初二上学期期中考试数学试题解析卷.docx
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初二上学期期中考试数学试题解析卷
2019-2020年初二上学期期中考试数学试题（解析卷）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
【解答】解：
A选项的图形黑色部分呈螺旋状，不是轴对称图形，
B选项的图形是轴对称图形，
C选项的图形是轴对称图形，
D选项的图形是轴对称图形，
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正五边形B．正方形C．梯形D．等腰三角形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：
正五边形，正方形，梯形，等腰三角形中具有稳定性的是等腰三角形．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
3．若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（ ）
A．5B．3C．15D．10
【考点】同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：
3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，
故选：
B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
4．下列各式运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5B．a2•a3=a5C．（ab2）3=ab6D．a10÷a2=a5（a≠0）
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别利用同底数幂的乘法以及同底数幂的除法运算法则以及积的乘方运算法则判断得出即可．
【解答】解：
A、a2+a3无法计算，故此选项错误；
B、a2•a3=a5，正确；
C、（ab2）3=a3b6，故此选项错误；
D、a10÷a2=a8（a≠0），故此选项错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了积的乘方以及同底数幂的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．若x的多项式8x2﹣3x+5与3x3+2mx2﹣5x+3相加后，不含x2项，则m等于（ ）
A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣8
【考点】整式的加减．
【专题】计算题．
【分析】先把两个多项式相加，再根据不含x2项，可知x2项的系数为0，那么8+2m=0，解即可求m．
【解答】解：
∵8x2﹣3x+5+3x3+2mx2﹣5x+3=3x3+（8+2m）x2﹣8x+8，
又结果中不含x2项，
∴8+2m=0，
解得m=﹣4．
故选C．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是注意合并同类项．
6．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）
A．∠B=∠EB．∠C=∠FC．BC=EFD．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：
A、正确，符合判定ASA；
B、正确，符合判定AAS；
C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；
D、正确，符合判定SAS．
故选C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
7．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【考点】三角形的外角性质；直角三角形的性质．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：
如图，∠1=90°﹣60°=30°，
所以，∠α=45°+30°=75°．
故选C．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A=40°，将△ABC延虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．200°C．220°D．270°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】根据题意可得出∠B+∠C，再根据四边形的内角和定理可求出∠1+∠2．
【解答】解：
∵∠A=40°，
∴∠B+∠C=140°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=220°．
故选：
C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于180°．
9．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=5，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．17C．16D．15
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由∠B和∠C的平分线相交于点D，EF∥BC，易证得△EBD与△FCD是等腰三角形，则可得ED=EB，FD=FC，又由△AEF的周长为9，BC=8，由等量代换，即可得△ABC的周长是△AEF的周长与BC边的和．
【解答】解：
∵∠B和∠C的平分线相交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴ED=EB，FD=FC，
∵△AEF的周长为9，BC=6，
∴△ABC的周长为：
AB+AC+BC=AE+BE+AF+CF+BC=AE+ED+DF+AF+BC=AE+EF+AF+BC=9+6=15．
故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，由平行线与角平分线，易构造等腰三角形，注意转化思想的应用．
10．如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A．1B．
C．
D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质．
【解答】解：
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBD=60°．
∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．
∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△BCE≌△BDE．
∴CE=DE．
∵AC=6，∠A=30°，
∴BC=AC×tan30°=2
．
∵∠CBE=30°．
∴CE=2．即DE=2．
故选D．
【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．五边形对角线的条数是 5 ．
【考点】多边形的对角线．
【专题】计算题．
【分析】根据n边形的对角线的条数是
n（n﹣3）条，代入即可求解．
【解答】解：
五边形对角线的条数是：
×5（5﹣3）=5条．
故答案是：
5．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线条数的计算方法，是需要熟记的内容．
12．多项式x2+3x﹣1是 二 次 三 项式．
【考点】多项式．
【专题】计算题．
【分析】根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解．
【解答】解：
由题意可知，多项式x2+3x﹣1是二次三项式．
故答案为：
二，三．
【点评】本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：
多项式中的每个单项式叫做多项式的项；
多项式中不含字母的项叫常数项；
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
13．等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则此等腰三角形的周长等于 15 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3，只能为6，然后即可求得等腰三角形的周长
【解答】解：
①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3=15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案是：
