版高中数学课时作业20简单线性规划的应用.docx
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版高中数学课时作业20简单线性规划的应用
课时作业20 简单线性规划的应用
[基础巩固]（25分钟，60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元D．18万元
解析：
设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有
z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A（2,3）时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
答案：
D
2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
A．36万元B．31.2万元
C．30.4万元D．24万元
解析：
设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.
答案：
B
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：
设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据题意，得约束条件
目标函数z＝280x＋200y，画出可行域阴影部分中的整点如图．
作直线7x＋5y＝0平移至过点M时z取得最大值，由
得最优解M（15,55）．
所以当x＝15，y＝55时，z取得最大值
答案：
B
4．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
则z＝10x＋10y的最大值是（ ）
A．80B．85
C．90D．95
解析：
该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与
最近的点为（5,4），故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
答案：
C
5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（ ）
A．12万元B．20万元
C．25万元D．27万元
解析：
设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得的利润为z万元，则z＝5x＋3y.
由题意得
可行域如图中阴影部分所示．
由图可知，当x，y在A点取值时，z取得最大值．由
解得
即A（3,4），所以zmax＝5×3＋3×4＝27.故该企业可获得的最大利润是27万元．
答案：
D
二、填空题（每小题5分，共15分）
6．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：
设生产产品Ax件，产品By件，则
目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60,100），（0,200），（0,0），（90,0）．
当直线z＝2100x＋900y经过点（60,100）时，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．
答案：
216000
7．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．
解析：
设买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示，将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A
时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为（18,19），此时z最大为37.
答案：
37
8．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：
设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，租赁费z元，
由题意得
z＝200x＋300y.
可行域为如图阴影部分内（包括边界）的整点．
作直线l0：
2x＋3y＝0，
平移l0可知，当直线过点A时，z有最小值．
又由
得A点坐标为（4,5）．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：
2300
三、解答题（每小题10分，共20分）
9．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的
.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg，问饲料怎样混合才使成本最低．
解析：
设每周需用谷物饲料xkg，动物饲料ykg，每周总的饲料费用为z元，由题意得
而z＝0.28x＋0.9y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35000和直线y＝
x的交点A
，即x＝
，y＝
时，饲料费用最低．所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．
10．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：
怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解析：
设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300,5x＋10y≤110，x，y∈N，
即
利润z＝6x＋8y.
作出可行域如图阴影部分所示的整点部分．
由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由
，
得
此时zmax＝6×4＋8×9＝96（百元）．
故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．
[能力提升]（20分钟，40分）
11．配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：
千克）：
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20kg，原料乙25kg，那么可以获得的最大销售额为（ ）
A．600元B．700元
C．800元D．900元
解析：
设可配药剂A，B分别为x剂、y剂，获得的销售额为z元，有
，z＝100x＋200y，两直线2x＋5y＝20与5x＋4y＝25的交点为
，取该点附近的整点（2,2），（2,3），（3,2），代入检验可知当直线过点（2,3）时，z取得最大值，为800.
答案：
C
12．已知O是坐标原点，点A（－1,1），若点M（x，y）为平面区域
上的一个动点，则
·
的取值范围是________．
解析：
满足约束条件
的平面区域为如图所示的PQS所在的平面区域．设M点坐标为（x，y），则
·
＝－x＋y，令z＝－x＋y，则y＝x＋z，移动直线y＝x可知，当直线y＝x＋z过点S（1,1）时z最小，过点P（0,2）时z最大．所以zmin＝－1＋1＝0，zmax＝0＋2＝2.
所以
·
的取值范围是[0,2]．
答案：
[0,2]．
13．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析：
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分．
作直线l：
3000x＋2000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立
解得x＝100，y＝200.
所以点M的坐标为（100,200）．
所以zmax＝3000x＋2000y＝700000（元）．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
14．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解析：
设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，
则
目标函数z＝x＋y.
作出可行域如图所示，作出直线x＋y＝0.作出一组平行直线x＋y＝t（其中t为参数）．
经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A
，直线方程为x＋y＝
.
由于
和
都不是整数，而最优解（x，y）中，x，y必须都是整数，所以，可行域内点
不是最优解．
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是x＋y＝12.
经过的整点是B（3,9）和C（4,8），它们是最优解．
所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
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