第8讲二次函数专题讲座docx.docx
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第8讲二次函数专题讲座docx
（聚焦2008）第8讲：
二次函数专题讲座
（一）二次函数的解析式的三种形式
（1）标准式：
y=ax2+bx+c（a≠0）；
（2）顶点式：
y=a（x+m）2+n（a≠0）；
（3）两根式：
y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
【例1】已知二次函数y=f（x）同时满足条件：
（1）f（1+x）=f（1－x）；
（2）y=f（x）的最大值是１５；（3）f（x）＝０的两根立方和等于１７。
求y＝f（x）的解析式。
（二）二次函数的基本性质
（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠０）的图像是一条抛物线，对称
轴方程为x＝－
b
，顶点坐标是（－
b
，
4acb2
）。
2a
2a
4ac
当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－b
]上递减，在[－b
，
2a
2a
＋∞）上递增。
当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－b
]上递增，在[－b
，
2a
2a
＋∞）上递减。
（2）直线与曲线的交点问题：
①二次函数
f（x）=ax2+bx+c
（a≠０），当
＝b2－４ac＞0
时，图像
与x轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是
｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x１－x２｜＝。
|a|
②若抛物线
y=ax
2+bx+c（a≠0）与直线
y=mx+n
，则其交点由二方
程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程
ax2+bx+c
=mx+n，即px2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二
次方程的判别式的符号决定。
特别地，抛物线与
x轴的交点情况由
ax2+bx+c=0
的解的情况决定，
于是也归结为判定一元二次方程
ax2+bx+c=0
的判别式的符号问题。
当=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对
应的抛物线与x轴有两个交点，此时二次函数的图像被
x轴截得的弦长
L=|x2－x1|=（x2
x1）2
（x2
x1）2
4x1x2
。
|a|
当=b2－4ac=0
时，方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根，即对
应的抛物线与x轴只有一个交点，此时抛物线与
x轴相切。
当=b2－4ac<0
时，方程ax2+bx+c=0
无实数根，即对应的抛物线
与x轴有无交点，此时二次函数的图像恒在
x轴上方或者下方。
【例２】已知函数
f（x）=ax2+bx+c
的图像经过点（１，１），（３，
５）且f（０）＞０，求a，b，c使该函数的最小值最大。
（三）二次函数闭区间上的最值问题
（１）二次函数y=f（x）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端
点与二次函数图像的顶点处取得最值。
（２）二次函数y=f（x）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的
相对位置关系，为此有下列四种情形：
①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的；
③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。
（３）二次函数
y=f（x）=ax2+bx+c（a>0）在闭区间[m，n]上的最
值：
①若x
b
m，则y=f（x）在区间[m，n]上是增函数，此时必有
2a
f（m）≤f（x）≤f（n）；
②若m
x
b
n，则y=f（x）的最小值为[f（x）]min=f（－
b
2a
），但
2a
最大值应视对称轴与区间端点的距离而定；
③若m
x
b
m
n
2a
，则y=f（x）的最大值为[f（x）]max=f（n）；
④若m
n
b
2
x
n，则y=f（x）的最大值为[f（x）]max=f（m）；
2
2a
b
n，则y=f（x）在区间[m
，n]上是减函数，此时必
（3）若x
2a
有f（n）≤f（x）≤f（m）。
（４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤：
①配方；②作图；③截断。
注：
关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。
【例３】已知函数
y＝－x2+ax－a
＋
1在区间［０，１］上的最大
4
2
值是２，求实数a的值。
【例４】（２００３年全国高考试题）已知a为实数，函数y＝x2+｜x
－a｜＋１，x∈Ｒ。
（１）讨论y＝f（x）的奇偶性；
（２）求y＝f（x）的最小值。
（四）设x１，x２是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝０（a＞0）的两个
实数根，则x１，x２的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：
一元二次方程根的分布
图像
充要条件
y
＞0
x１＜x２＜k
f（k）
f（k）＞0
x1O
x2kx
－
b
＜k
y
f（k）
k＜x１＜x２
x1
O
x
k
2
x
2a
＞0
f（k）＞0
－b＜k
2a
y
x１＜k＜x２
x１，x２∈（k１，k２）
x１，x２有且仅有一个在
（k１，k２）
k
x
x1O
x2
f（k）＜0
y
Δ≥0
x1
x
f（k1）＞0
x2k2
k1O
f（k2）＞0
k1＜－b
＜k2
f（
2a
）＜0或
y
k1
）·f（
k2
f（k1）=0
k1
k2x
1
＜－
b＜k1
