高一上学期第一次期末模拟联考综合测试数学试题 含答案.docx
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高一上学期第一次期末模拟联考综合测试数学试题含答案
湘南三校联盟
2015-2016年度高一年级期末模拟第一次联考综合检测
2019-2020年高一上学期第一次期末模拟联考综合测试数学试题含答案
注意事项：
1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
3.考区填写：
衡阳八中A1永州四中A2郴州一中A3
一.选择题。
（每题5分，共60分。
在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
第1题图第5题图第6题图
2.对于实数定义运算“”：
，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若集合M={x|y=ln（x﹣1）}，N={x|y=}，则M∩N=（ ）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x＞1} D．{x|1≤x≤2}
4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
6.如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7.设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1
8.函数f（x）=ax﹣3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，2） C．（3，6） D．（3，7）
9.设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
10.以线段AB：
x＋y－2＝0（0≤x≤2）为直径的圆的标准方程为（ ）
A．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 B．（x－1）2＋（y－1）2＝2
C．（x＋1）2＋（y＋1）2＝8 D．（x－1）2＋（y－1）2＝8
11.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
12.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
二.填空题。
（每题5分，共20分。
将最终结果填写到答题卡上。
）
13.如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1．（注：
填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
第13题图
14.已知圆C：
（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是 ．
15.已知函数，且f（﹣1）=f
（2），则= .
16.已知函数f（x）=，则关于x的方程f+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．
三.解答题。
（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG．
18.（本题满分10分）
已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长．
（3）求BC的垂直平分线方程．
19.（本题满分11分）
某旅游点有50辆自行车供游客租货使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：
每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？
日净收入最多为多少元？
20.（本题满分12分）
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：
AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．
21.（本题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．
（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l的方程．
22.（本题满分14分）
已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
（2）若对且，，证明方程，必有一个实数根属于。
（3）是否存在，使同时满足以下条件
①当时，函数有最小值0；
②对任意,都有 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
2015-2016年度湘南三校联盟期末模拟第一次联考数学参考答案
一.选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
C
B
B
D
B
D
B
C
B
二.填空题（每题5分，共20分）
13.AC⊥BD14.（0，4）∪（6，+∞）15.-116.①②
三.解答题（共6题，共70分）
17.证明：
（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，（2分）
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四点共面；（5分）
（2）∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B1C1∥GH（7分）
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG（8分）
∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行
∴平面EFA1∥平面BCHG．（10分）
18.
（1）由两点式得AB所在直线方程为：
，即6x﹣y+11=0．（3分）
（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得，，即点M的坐标为（1，1）．
故．（6分）
（3）M的坐标为（1，1）．设BC的垂直平分线斜率为k，
又BC的斜率是k1=，则k=
∴BC的垂直平分线方程为
即3x+2y﹣5=0（10分）
19.
（1）当x≤6时，y=50x﹣115，令50x﹣115＞0，解得x＞2.3．（2分）
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
当6＜x≤20时，y=x﹣115=﹣3x2+68x﹣115
综上可知（5分）
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x﹣115是增函数，
∴当x=6时，ymax=185元．（8分）
当6＜x≤20，x∈N时，y=﹣3x2+68x﹣115=，
∴当x=11时，ymax=270元．（11分）
20.
（1）证明：
连结PD，
∵PA=PB，∴PD⊥AB．（2分）∵DE∥BC，BC⊥AB，DE⊥AB．
又∵PD∩DE=E，∴AB⊥平面PDE（4分），∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（6分）
（2）解：
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC．
则DE⊥PD，又ED⊥AB，PD∩平面AB=D，DE⊥平面PAB，
过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF⊥PB，
∴∠DFE为所求二面角的平面角（8分）
∴DE=，DF=，则，
故二面角的A﹣PB﹣E大小为60°．（12分）
21.
（1）因为A（2，﹣2），B（1，1），
所以kAB==﹣3，AB的中点为（，﹣），
故线段AB的垂直平分线的方程为y+=（x﹣），即x﹣3y﹣3=0，…（1分）
由，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…（2分）
所以半径r满足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…（3分）
故圆C的标准方程为x2+（y+1）2=5．…（3分）
（2）∵EF=GH，
∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d。
则=1，即d=…（4分）
∴EF=GH=2=3
∴四边形EGFH的面积S=×=9…（8分）
（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，
因为△POQ的面积S==，
∴h=．（9分）
①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为知，直线l的方程为x=或x=﹣，
经验证，此时PQ≠4，不适合题意； …（10分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，
由坐标原点到直线l的距离为h==，得k2+1=25b2 （*），…
又圆心到直线l的距离为c=，所以PQ=2=4，
即k2+1=（1+b）2 （**），…（11分）
由（*），（**）解得．…（12分）
综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣1=0或3x﹣4y+1=0．…（13分）
22.
（1）
当时，函数有一个零点； （2分）
当时，，函数有两个零点。
（4分）
（2）令，
，
（6分）
在内必有一个实根。
即方程必有一个实数根属于。
（8分）
（3）假设存在，由①得
..
由②知对,都有（9分）
令得
由得， （11分）
当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。
∴存在，使同时满足条件①、②。
（14分）
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