二维波动方程地有限差分法.docx
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二维波动方程地有限差分法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
数统学院实验时间：
2016年6月20日
实验项目
名称
二维波动方程的有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解二维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
（1）
1．在第三部分写出问题
（1）三层显格式。
2．根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。
将所写程序放到第四部分。
3．取
，分别将
时刻的数值解画图显示。
4.该问题的解析解为
，将四个时刻的数值解的误差画图显示，对数值结果进行简单的讨论。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
网格划分
，故
，
，
，
。
在内网点
，利用二阶中心差商，对
（1）建立差分格式：
（2）
整理得到：
（3）
其中，
，网比
，局部截断误差为
。
考虑边界条件
，差分格式为：
（4）
考虑初始条件
，差分格式为：
（5）
考虑初始条件
，利用二阶差商近似：
（6）
设
时刻的点为内点，则满足差分格式
（2），代入上式得到：
（7）
将（6）得到的结果
代入（7）中，整理得到：
（8）
综上
（2）、（4）、（5）、（8）得到三层显格式的差分格式为：
（9）
其中
，局部截断误差为
。
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
%二维波动方程数值计算（关键：
怎么运用i,j,k三个指标建立循环）
clc;
%可以将代码换成函数m文件
h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长
r=tau/h;%网比
[x,y,t]=meshgrid（0:
h:
1,0:
h:
1,0:
tau:
1.4）;%空间网格剖分
uu=cos（sqrt
（2）*pi*t）.*sin（pi*x）.*sin（pi*y）;%精确解计算
%第一层网点计算
u=sin（pi*x）.*sin（pi*y）;%初始条件
u1=u（:
:
1）;%因为此时得到的u为11x11x141，故只取第一层
%第二层网点计算
fori=2:
10
forj=2:
10
u（i,j,2）=0.5*r^2*（u（i+1,j,1）+u（i-1,j,1）+u（i,j+1,1）+u（i,j-1,1））+（1-2*r^2）*u（i,j,1）;
u（11,:
2）=0;u（:
11,2）=0;
end
end
u2=u（:
:
2）;
%第3-141层网点计算
fork=2:
140
fori=2:
10
forj=2:
10
u（i,j,k+1）=r^2*（u（i+1,j,k）+u（i-1,j,k）+u（i,j+1,k）+u（i,j-1,k））+（2-4*r^2）*u（i,j,k）-u（i,j,k-1）;
u（11,:
k+1）=0;u（:
11,k+1）=0;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%结果分析与作图%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
wucha=abs（u-uu）;%求绝对误差矩阵11x11x141
wucha1=wucha（:
:
11）;%计算t=0.1时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha2=wucha（:
:
51）;%计算t=0.5时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha3=wucha（:
:
101）;%计算t=1.0时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha4=wucha（:
:
141）;%计算t=1.4时刻的绝对误差矩阵11x11
x0=0:
h:
1;y0=0:
h:
1;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%误差分析%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%作t=0.1时刻的绝对误差图
subplot（2,2,1）;
mesh（x0,y0,wucha1）;
title（'t=0.1时刻的绝对误差'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'绝对误差值'）;
%作t=0.5时刻的绝对误差图
subplot（2,2,2）;
mesh（x0,y0,wucha2）;
title（'t=0.5时刻的绝对误差'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'绝对误差值'）;
%作t=1.0时刻的绝对误差图
subplot（2,2,3）;
mesh（x0,y0,wucha3）;
title（'t=1.0时刻的绝对误差'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'绝对误差值'）;
%作t=1.4时刻的绝对误差图
subplot（2,2,4）;
mesh（x0,y0,wucha4）;
title（'t=1.4时刻的绝对误差'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'绝对误差值'）;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%四个时刻数值解、精确解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%作t=0.1、0.5时刻的数值解与精确解
subplot（2,2,1）;
mesh（x0,y0,u（:
:
11））;%作t=0.1时刻的数值解
title（'t=0.1时刻的数值解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
subplot（2,2,2）;
mesh（x0,y0,uu（:
:
11））;%作t=0.1时刻的精确解
title（'t=0.1时刻的精确解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
%%作t=0.5时刻的数值解与精确解
subplot（2,2,3）;
mesh（x0,y0,u（:
:
51））;%作t=0.5时刻的数值解
title（'t=0.5时刻的数值解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
subplot（2,2,4）;
mesh（x0,y0,uu（:
:
51））;%作t=0.5时刻的精确解
title（'t=0.5时刻的精确解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%分别复制粘贴运行%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%作t=1.0、1.4时刻的数值解与精确解
subplot（2,2,1）;
mesh（x0,y0,u（:
:
101））;%作t=1.0时刻的数值解
title（'t=1.0时刻的数值解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
subplot（2,2,2）;
mesh（x0,y0,uu（:
:
101））;%作t=1.0时刻的精确解
title（'t=1.0时刻的精确解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
%%作t=1.4时刻的数值解与精确解
subplot（2,2,3）;
mesh（x0,y0,u（:
:
141））;%作t=1.4时刻的数值解
title（'t=1.4时刻的数值解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
subplot（2,2,4）;
mesh（x0,y0,uu（:
:
141））;%作t=1.4时刻的精确解
title（'t=1.4时刻的精确解'）;
xlabel（'x变量'）;ylabel（'y变量'）;zlabel（'u值'）;
五．实验结果及实例分析
1、
时刻的数值解与精确解图
图1t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：
上两图为四个时刻的数值解与精确解，
，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、
时刻的绝对误差图
图3四个时刻的绝对误差
3、四个时刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的绝对误差表
t=0.1时刻的绝对误差
0.0000
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0.0000
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0.0005
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0.0007
0.0007
0.0007
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0.0007
0.0007
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0.0000
0.0000
0.0001
0.0003
0.0004
0.0004
0.0005
0.0004
0.0004
0.0003
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0.0000
0.0000
0.0001
0.0001
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0.0002
0.0002
0.0002
0.0001
0.0001
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0.0000
0.0000
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0.0000
0.0000
t=0.5时刻的绝对误差
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0.0000
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0.0000
0.0000
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0.0000
0.0000
0.0007
0.0013
0.0018
0.0021
0.0022
0.0021
0.0018
0.0013
0.0007
0.0000
0.0000
0.0013
0.0025
0.0034
0.0040
0.0042
0.0040
0.0034
0.0025
0.0013
0.0000
0.0000
0.0018
0.0034
0.0047
0.0055
0.0058
0.0055
0.0047
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0.0000
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0.0065
0.0068
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0.0055
0.0040
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0.0000
0.0000
0.0022
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0.0071
0.0068
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0.0042
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0.0000
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0.0055
0.0065
0.0068
0.0065
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0.0000
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0.0058
0.0055
0.0047
0.0034
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0.0000
0.0000
0.0013
0.0025
0.0034
0.0040
0.0042
0.0040
0.0034
0.0025
0.0013
0.0000
0.0000
0.0007
0.0013
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0.0021
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0.0000
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0.0000
0.0000
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0.0000
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t=1.0时刻的绝对误差
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0.0053
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0.0059
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0.0096
0.0082
0.0059
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0.0082
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0.0139
0.0132
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0.0082
0.0043
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0.0000
0.0051
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0.0156
0.0164
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0.0132
0.0096
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0.0000
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0.0172
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t=1.4时刻的绝对误差
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0.0006
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0.0005
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0.0003
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0.0011
0.0011
0.0011
0.0009
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0.0006
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