k2
O
k
2a
2
f（k2）=0
k1
k2
＜－
b
＜k2
22a
【点拨】四个二次之间的关系的实质是二次函数、一元二次不等式、一
元二次方程和一元二次二项式之间的联系：
一元二次不等式、一元二次方程
和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。
（1）一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0与对应的二次函数的关系：
当f（x）=0时，即为关于x的一元二次方程；
（2）一元二次方程[f（x）=0]与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面：
①二次函数的开口方向；②方程的根所在区间的端点；③对称轴；④判
别式；⑤二次函数的图像与
x轴的交点。
【例5】已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}与B={（x，y）|x－y+1=0，
0≤x≤2}，若A∩B≠φ，求实数m的取值范围。
【例6】若对任意实数
x，sin2x+2kcosx－2k－2＜0恒成立，求实数k
的取值范围。
（五）在数学应用题中，某些量的变化通常是遵循一定规律的，这些规律就是我们所说的函数，建立函数模型解决应用题时，以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。
【例7】某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：
（1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数；
（2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的
3倍；
2
（3）旺季时，商场以140元/件的价格出售能获得最大利润，试问羊毛
衫的标价应定为多少？
【例8】已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可
表示为函数：
P（x）=－1（x－30）2+8（万元）。
现开发一个回报率高科
100
技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入x万元，可以获得的利润Q
（x）=－99（100－x）2+257（100－x）（万元）。
新产品开发从“十五”
1005
计划的第一年开始，用两年的时间完成。
这两年，每年从100万元的生产准
备资金中，拿出80万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这100万元
完全用于新旧两种产品的投入。
（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款
1000万元，利率为
5.5%
（不计复利），第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元；
（2）从新产品投产的第三年开始，从
100万元的生产准备资金中，新
旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？
（3）从新旧品的五年最高利中拿出70%来，能否清行的款？
（六）二次函数是一非常重要的函数，它的性和最等特性决
定了它与不等式的内在系，二次函数与不等式的巧妙合是高考命的一
个新向。
【例9】二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不α、β任何
数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0。
（1）求：
b+c=-1；
（2）求：
c≥3；
（3）若f（sinα）的最大8，求b、c的。
【分析】
（1）依据意f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0于α、β
任何数恒成立，不妨令sinα=1、cosβ=－1，b+c+1≥0，b+c+1
≤0，即b+c=－1。
（2）由-1≤cosβ≤1可以取cosβ=1，于是f（3）=3b+c+9≤0⋯⋯⋯⋯
（1），又b=－1－c，从而代入
（1）得，6≤2c，即c≥3。
（3）f（sinα）=sin2α+bsinα+c=（sinα+b）2+c-b2，于是由b+c=
2
4
－1且c≥3得，b≤－4，即
b
≥2，且－1≤sinα≤1，从而当sinα=－1
2
，f（sinα）=8，所以1－b+c=8。
故b=-4，c=3。
注意：
本是利用三角函数的有界性。
【例10】已知二次函数y=f（x）=ax2+bx+c的像点（－
1，0），
是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤x21一切数x都成立？
2
（1）求f
（1）的；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）n1＞2n。
k1f（k）n2
（七）二次函数的图像问题：
（1）y=ax2+bx+c（abc≠0），尽管如此，但由于二次函数的二次项的系数a相等，所以二次函数图像形状，开口方向完全相同，只不过位置不同
而已，从而系数a决定二次函数的图像形状和开口方向，且a的符号决定
开口方向，|a|决定抛物线开口的大小，即
当a＞0时，a越大，抛物线张口越小；a越小，抛物线张口越大；
当a＜0时，|a|越大，抛物线张口越小；|a|越大，抛物线张口越小。
（2）在直角坐标系中，二次函数的图像是一条以x=—b/2a为对称轴
的抛物线。
注意：
该命题的逆命题不成立，但下述命题是成立的：
对称轴是y轴（或平行于y轴）的抛物线所对应的函数是二次函数。
（3）顶点坐标（－
b
，4acb2
）。
2a
4a
（4）二次函数的图像过坐标原点
c=0，而当x=0时，y=c称为二
次函数在y轴上的截距，任何一个二次函数的图像与
y轴必相交且交点坐标
为（0，c）。
（5）二次函数与x轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程
f（x）=0
的实数根。
