矩形的性质.docx
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矩形的性质
1.(2015•无锡校级一模)如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE于F,连接DE.证明:
DF=DC.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
求出∠AED=∠EDC,∠DFE=∠C,证△DFE≌△DCE,即可得出答案.
解答:
证明:
∵DF⊥AE于F,
∴∠DFE=90°
在矩形ABCD中,∠C=90°,
∴∠DFE=∠C,
在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠AED=∠DEC,∠DFE=∠C=90°,
又∵DE是公共边,
∴△DFE≌△DCE(AAS),
∴DF=DC.
点评:
本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用,主要考查了学生的推理能力.
2.(2015•临海市一模)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.求证:
BD=BE.
考点:
矩形的性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
根据矩形的对角线相等可得AC=BD,对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC是平行四边形,根据平行四边形的对边相等可得AC=BE,从而得证.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD,
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
点评:
本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定与性质,熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键.
3.(2015•济南模拟)如图,四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点.
求证:
EB=EC.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE(SAS),即可得出答案.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵点E是边AD的中点,
∴AE=ED,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴EB=EC.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质,得出△ABE≌△DCE是解题关键.
4.(2015•越秀区一模)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOB=60°,AB=3,求BD的长.
考点:
矩形的性质.
分析:
由矩形的性质得出AO=BO=
BD,再证明△AOB为等边三角形,得出BO=AB,即可求出BD.
解答:
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=
BD,
又∵∠AOB=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴BO=AB=3,
∴BD=2BO=6.
点评:
本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
5.(2015•麒麟区一模)如图,矩形ABCD中,F为CD边上一点,AF=AB,BE⊥AF,EH⊥CD垂足分别为点E、H.
(1)求证:
△ADF≌△BEA;
(2)若AD:
AB=3:
4,EF=3,求EH的长.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
分析:
(1)由矩形的性质得出∠D=90°=∠AEB,AB∥DC,得出∠DFA=∠EAB,由AAS即可证明△ADF≌△BEA;
(2)先证明△EHF∽△ADF,得出对应边成比例,即可求出EH.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AB∥DC,
∴∠DFA=∠EAB,
∵BE⊥AF,
∴∠AEB=90°,
在△ADF和△BEA中,
,
∴△ADF≌△BEA(AAS);
(2)解:
∵EH⊥CD,∠D=90°,
∴AD∥EH,
∴△EHF∽△ADF,
∴
=
=
=
,
∴EH=
EF=
×3=
.
点评:
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.
6.(2015•临淄区校级模拟)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.求证:
AF=BE.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
利用矩形的性质对边相等且平行以及每个内角都为90°,进而得出△ABE≌△DFA(AAS),求出即可.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,
在△ABE和△DFA中,
,
∴△ABE≌△DFA(AAS),
∴AF=BE.
点评:
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,得出△ABE≌△DFA是解题关键.
7.(2015•天河区一模)如图,矩形对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线AC和BC的长.
考点:
矩形的性质.
分析:
由矩形对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,易证得△AOB是等边三角形,继而求得OA的长,则可求得矩形对角线AC的长,然后由勾股定理求得BC的长.
解答:
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=
AC,OB=OD=
BD,AC=BD,∠ABC=90°,
∴OA=OB,
∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4cm,
∴AC=2OA=8cm,
∴BC=
=4
(cm).
点评:
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.注意证得△AOB是等边三角形是关键.
8.(2015•建阳市模拟)如图,矩形ABCD,E是AB上一点,且DE=AB,过C作CF⊥DE于F.
(1)猜想:
AD与CF的大小关系;
(2)请证明上面的结论.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
分析:
(1)根据已知得出即可;
(2)根据矩形性质求出DC=AB,∠A=90°,DC∥AB,推出∠CDF=∠DEA,求出DC=DE,∠DFC=∠A=90°,根据AAS推出△DAE≌△CFD即可.
解答:
解:
(1)AD=CF;
(2)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB,∠A=90°,DC∥AB,
∴∠CDF=∠DEA,
∵DE=AB,
∴DC=DE,
∵CF⊥DE,
∴∠DFC=∠A=90°.
在△DAE和△CFD中
∴△DAE≌△CFD,
∴AD=CF.
点评:
本题考查了矩形的性质,全等三角形的性质和判定,垂直定义,平行线的性质的应用,解此题的关键是推出△DAE≌△CFD,此题是一道中档题目,难度适中.
9.(2015春•无锡校级期中)矩形ABCD中AB=6cm,BC=8cm,AE平分∠BAC交BC于E,CF平分∠ACD交AD于F.
①说明四边形AECF为平行四边形;
②求四边形AECF的面积.
考点:
矩形的性质;平行四边形的判定.
专题:
计算题;证明题.
分析:
(1)可证明AE∥CF,又AF∥CE,可证四边形AECF为平行四边形.
