完整word版31方阵问题教师版含答案.docx
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方阵问题
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学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:
一、实心方阵
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)=每边数×每边数
2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1
3.方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
5、每层数=(每边数-1)×4
二、空心方阵
1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数
2、总数=最外层人数2-最内层人数2
=(最外层每边数-层数)×层数×4
=(最外层数+最内层数)×层数÷2
3、内层数=外层数-8
4、每层数=(每边数-1)×4
5、实心方阵的总人数是一个完全平方数,空心方阵的总人数是4的倍数。
例1:
学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人?
解析:
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:
60÷4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:
16×16=256(人)。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?
这个方阵共有五年级学生多少人?
解析:
根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解:
方阵最外层每边人数:
60÷4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:
16×16=256(人)
答:
方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
解析:
方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。
解法1:
最外边一层棋子个数:
(14-1)×4=52(个)
第二层棋子个数:
(14-2-1)×4=44(个)
第三层棋子个数:
(14-2×2-1)×4=36(个).
摆这个方阵共用棋子:
52+44+36=132(个)
解法2:
还可以这样想:
中空方阵总个数=(每边个数一层数)×层数×4进行计算。
(14-3)×3×4=132(个)
答:
摆这个方阵共需132个围棋子。
【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人?
解析:
依据:
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1可知每边的人数是:
(人)
原人数是:
(人)
【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子?
解析:
这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一个数的平方数
因为
(人),并且是实心的方阵,所以最外层有10人。
例2:
参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
解析:
如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5,去一行、一列则一共要去9人,因而我们可以得到如下公式:
·····
·····
·····
·····
·····
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
解:
方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33,
则去掉的一行(或一列)人数=
人
方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为
(人)
【巩固】参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:
要去掉多少名学生?
还剩下多少名学生?
解析:
如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:
(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。
(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。
因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。
本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)
或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)
还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人)
或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)
答:
如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。
例3:
解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数?
解法1:
这样想:
把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
(1)中实方阵总人数:
12×12=144(人)
(2)第四层每边人数:
12-2×(4-1)=6(人)
(3)空心方阵人数:
(6-2)×(6-2)=16(人)
(4)中空方阵人数:
144-16=128(人)
答:
总人数是128人。
小结:
中空方阵总人数=外边人数×外边人数-(内边人数-2)×(内边人数-2)
解法2:
这样想:
把中空方阵分成四个相等的长方形。
(1)每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8(人)
(2)每个长方形的宽是层数:
4人
(3)总人数:
8×4×4=128(人)
答:
总人数是128人。
小结:
中空方阵总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【巩固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面,每边插7面。
一共要准备多少面旗子?
解析:
依据求外层个数的公式:
(边数-1)×4
(面)
例4:
一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?
整个花园中共栽多少棵花?
解析:
①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵数为:
(棵)。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花:
(棵)。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上
栽花棵数为:
(棵)
解:
大三角形三条边上共栽花:
(棵)
中间画斜线小三角形三条边上栽花:
(棵)
整个花坛共栽花:
(棵)
答:
大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。
【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人?
解析:
如图,实心圆表示小明的位置,可以知道,
这个队列每行都是9人。
解:
每行每列数:
(人)
共有:
(人)
例5:
小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:
最外边一层每边有多少枚棋子?
解析1:
利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)
最外层每边的棋子数:
56÷4+1=15(个)
解析2:
如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数:
200÷4=50(个)
每一部分每排的棋子数:
50÷5=10(个)
最外层每边的棋子数:
10+5=15(个)
综合列式为:
200÷4÷5+5=15(个)
答:
最外边一层每边有15枚棋子。
【巩固】游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:
彩车周围的少先队员共有多少人?
解析1:
请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点:
(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;
(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个。
最外层队员的总数:
(人)
三层共有队员的总数:
=
=
(人)
解析2:
如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:
(12-3)×3=9×3=27(人)
三层共有队员数:
27×4=108(人)
答:
彩车周围的少先队员共有108人。
这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。
例6.军训的学生进行队列表演,排成了一个7行7列的正方形队列,如果去掉一行一列,要去掉多少人?
还剩下多少人?
分析与解:
如下图:
方法一:
去掉的一行一列的人数为:
(人)
剩下的人数为:
(人)
方法二:
去掉后剩下的是6行6列的正方形队列,即
(人)
去掉的人数为:
(人)
例7.光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,问四年级原来准备多少人参加表演?
分析与解:
此题刚好是例1的逆向题,根据正方形队列的特点可知:
原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2
即:
原来每行人数是
(人)
原来准备参加表演的人数:
(人)
答:
四年级原准备196人参加表演。
例8.正方形舞厅四周均匀地装彩灯,如果四个角都装一盏,且每边12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
分析与解:
如下图:
方法一:
从图
(1)可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:
(盏)
方法二:
按图
(2)把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:
(盏)
答:
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例9.游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边12人,问彩车周围的少先队员共有多少人?