（6）设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），则①当a>0且<0时，f（x）>0恒成立；②当a<0且<0时，f（x）<0恒成立。
（八）二次函数图像的平移与旋转：
（1）上下平移：
将二次函数的图像上下平移时，顶点坐标的原象不变，像增大或减小；此时仅需解析式加上（向上）或减去（向下）一个常数即可。
（2）左右平移：
顶点坐标的原象改变，像的大小不变；
（3）旋转：
二次函数y=a（x+h）2+k（a≠0）的图像绕顶点（－h，k）
旋转1800后所得的二次函数y=a（x+h）2+k（a≠0）。
（九）二次函数的奇偶性：
二次函数为偶函数b=0；若b≠0，则二次函数为非奇非偶函数。
（十）二次函数的单调性（实质：
二次函数的单调区间是利用对称轴来
划分的）：
（1）当a>0时，抛物线的开口向上，函数y=f（x）在区间（－∞，－b
]
2a
上单调递减；在（－
b，+∞）上单调递增；此时函数在
x=－b处取得
4acb2
2a
2a
最小值
4a
；
（2）当a＜0时，抛物线的开口向下，函数
y=f（x）在区间（－∞，
－b
]上单调递增；在（－
b，+∞）上单调递减；此时函数在
x=－b
2a
4acb2
2a
2a
处取得最大值
4a
。
四、重要结论：
（函数图像的凹凸性）
已知二次函数f（x）=x2+ax+b，则对任意的x1，x2，都有
f（x1
x2）≤f（x1）
f（x2）。
2
2
注：
命题中并未明确指出
a、b的范围，表明所求证的式子与
a、b的值
无关，抓住此特征，该命题则可改编为下列命题：
1、若a=0，试比较f（x1
x2）与f（x1）
f（x2）的大小；
2
2
2、若a=1，试比较f（x1
x2）与f（x1）
f（x2）的大小；
2
2
3、是否存在常数
a，使得f（x1x2）
f（x1）f（x2）成立？
若成立，
2
2
请求出a的取值范围；若不成立，请说明理由。
答案：
存在常数
a，使f（x1x2）
f（x1）
f（x2）成立，且a的范围
2
2
是（－∞，0]。
4、已知函数f（x）具有性：
f（x1x2）≤f（x1）
f（x2），出
2
2
，3
函数：
（1）y=x2；
（2）y=2x；（3）y=log2x；（4）y=cosx，x∈[
]；（5）
2
2
y=tanx，x∈[0，]。
在函数定域内具有个性的函数有：
（1）
（2）
2
（4）（5）。
1、作下列函数的像：
（1）y=x2－2x－3,x∈R；
（2）y=x2－2x－3,x∈[－
1,2]；（3）y=x2－2|x|－3；（4）y=|x2－2x－3|。
2、作下列函数的像，并指出函数的区：
（1）y=|x2+3x－4|；
（2）y=－x2+2|x|+3
；（3）y=
x2
1
。
x
2
式1：
如，在直角坐系内有三点
O（0，0）、A（1，0）、B（0，
1），点C在段OB内，当点在第一象限的抛物
y=ax2+bx+c（a≠0）
点A和点C，判断下列各的符号，并明理由。
（1）a；
（2）b；（3）
c；（4）b2－4ac；（5）a+b+c；（6）a－b+c；（7）a+b+1。
式2：
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的像如：
（1）确定a、b、c和b2-4ac的符号；
（2）求OA?
OB的；
（3）当OA=OC，求a、b、之的关系。
2
k
的取范。
5、如果方程1+x-2x=k在－1≤x≤1上有数解，求
式引申1：
当m怎的数，方程x2－4|x|+5=m
有四个不相等的
数根？
式引申2：
利用二次函数的像，方程x2－2|x|=a
－1解的个数；
6、就m的取范，方程
x2－4|x|+3=m的根的个数。
式引申：
已知方程|x2－4x+3|=mx有四个不相等的根，求数
m范
。
分析：
方程|x
2－4x+3|=mx
有四个不相等的根，就是直
y=mx与
y=|x2-4x+3|的像有四个公共点。
直l：
y=kx与y=f（x）的像有三个公共点，
0方程消去y得，x2+（k-4）x+3=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）
令=（k-4）2－12=0，解得k=4±23。
当k=4+23时，方程（*）的二根x1=x2=3（1，3）不满足条件；
当k=4－23时，方程（*）的二根x1=x2=3∈（1，3）满足条件。
故M={m|0＜m＜4-23}。
例1、对任意实数m，函数y=x2－mx+5m－2的图像恒经过一个定点，
求此定点的坐标。
例2、设函数y=x2+x+1的定义域为[n，n+1]（n∈N），则f（x）的值
2
域内有（）个整数。
答案：
。
全265
例4、
（1）试确定函数f（x）=a
（2）求函数f（x）=loga（2x2
2
b（x2x）（05x3）的单调区间。
注：
总结
（1）、
（2）的结论。
例5、已知函数y=x2+（lga+2）x+lgb，f（-1）=2，当x∈R时，f（x）
≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时y=f（x）的最小值。
全285
例6、已知二次函数y=x2lga+2x+4lga的最大值为3，求实数a的值。
全293
例7、
（1）若函数y=lg（x2+2x+a2）的定义域为R，求实数a的取值
范围。
（2）若函数y=lg（x2+2x+a2）的值域为R，求实数a的取值范围。
注意：
总结上面两题的结论。
例8、已知二次函数y=f（x）的二次项系数为负数且对任意x恒有（f2-x）
=f（2+x）成立，试解不等式f[log1
（x2
x
1）]
f[log1
（2x2
x
5）]。
2
2
2
8
全320
例9、已知x满足不等式2（log2x）27log2x30。
求函数
x
x
的最值。
全320
y（log24
）（log2
2
）
例10、已知函数y=2（log2x）2
alog2（x2）
b在x=1/2时有最小值
1，试确定a、b的值。
全323
例11、设a≥0，b≥0，且x+2y=1/2。
求M=M
log1
（8xy4y2
1）
2
的最值。
全323
例12、已知f（x）=log4（x2
2x3）。
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