高考数学复习解决方案 真题与单元卷重组 七大题冲关三角函数的综合问题试题理 含答案.docx

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高考数学复习解决方案真题与单元卷重组七大题冲关三角函数的综合问题试题理含答案

重组七　大题冲关——三角函数的综合问题

　　测试时间：

120分钟　　　满分：

150分

解答题（本题共12小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．[2016·吉林三调]（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc.

（1）求∠A的大小；

（2）设函数f（x）＝sincos＋cos2，当f（B）取最大值时，判断△ABC的形状．

解　

（1）在△ABC中，根据余弦定理：

cosA＝＝，而A∈（0，π），所以A＝.（4分）

（2）因为f（x）＝sincos＋cos2，

所以f（x）＝sinx＋cosx＋，

即f（x）＝sin＋，（7分）

则f（B）＝sin＋.

因为B∈（0，π），

所以当B＋＝，即B＝时，

f（B）取最大值，（10分）

此时易知△ABC是直角三角形．（12分）

2．[2017·山西四校模拟]（本小题满分12分）已知函数f（x）＝psin2x－qcos2x（其中p，q是实数）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式及其最小正周期；

（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移m（0

解　

（1）因为f（x）＝psin2x－qcos2x，

则由图象得解得p＝，q＝－1，

故f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin，

故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin，（4分）

最小正周期T＝π.（5分）

（2）由

（1）可知g（x）＝f（x＋m）＝2sin.（7分）

于是当且仅当Q（0,2）在y＝g（x）的图象上时满足条件．

∴g（0）＝2sin＝2.

由0

故g（x）＝2sin＝2cos2x，（10分）

当x∈，即－≤2x≤时，

函数y＝g（x）的单调递增区间为∪，最大值是2，最小值是－2.（12分）

3．[2016·北京高考]（本小题满分12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.

（1）求∠B的大小；

（2）求cosA＋cosC的最大值．

解　

（1）由余弦定理及题设，得

cosB＝＝＝.（2分）

又0<∠B<π，所以∠B＝.（4分）

（2）由

（1）知∠A＋∠C＝，则

cosA＋cosC＝cosA＋cos

＝cosA－cosA＋sinA

＝cosA＋sinA

＝cos.（9分）

因为0<∠A<，（10分）

所以当∠A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.（12分）

4．[2016·邯郸七调]（本小题满分12分）已知m＝（cosx＋sinx，1），n＝（2cosx，－y），满足m·n＝0.

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；

（2）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝3，且a＝2，求△ABC面积的最大值．

解　

（1）因为m·n＝2cos2x＋2sinxcosx－y

＝sin2x＋cos2x＋1－y＝2sin＋1－y＝0，

所以f（x）＝2sin＋1，（3分）

令2x＋∈（k∈Z），

得x∈（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（6分）

（2）∵f＝2sin＋1＝3，∴sin＝1，

又A＋∈，∴A＋＝，∴A＝.（8分）

在△ABC中，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，

可知bc≤4（当且仅当b＝c时取等号），（10分）

∴S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC面积的最大值为.（12分）

5．[2016·龙岩质检]（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<π）为偶函数，点P，Q分别为函数y＝f（x）图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ|＝.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f＝.求角C的大小．

解　

（1）∵f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即sin（－ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ），

∴－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x∈R都成立，且ω>0，

∴cosφ＝0，又0<φ<π，∴φ＝.（3分）

又|PQ|＝，最高点P的纵坐标为，

由勾股定理可知＝1，T＝2，ω＝π，（4分）

∴f（x）＝sin＝cosπx.（5分）

（2）由

（1）可知f（x）＝cosπx，

∴f＝cosA＝，cosA＝，

又A∈（0，π），∴A＝.（8分）

∵a＝1，b＝，

由正弦定理可知，＝，

∴sinB＝，又B∈（0，π），

∴B＝或B＝，（11分）

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝，

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝，

∴角C的大小为或.（12分）

6．[2016·石家庄质检]（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＋c＝2a.

（1）求∠B的大小；

（2）若BD为AC边上的中线，cosA＝，BD＝，求△ABC的面积．

解　

（1）2bcosC＋c＝2a，

由正弦定理，得2sinBcosC＋sinC＝2sinA，（2分）

∵A＋B＋C＝π，

∴sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC，

∴2sinBcosC＋sinC＝2（sinBcosC＋cosBsinC），

sinC＝2cosBsinC.（4分）

因为0

所以cosB＝，

因为0

（2）解法一：

在△ABD中，由余弦定理得

2＝c2＋2－2c·cosA，

所以＝c2＋－bc.①（8分）

在△ABC中，由正弦定理得＝，

由已知得sinA＝.