15．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的三线合一知：
底边上的高也是底边上的中线．即BD=
BC．
【解答】解：
因为AB=AC，AD⊥BC，BC=6，
所以BD=DC=
BC=3，
故答案为：
3．
【点评】考查了等腰三角形三线合一性质以及直角三角形的勾股定理．
15．如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是40．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：
∵直线a∥b，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40°．
故∠3的度数是40°．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 33 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
【解答】解：
如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=
×22×3=33．
故答案为：
33．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
三．解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．如图，在公路
的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【考点】轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．
【分析】作A点关于
的对称点A′，连接A′B，交直线
于M，此时AM+MB的和最小，M所处的位置即为中转站应建的位置．
【解答】解：
作A点关于
的对称点A′．
连接A′B交
于点M，连接AM，此时AM+MB的和最小，M即为所求．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，作出其中一点的对称点，并利用两点之间线段最短是解题的关键．
18．一个正多边形的内角和是外角和的4倍，求这个正多边形的边数．
【考点】多边形内角和与外角和．
【分析】根据多边形的内角和和与外角和的关系，可得关于n的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：
设这个正多边形的边数n边形，由题意，得
（n﹣2）×180°=4×360°．
解得n=10，
答：
这个正多边形的彼岸数是10．
【点评】本题考查了正多边形的内角和与外角和的关系．
19．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：
BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
【解答】解：
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
四．解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．先化简，再求值：
，其中
．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用去括号法则去括号后，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
原式=
=
，
当
时，原式=
=0．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，涉及的知识有：
去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
21．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，且AB=DE．
（1）求证：
△ACB≌△EBD；
（2）若DB=10，求AC的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】
（1）易证∠DEB=∠A，即可证明△ACB≌△EBD，即可解题；
（2）根据
（1）中结论可得BC=DB，AC=EB，根据BD长度即可求得BC长度，即可解题．
【解答】
（1）证明：
∵∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠A，
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD，（AAS）；
（2）解：
∵△ACB≌△EBD，
∴BC=DB，AC=EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=
，
∵DB=10，BC=DB，
∴BC=10，
∴AC=EB=
=5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACB≌△EBD是解题的关键．
22．∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：
（1）BE=CF；．
（2）求证：
AB+AC=2AF
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】
（1）根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），然后根据全等三角形的对应边相等推知BE=CF．
（2）求出△AED≌△AFD，推出AE=AF，即可得出答案
【解答】解：
（1）连接DB．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
∵∠DFC=∠DEB=90°，（已知），
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．
（2）∵Rt△DCF≌Rt△DBE
∴FD=ED（全等三角形的对应边相等）
∴在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）
∴AE=AF
∴AB-BE=AF
又∵BE=CF=AF-AC
∴AB-（AF-AC）=AF
即AB+AC=2AF
【点评】本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解答此题时是通过作辅助线BD构建全等三角形△DCF≌△DEB（SAS）来证明全等三角形的对应线段CF=BE．题目比较典型，难度适中．
五．解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．平方差公式
是恒等式，是初中数学中重要的公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式。
在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式，运用平方差公式计算下列各式。
（1）
（2）
【考点】平方差公式的运用．
【分析】
（1）根据得出平方差公式计算即可；
（2）根据得出平方差公式计算即可．
【解答】解：
（1）原式
；
（2）原式=
=
=
=
=
．
【点评】本题主要考查了平方差公式灵活运用，熟记公式结构是利用平方差公式解题的关键．
24．如图：
在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：
①△ADC≌△BEA；
②BP=2PQ．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】
（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
【解答】证明：
（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=∠C=60°．
∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°．
∴∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．
25．问题背景：
（1）如图1：
在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】
（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【解答】证明：
（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：
延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．
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