函数的最值与值域12.docx

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函数的最值与值域12

函数的最值与值域

【考纲要求】

1.会求一些简单函数的定义域和值域；

2.理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

3.会运用函数图象理解和研究函数的性质．

4.在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、函数最值的定义

1.最大值：

如果对于函数

定义域

内的任意一个自变量

，存在

，使得

成立，则称

是函数

的最大值．

注意：

下面定义错在哪里？

应怎样订正．

如果对于函数

定义域

内的任意一个自变量

，都有

，则称

是函数

的最大值．

2.最小值的定义同学们自己给出．

考点二、函数最值的常用求法

1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．

2.判别式法：

主要适用于可化为关于

的二次方程，由

（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的

的值．

3.换元法：

很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．

4.不等式法：

利用均值不等式求最值．

5.利用函数的性质求函数的最值

6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法

7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：

（1）求最值的基本程序：

求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；

（2）一些能转化为最值问题的问题:

在区间D上恒成立

函数

在区间D上恒成立

函数

在区间D上存在实数

使

函数

在区间D上存在实数

使

函数

【典型例题】

类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值

例1.求函数

的最值．

【解析】

令

（注意

的范围），这样所求函数就变为二次函数．

【总结升华】当式子中同时出现

和

时，都可以化为二次式．

举一反三：

【变式】求函数

的值域．

解：

平方再开方，得

类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值

例2.求下列函数值域：

（1）

；1）x∈[5，10]；2）x∈（-3，-2）∪（-2，1）；

（2）y=x2-2x+3；　1）x∈[-1，1]；2）x∈[-2，2].