分析与解:
方法一:
这是一个只有3层的中空方阵,最外层每边有12人,最外层一共有
(人),第二层每边少2人,即第二层每边10人,第二层共有
(人),比第一层总数少8人,同理,第三层总数是
(人)
三层共有队员的总数:
(人)
方法二:
如下图,可把队员分成人数相等的四部分,每一部分的人数:
(人)
三层共有队员数:
(人)
方法三:
从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵,就是队员人数:
(人)
例10.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵,共用了200个棋子,问最外边一层每边有多少个棋子?
分析与解:
方法一:
利用相邻两层之间,每层的总数相差8的特点。
可知最外层共有棋子数:
(个)
最外层每边的棋子数:
(个)
方法二:
如下图,把棋子分成相等的四部分,每一部分的棋子数为:
(个),每一部分每排的棋子数为:
(个)
最外层每边的棋子数为:
(个)
列综合算式:
(个)
答:
最外层每边有棋子15个。
课后作业
1、若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:
原有学生多少人?
解析:
由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。
又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。
列式为(21+1)÷2=11人。
求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。
也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。
答:
原有学生112人。
2、有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:
方阵中一共有士兵多少人?
解析:
要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。
已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?
不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人。
因此方阵中一共有26×26=676人。
答:
一共有676人。
3、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:
要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?
最外一层的棋子总数是多少?
解析:
如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。
最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。
列式是6×4-4=20枚。
说明:
这道题还可以这样想:
数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。
按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。
4、一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人?
解析1:
把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论:
去掉一行一列的总人数=原每行人数×2-1
反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数”的变化,即可列式为:
去掉4行4列的总人数
=20×2-1+(20-1)×2-1+(20-2)×2-1+(20-3)×2-1
=40-1=38-1+36-1+34-1
=144(人)
解析2:
我们还可以这样想:
原来是一个7行7列的方阵,若去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数-4,即去掉的总人数
=20×20-(20-4)×(20-4)
=400-256
=144(人)
答:
去掉4行4列,要减少144人。
5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
解析
(1):
自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:
12×4-4=44
(2):
还可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:
(12-1)×4=44(盏)
答:
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
6、“六一”儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?
解析:
分析思路参见例6,最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数
204÷4÷3+3=20(盆)
答:
最外面一层每边有鲜花20盆
7、四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问:
方阵最外层每边的人数是多少?
这个方阵共有多少人?
解析:
根据四周人数与每边人数的关系可知:
每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。
解:
(1)方阵最外层每边的人数:
20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整个方阵共有学生人数:
6×6=36(人)
答:
方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?
摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子?
解析:
(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个。
解:
(1)最里层一周棋子的个数是:
(15-2-2-1)×4=40(个)
(2)这个空心方阵共用的棋子数是:
(15-3)×3×4=144(个)
答:
这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。
9、若干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数。
解析:
我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。
解:
由于最外层每边有12人,因此最外层一共有(12-1)×4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28人,第四层有28-8=20人。
因此一共有44+36+28+20=128人。
还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成。
因此一个长方形有8×4=32人,一共有4个长方形,32×4=128人。
当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12×12=144人。
又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12-2=10人,第三层每边有10-2=8人,第四层每边有8-2=6人,第五层每边有6-2=4人。
因此小的中实方阵有4×4=16人。
144-16=128人就表示一共有战士的人数。
答:
一共有128人。
10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问:
共摆了多少盆鲜花?
解析:
由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花48-8=40盆,第三层有花40-8=32盆,第四层有花32-8=24盆。
这样通过枚举方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数。
因此一共摆了48+40+32+24=144盆。
答:
一共摆了144盆。
11、有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?
方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
解析:
根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图
(1)
(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。
因而杨树和柳树的棵数相等。
即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。
当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。
解:
(1)最外层杨柳树的棵数分别为:
(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:
(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:
7×7-25=24(棵)
(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)
答:
在两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。
2.模拟试题:
1.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少多少运动员?
(人)
(人)
(人)
答:
要减少32名运动员。
2.学校为庆祝“十一”,用盆花摆了一个中实方阵,最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆?
(盆)
(盆)
答:
这个方阵共有花100盆。
3.一个由圆片摆成的中实方阵,最外一层有12个圆片,把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵,那么最外层应该有多少个圆片?
(个)答:
最外层应该有28个圆片。
4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层的圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新的中空方阵,应再增加多少圆片?
(个)
(个)
(个)
答:
应再增加16个圆片。
5.解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这个方阵有几层?
一共 有多少人?
(层)
(人)
答:
这个方阵有5层,一共有160人。