(2)先求△AEC的面积,再求平行四边形的面积.
解答:
解:
①∵ABCD是矩形,
∴AD∥BC,即AF∥CE,AB∥CD.
∴∠BAC=∠DCA.
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴∠EAC=∠ACF.
∴AE∥CF.
∴四边形AECF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
②作EO⊥AC于O,
∵AE平分∠BAC,∴EO=BE(角平分线的性质),
又∵AC=
=
=10cm,
∴AO=AB=6cm,OC=AC﹣AB=4cm.
在Rt△OEC中,设EO=x,则CE=8﹣x,
那么x2+42=(8﹣x)2
∴x=3.
∴平行四边形AECF的面积等于AC•EO=10×3=30cm2.
点评:
此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和面积的求法.
10.(2015春•平南县期中)如图,在矩形ABCD中,E为AD上的一点,EF⊥CE交AB于F,且CE=EF,
(1)求证:
△AEF≌△DCE;
(2)若DE=2,矩形ABCD的周长为16,求AE的长.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
分析:
(1)根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°,然后根据同角的余角相等求出∠AFE=∠DEC,再利用“角角边”证明即可;
(2)根据全等三角形对应边相等可得AE=CD,然后根据矩形的周长公式列出方程求解即可.
解答:
证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∵EF⊥CE,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°,
又∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DEC,
在△AEF和△DCE中,
,
∴△AEF≌△DCE(AAS);
(2)∵△AEF≌△DCE,
∴AE=CD,
∵2(AD+CD)=16,DE=2,
∴2(AE+2+AE)=16,
∴AE=3.
点评:
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并准确识图,准确找出三角形全等的条件是解题的关键.
11.(2015春•沛县期中)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EC平分∠BED
①△BEC是否为等腰三角形?
为什么?
②若AB=2,∠ABE=45°,求BC的长.
考点:
矩形的性质;等腰三角形的判定.
分析:
①由矩形的性质得出∠A=90°,AD∥BC,证出∠BCE=∠CED,再由已知条件得出∠BCE=∠BEC,即可得出△BEC是等腰三角形;
②根据三角函数求出BE,即可得出BC.
解答:
解:
①△BEC为等腰三角形;理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AD∥BC,
∴∠BCE=∠CED,
∵EC平分∠BED,
∴∠BEC=∠CED,
∴∠BCE=∠BEC,
∴BC=BE,
即△BEC是等腰三角形;
②∵∠ABE=45°,∠A=90°,
∴BE=
AB=2
,
∴BC=BE=2
.
点评:
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及三角函数;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
12.(2015春•青山区期中)在矩形ABCD中,点E,点F为对角线BD上两点,DE=EF=FB.
(1)求证:
四边形ACE是平行四边形;
(2)若AE⊥BD,AF=2,AB=4,求BF的长度.
考点:
矩形的性质;勾股定理;平行四边形的判定.
分析:
(1)连接AC交BD于点O,由矩形的性质得出OA=OC,OB=OD,再证出OE=OF,即可证出四边形AFCE是平行四边形;
(2)由线段垂直平分线的性质得出AD=AF,再由勾股定理求出BD,即可得出BF.
解答:
(1)证明:
连接AC交BD于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵DE=EF=FB,
∴OB﹣BF=OD﹣DE,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形;
(2)解:
∵AE⊥BD,DE=EF,
∴AD=AF=2,
在Rt△ABD中,BD2=AD2+AB2,
∴BD=
=2
,
∴BF=
.
点评:
本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
13.(2015春•东台市校级月考)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AD的延长线于点E.
(1)求证:
四边形BCED为平行四边形;
(2)试说明:
CE=2AO.
考点:
矩形的性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)由AD∥BC,CE∥DB,根据平行四边形的定义即可得出结论;
(2)由四边形BCED是平行四边形,得出对边相等CE=BD,再根据矩形的性质DB=AC=2AO,即可得出CE=2AO.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AC=DB=2AO,
又∵CE∥DB,
∴四边形BCED是平行四边形;
(2)证明:
∵四边形BCED是平行四边形,
∴CE=BD,
由
(1)得:
DB=AC=2AO,
∴CE=2AO.
点评:
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.
14.(2015春•建湖县校级月考)如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
(1)求证:
PM=PN;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?
请说明理由.
考点:
矩形的性质;菱形的判定.
分析:
(1)连接MN,证明四边形AMNB是矩形,得出∠MNB=90°,根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)先证明四边形MPNQ是平行四边形,再由
(1)即可得出结论.
