QB的值最小.
5.搭桥模型
A
1
1
1m
丿/
1/
6.
已知：
如图，直线m//n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与ni垂直）
要求：
在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最
小・分析：
PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”,转化为基本模型
解：
如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A',使得AAZ=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ丄n,交直线ni于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.
理由：
易知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'二PA,当B、Q、A'三点共线时，QA‘+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小・
已知：
如图，定点A、B分布于直线1两侧，长度为a
（a为定值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）要求：
确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：
PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
将点A沿着平行于1的方向，向右移至A',使AA‘P=Q=a,连接A'B交直线1于点Q,在1上截取PQ=a（P在Q左边）,则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ,即AfB+a理由：
易知四边形APQA'为平行四边形，则PA=QA7,当A'、Q、B三点共线时，QA‘+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.
已知：
如图，泄点A、B分布于直线1的同侧，长度a为定值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）
要求：
确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：
AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于1的对称点，转化为上述模型3解：
作A点关于1的对称点Az,将点Az沿着平行于1的方向，向右移至A','使NA''=PQ=a,连接A'V交1于Q,在1上截取QP=a（P在Q左边）,线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
AzB‘+AB+PQ,即A'+AB+a
典型例题2-1
如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,若点M、N分别AC、
AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为
是线段
分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对
称点E,再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等
面积法和相似可求其长度・
解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作EN丄AB于N,则BM+MN二EM+,MN
其最小值即EN长；JAB=10,BC=5,
・•・AC=ABBC==55,
等面积法求得AC边上的高为105=25
BE=45,
55
EN=8
易知△ABC^A
AB_AC
即BM+MN的最小值为8・
小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂
线；可作
定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作
动点的对称点易解・
Af
典型例题2-2
如图，ZA0B=60°，点P是ZAOB内的定点且0P二，点M、N
分别是射线OA、0B上异于点0的动点，则厶PMN周长的最小
值是（）
A.B・C・6D・3
【分析】符合拓展3的特彳弓作P点分别关于OA、0B的对称点C、D,连接模型OA、0B于MO*炉扯爺△PMN周长最小，其值为CD长；根据对0C、
知OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，％
懈答】缩P点分别盪爭廉0B的C、D,连接CD分别交0A、0B于M、对称八、则MP二M,CNP=ND,0P=0D=0§=N/少?
IjP二ZBOD,Z
即Pp陥P阳拆二ND+MN+NC,=ZDCC0D=ZB0P+ZB0D+ZA0P+ZA0C=2Z
A.。
呢I私'PMN周长最小，作OH丄CD于血CH=DH,Z0CH=30°,:
.0H=0逗
..22
CH=陟1,・•・
2CD=2CH=・3
即厶PMN周长的最小值是费选:
【小结7•根据对称的性质，发现△OCD是顶角为12°°白齧腰三角形，是解题的关键，也.
是难点
典型例题
・•・OP=EM,IPM是定值，・•・PB+ME'二OP+PB的值最小时，BP+PM+M'E的长度最小，・••当0、P、B共线时，BP+PM+M'E的长度最小，•・•直线0B的解析式为y=x,
・•・P（2,）・
小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边
形）的方法，转化为基本模型
典型例题2-4
如图所示，在平面直角坐标系屮，RtAAOB的顶点坐标分
别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,把厶AOB绕点O按顺时针方向旋转90’,得到△COD
（「）求GD两点的坐标;
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的対称轴上取两点E、F（点E在点F
的上方），且EFh,使四边形ACERJ9周长最小,求出E、
F两点的坐标.
分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的
解答】
（1）由旋转的性质可知:
OC=OA=,20D=0B=4Z.,C点的坐
标是（0,2）,D点的坐标是（4,
0）,
2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
4a-2b+c=0
由题意，得16a+4b+c=0
c=4
1
解得a=-2,b=l,c=4,
3）只需AF+CE最短，抛物线y=-2x2+x+4的对称轴为x=l,
将点A向上平移至Ai（-2,1）,则AF=AiE,作A】关于对称轴x=l的对称点A2（4,1）,连接A2C,A£与对称轴交于点E,E为所求，可求
得比C的解析式
小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连缈中，作对称和平移的顺序可互换
变式训练2-1
几何模型：
条件：
如图1,A,B是直线1同旁的两个定点.问题：
在直线1上确定一点
P,使PA+PB的值最小.
方法：
作点A关于直线1的对称点A',连接A'B交1于点P,即为所求・
（不必证明）模型应用：
1）如图2,已知平面直角坐标系中两定点A（0,-1）和B（2,-1）,P为x轴上一动
点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB=・
2）如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是・
3）如图4,在菱形ABCD中，AB=10,ZDAB=60°,P是对角线AC上一动点，E,F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是.
4）如图5,在菱形ABCD中，AB=6,ZB=60°，点G是边CD边的中点，点E.F分别是
AGAD±的两个动点，贝!
JEF+ED的最小值是.