所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝，

所以c＝b.②（10分）

由①，②解得

所以S△ABC＝bcsinA＝10.（12分）

解法二：

延长BD到E，DE＝BD，连接AE，

△ABE中，∠BAE＝，

BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos∠BAE.

因为AE＝BC，

所以129＝c2＋a2＋a·c，①（8分）

由已知得，sinA＝，

所以sinC＝sin（A＋B）＝，

＝＝，②（10分）

由①，②解得c＝5，a＝8.

S△ABC＝c·a·sin∠ABC＝10.（12分）

7．[2016·陕西一模]（本小题满分13分）已知m＝（1，cosx），n＝（t，sinx－cosx），函数f（x）＝m·n（t∈R）的图象过点M.

（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝，求f（A）的取值范围．

解　

（1）由题意得f（x）＝sinxcosx－cos2x＋t＝sin2x－（cos2x＋1）＋t＝sin－＋t，（2分）

因为点M在函数f（x）的图象上，

所以sin－＋t＝0.

解得t＝，（4分）

T＝＝π.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

可得函数f（x）的单调增区间为，k∈Z.（7分）

（2）∵ccosB＋bcosC＝2acosB，

∴sinCcosB＋sinBcosC＝2sinAcosB，

∴sin（B＋C）＝2sinAcosB，即sinA＝2sinAcosB.

又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB＝.（10分）

∵B∈（0，π），∴B＝，A＋C＝π.

∴0

∴sin∈，

∴f（A）的取值范围是.（13分）

8．[2017·安徽联考]（本小题满分13分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

（1）求A，C两地的距离；

（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米/秒）．

解　

（1）设BC＝x（米），由条件可知AC＝x＋×340＝（x＋40）（米），（2分）

在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，

即x2＝1002＋（40＋x）2－2×100×（40＋x）×，解得x＝380.（5分）

所以AC＝380＋40＝420（米）．（6分）

故A，C两地的距离为420米．（7分）

（2）在△ACH中，AC＝420（米），∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，（9分）

由正弦定理，可得＝，

即＝，

所以HC＝＝140（米），（12分）

故这种仪器的垂直弹射高度为140米．（13分）

9．[2017·河北冀州测试]（本小题满分13分）如图，已知平面上直线l1∥l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM＝1，C到l2的距离CN＝，△ABC三内角∠A、∠B、∠C所对边分别为a，b，c，a>b，且bcosB＝acosA.

（1）判断△ABC的形状；

（2）记∠ACM＝θ，f（θ）＝＋，求f（θ）的最大值．

解　

（1）由正弦定理，得＝，

又bcosB＝acosA，得sin2B＝sin2A，（3分）

又a>b，所以A>B，且A，B∈（0，π），

所以2A＋2B＝π，∴C＝，（5分）

所以△ABC是直角三角形．（6分）

（2）∠ACM＝θ，由

（1）得∠BCN＝－θ，

则AC＝，BC＝，（9分）

f（θ）＝＋＝cosθ＋sinθ＝cos，（11分）

所以θ＝时，f（θ）的最大值为.（13分）

10．[2017·湖北重点中学联考]（本小题满分13分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx－cosx）＋m（m∈R），将y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝g（x）的图象，且y＝g（x）在区间内的最大值为.

（1）求实数m的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若g＝1，且a＋c＝2，求△ABC周长l的取值范围．

解　

（1）由题设得f（x）＝sin2x－cos2x－1＋m

＝sin－1＋m，（2分）

∴g（x）＝sin－1＋m

＝sin－1＋m，（4分）

∵当x∈时，2x＋∈，（5分）

∴由已知得当2x＋＝，即x＝时，g（x）max＝－1＋m＝，∴m＝1.（7分）

（2）由已知，得g＝sin＝1，

∵在△ABC中，0

∴B＋＝，即B＝.（9分）

又∵a＋c＝2，由余弦定理得：

b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac≥（a＋c）2－＝1，（11分）

当且仅当a＝c＝1时等号成立．

又∵b

∴△ABC周长l＝a＋b＋c∈[3,4），

故△ABC周长l的取值范围是[3,4）．（13分）

11．[2017·江西临川期末]（本小题满分13分）在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB·AC＝BC2，且△ABC的面积为.

（1）求∠BAC的大小及·的值；

（2）若AB＝4，求AD的长．

解　

（1）在△ABC中，由AB2＋AC2＋AB·AC＝BC2，可得＝－＝cos∠BAC，故∠BAC＝120°.（3分）

因为S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝AB·AC·sin120°＝，

所以AB·AC×＝，解得A