解答:
(1)证明:
连接MN,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AD∥BC,AD=BC,
∵M、N分别是AD、BC的中点,
∴AM=DM=
AD,BN=CN=
BC,
∴AM=BN,
∴四边形AMNB是平行四边形,
∴平行四边形AMNB是矩形,
∴∠MNB=90°,
∵P是BM的中点,
∴PN=
BM=PM;
(2)四边形MPNQ是菱形;理由如下:
解:
∵DM∥BN,DM=BN,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∴BM∥ND,BM=ND,
又∵P、Q分别是BM、DN的中点,
∴PM=NQ,
∴四边形MPNQ是平行四边形,
由
(1)得PM=PN,
∴四边形MPNQ时菱形.
点评:
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及直角三角形斜边上的中线性质;证明四边形是平行四边形是解决问题的关键.
15.(2015春•启东市校级月考)如图,在矩形ABCD中,EF⊥CE,EF=CE,DE=2cm,矩形的周长为32cm,求矩形ABCD的面积.
考点:
矩形的性质.
分析:
根据全等三角形的判定定理AAS证得△AEF≌△DCE,所以由”全等三角形的对应边相等“推知AE=CD,AF=DE=2cm.设AE=CD=xcm.则由矩形的周长公式知2(x+2+x)=32,求出x,即可求出AD、DC,求出面积即可.
解答:
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,
又∵EF⊥EC,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°,∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AEF=∠DCE(同角的补角相等),
在△AEF与△DCE中,
∴△AEF≌△DCE(AAS),
∴AE=CD,AF=DE=2cm.
设AE=CD=xcm.
则2(x+2+x)=32,
解得,x=7.
∴AE=CD=7,AD=BC=9,
∴矩形ABCD的面积是AD×DC=9×7=63(cm2).
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质.此题是借助于方程求得直角三角形的直角边,并进一步求出CD和AD长.
16.(2015春•滨海县校级月考)已知:
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证:
AC=EC.
考点:
矩形的性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
先由矩形的对角线相等得出AC=DB,再证明四边形CDBE是平行四边形,得出对边相等DB=CE,即可得出AC=CE.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=DB,AB∥DC,
∴DC∥BE,
又∵CE∥DB,
∴四边形CDBE是平行四边形,
∴DB=CE,
∴AC=CE.
点评:
本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键.
17.(2014•泉州)已知:
如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,CD边上,BE=DF,连接CE,AF.求证:
AF=CE.
考点:
矩形的性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
根据矩形的性质得出DC∥AB,DC=AB,求出CF=AE,CF∥AE,根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形,即可得出答案.
解答:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∴CF∥AE,
∵DF=BE,
∴CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF=CE.
点评:
本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的性质的应用,注意:
矩形的对边相等且平行,平行四边形的对边相等.
18.(2014•天河区一模)已知,如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点,AE=CF.求证:
BE=DF.
考点:
矩形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
证法一:
根据矩形的对边相等可得AB=CD,四个角都是直角可得∠A=∠C=90°,然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
证法二:
先求出BF=DE,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证.
解答:
证法一:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠A=∠C=90°,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF(全等三角形对应边相等);
证法二:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
又∵AE=CF,
∴AD﹣AE=BC﹣CF,
即ED=BF,
而ED∥BF,
∴四边形BFDE为平行四边形,
∴BE=DF(平行四边形对边相等).
点评:
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,主要利用了矩形的对边相等的性质,四个角都是直角的性质.
19.(2014•肥东县模拟)如图,已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,OF⊥AC于O,交AB于E,交CB的延长线于F,求证:
OB是OE与OF的比例中项.
考点:
矩形的性质;相似三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
根据矩形的性质,再根据相似三角形的对应边成比例,求解即可.
解答:
解:
∵ABCD为矩形,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵OF⊥AC,AB⊥FC,
∴∠F+∠FEB=∠AEO+∠EAO=90°.
∵∠FEB=∠AEO,
∴∠F=∠BAO=∠OBE.
∵∠FOB=∠BOF,
∴△OBE∽△OFB,
∴
=
,
∴OB2=OE•OF.
即OB是OE,OF的比例中项.
点评:
此题考查了学生对矩形的性质及相似三角形的判定的掌握情况.
20.(2014•滨海县模拟)如图,在矩形ABCD中,以点D为圆心,DA长为半径画弧,交CD于点E,以点A为圆心,AE长为半径画弧,恰好经过点B,连结BE、AE.求∠EBC的度数.
考点:
矩形的性质;等腰直角三角形.
分析:
根据题意可得AD=DE,AE=AB,再根据矩形的性质可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°,然后根据等腰三角形的性质分别算出∠DAE和∠EAB,再根据叫的和差关系可得答案.
解答:
解:
由题意得:
AD=DE,AE=AB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°,
∵AD=DE,
∴∠DAE=45°,
∴∠EAB=45°,
∵AE=AB,
∴∠EBA=∠AEB=
=67.5°,
∴∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°.
点评:
此题主要考查了矩形的性质,以及等腰三角形的性质,关键是掌握矩形的四个角都是直角.