变式训练2-2
如图，矩形ABCD中，AD二15,AB=10,E为AB边上一点，且
DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长
的最小值是
变式训练2-3
如图，已知直线11//12,li>12之间的距离为8,点P到直线h的
离为6,点Q到直线12的距离为4,PQ=4,在直线11上有一动
点A,直线12上有一动点B,满足AB丄12,且PA+AB+BQ最小，此时
PA+BQ=
变式训练2-4
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，OA=AB=,20C=3,过点B作BD丄BC,交0A于点D.将ZDBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
2）当BE经过
（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方）,且PQ二1,要使四边形BCPQ
的周长最小，求出P、Q两点的坐标.
中考真题
2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,D是0B的中点，E是0C上的一点，当厶ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
5.如图，点A（a,3）,B（b,1）都
y2上，.
V
点C,D,分另燼乩y轴上的动点,
则四边形ABCD周长的最小值为（）
A
A・B・
C・
D・
6•如图,在RtAABC中,
ZC=90°,AC=3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点,
3.如图，在矩形ABCD中，AB=5,
P满足Sapab=1S矩形ABCD,则点P到A、B两点距3
AD=3,动点离之和PA+PB的最小值为
C・5
（）
D.
4.已知抛物线y二x2+l
具有如下性质：
该抛物线上任意一点到定点0,2）的距离与到x
轴的距离始终相等，如图，也的坐标为（，3）,P是抛物线二x2+l上一个动点,
则厶PMF周长的最小值）
A.3
B.4
C.5
D.6
则AE+DE的最小值为（
5
D.
12
第X腿
点D,E分别是边BC,AC上的动点,
第&越1
7.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AC=6,AB=3,则DA+DE的最小值为・
8.如图，等腰△ABC的底边BC=20,120,点F在边BC上，且BF=3FC,EG是
面积为垂直平分线，若点D在EG上腰AC的CDF周长的最小值为・
9•如图，菱形ABCD的边长为6,ZABC=120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）
10.如图，RtAABC中，ACB=90°AC=6,BC=8,AD平分CAB交BC于D点，E,
在Z,ZF分
别是AC上的动点，CE+EF的最小值为（）
11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y
x>0）的图象与边长是6的正方形
OABC
的两边AB,BC分别相交于M,N两点.
上，则PM+PN的最小值是（）
第9勒
△OMN的面积为10.若动点P在x轴
C.2
D.2
A.6
B.1
12•如图，AA0fi：
=BC=,2AB=1,将它沿AB翻折得到厶ABD,则四边中，的形状是形ADBCP、E、F篦别为线髯上的任意点，贝PE+PF形，的最小值是・
_9
13.如图，已知抛物峯x】bx+c与直y二x+3交于A,B两连接AC、BC,已缩1）求此抛物线的解需式；2）在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB・MD|的值最大，并求出这个最大值；
3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接于点Q,问：
是否存在点P,使得以A,相似？
若存曲,A,请求哉丿祈祸袴葩狛交y的点轴P,Q为顶点的三角形与
△ABCP的坐标；若不存
x轴于C、D两点,
明理由.
14•如图，在四边形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+C・D
（1）用尺规作ZADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在
（1）的条件下，
1证明：
AE±DE；
2若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值.
15•如图，抛物线y二ax'+bx+c（aH0）经过点A（-1,0）,B（3,0）,C
（0,3）三点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当S-xbc二Saabc时，求N点的坐标；
（3）在
（2）问的条件下，过点C作直线1〃x轴，动点P（m,3）在直线1上,动点Q（m,
0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+Q的N和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值.
16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax+4x+c的图象交x轴于另一点B.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC,点N是线段BC上的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4,m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标.
17•如图1,已知抛物线y二（x-2）（x+a）（a>0）与x轴从左至右交于A,B两点，与y轴交于点C.
（1）若抛物线过点T（1,・），求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D,
使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△
ABC相似？
若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2,在
（1）的条件下，点P的坐标为（-1,1）,点Q（6,t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？
请直接写出符合条件的点M的坐标.
18•如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1,0）,C（0,5）两点，与x
轴另一交点为氏已知M（0,1）,E（a,0）,F（a+1,0）,P是第一象限内抛物线上的动点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a二1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？
请说明理由.
19.探究：
小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点Pi
（xi,yi）,P2（X2,y2）,可通过构造直角三角形利用图1得到结论：
PiP2=
他还利用图2
证明了线段PR的中点P（x,y）
P的坐标公式：
1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：
（2）①已知点M（2,-
1）,N（-3,5）,则线段MN长度为
②直接写出以点A（2,2）,B（-2,0）,C（3,-1）,D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：
拓展：
（3）如图3,点P（2,n）在函数y二x（x20）的图象0L与x轴正半轴夹角的平分线上，请在0L、x轴上分别找出点E、F,使厶PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.
20.睾那還聲（『迸A*'b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-
（1）求直线y二kx+b的函数解需击；
（2）若点P（x,y）是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最
小值.
21•如图①，在平面直角坐标系中，0A=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得
BC〃0A,且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.
（1）求这条抛物线的
升级会员 