八年级第12章全等三角形教案.docx

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八年级第12章全等三角形教案

12．1全等三角形

教学目标：

1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性质

3在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，

重点：

探究全等三角形的性质

难点：

掌握两个全等三角形的对应边，对应角

教学过程：

观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题：

你还能举出生活中一些实际例子吗？

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用

表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合

的角叫做对应角

思考：

如上图，12。

1-1

，对应边有什么关系？

对应角呢？

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

思考：

（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

（2）将

沿直线BC平移，得到

，说出你得到的结论，说明理由？

（3）如图，

AB与AC，AD与AE是对应边，已知：

，求

的大小。

小结：

作业：

P33—1，2，3

12．2三角形全等的判定

（1）

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学难点

三角形全等条件的探索过程．

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：

全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：

两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?

如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．

三、建立模型，探索发现

出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?

让学生按照下面给出的条件作出三角形．

（1）三角形的两个角分别是30°、50°．

（2）三角形的两条边分别是4cm，6cm．

（3）三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：

三边对应相等的两个三角形全等．

四、应用新知，体验成功

实物演示：

由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．

鼓励学生举出生活中的实例．

给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

例2如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD．

AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗?

例3如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?

你有几种方法?

你能证明你的方法吗?

试一试．

五、巩固练习

教科书第37页的思考及练习．

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

七、布置作业

1．必做题：

教科书第43页习题12．2中的第1、2题．

2．选做题：

教科书第44页第9题．

12.2三角形全等的判定

（2）

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．

教学难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．

教学过程（师生活动）

一、创设情境，引入课题

多媒体出示探究3：

已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．

二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

补充强调：

角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．

三、应用新知，体验成功

出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．

（若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB＝DE，

只需证△ABC≌△DEC

△ABC与△DEC全等的条件现有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．

补充例题：

1、已知：

如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证：

△ABD≌△ACE

证明:

∵∠BAC=∠DAE（已知）

∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE

AB=AC（已知）

∠BAD=∠CAE（已证）

AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS）

思考：

求证：

1.BD=CE

2.∠B=∠C

3.∠ADB=∠AEC

变式1：

已知：

如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.

求证：

⑴△DAC≌△EAB

1.BE=DC

2.∠B=∠C

3.∠D=∠E

4.BE⊥CD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?

为什么?

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

教师演示：

方法

（一）教科书39页图12.2-7．

方法

（二）通过画图，让学生更直观地获得结论．

五、巩固练习

教科书第39页，练习

（1）

（2）．

六、小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?

让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．

七、布置作业

1．必做题：

教科书第43页，习题12．2第3、4题．

2．选做题：

教科书第44页第10题．

3．备选题：

（1）小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?

并说明理由．

（2）如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．

12.2三角形全等的判定（3）

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：

“ASA”“AAS”．

教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用．

教学过程（师生活动）

创设情境

复习：

师：

我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?

生：

“SSS”“SAS”

师：

那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否

也可能全等呢?

今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心

被撕坏了，如图，你能制作一张与原来

同样大小的新教具？

能恢复原来三角形

的原貌吗？

1．师：

我们先来探究第一种情况．（课件出示“探究5……”）

（1）探究5

先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

师：

怎样画出△A'B'C'?

先自己独立思考，动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．

生：

独立探究，试着画△A'B'C'，（有问题的，可以小组内交流解决……）……

（2）全班讨论交流

师：

画好之后，我们看这儿有一种画法：

（课件出示画法，出现一步，画一步）

你是这样画的吗?

师：

把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等．

生：

（剪△A'B'C'，与△ABC作比较……）

师：

全等吗?

生：

全等．

师：

这个探究结果反映了什么规律?

试着说说你的发现．

生1：

我发现……

生2：

……

生3：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

师：

这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，

我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应

注意，“边”必须是“两角的夹边”．

练习：

已知：

如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C

求证：

△ABE≌△A’CD

例1.已知：

点D在AB上，点E在AC上，BE和CD

相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。

求证：

BD=CE

2．探究6

师：

我们再看看下面的条件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?

能利用角边角条件证明你的结论吗?

师：

看已知条什，能否用“角边角”条件证明．

生独立思考，探究……再小组合作完成．

师：

你是怎么证明的?

（让小组派代表上台汇报）

小组1：

…．

小组2：

……投影仪展示学生证明过程

（根据学生的不同探究结果，进行不同的引导）

师：

从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律?

生l：

两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．

生2：

在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”．

师：

非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律?

生1：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

师：

生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．

例2．教材40页1题。

师：

从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了．

探究7：

（1）三角对应相等的两个三角形全等吗?

（课件出示题目）

师：

想想，怎样来探究这个问题?

生1：

……

生2：

…．

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．

师：

这一规律我们可以怎样表达?

生1：

…．

生2：

三个角对应相等的两个三角形不一定全等．

（2）师：

说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

生：

SSSSASASAAAS

小结提高

师：

这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?

巩固练习

教科书第41页，练习2．

布置作业

1。

必做题：

教科书第44页习题12.2第6、11题

2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?

如果可以，带哪块去合适?

为什么?

12.2三角形全等的判定（4）

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：

HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

③提高应用数学的意识．

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：

HL．

教学过程:

提问：

1、判定两个三角形全等方法有：

，，，。

创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个办法吗？

方法一：

测量斜边和一个对应的锐角.（AAS）

方法二：

测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.（ASA）或（AAS）

⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

新课：

已知线段a、c（a﹤c）和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.

想一想，怎样画呢？

按照下面的步骤做一做：

⑴作∠MCN=∠α=90°;

⑵在射线CM上截取线段CB=a

⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;

⑷连接AB.

⑴△ABC就是所求作的三角形吗？

⑵剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般

三角形判定全等的方法:

SAS、ASA、AAS、SSS，

还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.

小结：

这节课你有什么收获呢？

与你的同伴进行交流

作业：

44页7、8。

§12．3角的平分线的性质

§12．3．1角的平分线的性质

（一）

教学目标

（一）教学知识点

角平分线的画法．

（二）能力训练要求

1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．

2．会用尺规作一个已知角的平分线．

教学重点

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：

三角形中有哪些重要线段．

问题2：

你能作出这些线段吗？

[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：

三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．

[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．

[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

Ⅱ．导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：

∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

[师]他这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，联想迁移的学习方法值得大家借鉴．

议一议：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理．

[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

[生3]我们看看条件够不够．

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结：

1．去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

Ⅲ．随堂练习

课本P50练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．

Ⅳ．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．

Ⅴ．课后作业

1．课本P51习题12．2─1、2．

§12．3．2角的平分线的性质

（二）

教学目标

（一）教学知识点

角的平分线的性质

（二）能力训练要求

1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

（三）情感与价值观要求

通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点

角平分线的性质及其应用．

教学难点

灵活应用两个性质解决问题．

教学方法

探索、归纳的方法．

教具准备

剪刀、折纸、投影片．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？

把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．

Ⅱ．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

操作：

1．折出如图所示的折痕PD、PE．

2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．

[生甲]噢，对于，我知道了．

[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．

问题1：

你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：

（出示投影片）

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

学生通过讨论作出下列概括：

已知事项：

OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：

PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

（出示投影）

问题3：

根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：

点P在∠AOB的平分线上．

[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：

到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？

[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．

下面请同学们思考一个问题．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20000）？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？

用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：

20000是什么意思？

（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）

讨论结果展示：

1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形