初中数学最值问题典型例题含答案分析.docx
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初中数学最值问题典型例题含答案分析
中考数学最值问题总结
考查知识点:
1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题)
问题原型:
饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)
出题背景变式:
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”
几何基本模型:
条件:
如下左图,、是直线同旁的两个定点.
B
AB
l
A
l
问题:
在直线上确定一点,使的值最小.
P
PAPB
l
A
l
A
方法:
作点关于直线的对称点,连结交于
ABl
P
P
点,则
PAPBAB
的值最小
A
例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三
′
角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,
连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长。
2
例2、如图13,抛物线y=ax+bx+c(a≠0的)顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,
其中B点的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,
若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、
F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请
说明理由.
(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线
MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存
在,说明理由.
例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a且),点F在
AD上(以下问题的结果可用a,b表示)
(1)求S△DBF
;
(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45得图2,求图2中的S△DBF;
0
(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?
如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由。
1
y=x+1
y=ax2+bx3
交于A,B两点,
例4、如图,在平面直角坐标系中,直线
与抛物线
2
点A在x轴上,点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重
合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D
(1)求a,b及sinACP的值
(2)设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个
三角形的面积之比为9:
10?
若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由.
3
axbx
经过点A(4,0)
例5、如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线y
2
4
与点(-2,6).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)直线m与⊙C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运
动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动;点P的速度为每秒1个单
位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值;
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.
例1、证明:
(1)∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB(SAS).(5分)
解:
(2)①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.(7分)
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.(9分)
理由如下:
连接MN,由
(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形.∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.(11
分)
a(x1)4
例2、解:
(1)设所求抛物线的解析式为:
y
,依题意,将点B(3,0)代
2
(31)40
y(x1)4
入,得:
a
解得:
a=-1∴所求抛物线的解析式为:
2
2
(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,
在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为:
y=kx+b(k≠0),
(x1)4
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线y
,得
2
y(21)43
2
∴点E坐标为(2,3)
(x1)4
又∵抛物线y
图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
2
(x1)40
,∴x=-1或x=3
∴当y=0时,
2
当x=0时,y=-1+4=3,
∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)
又∵抛物线的对称轴为:
直线x=1,
∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…………………②
分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得:
kb
0
k1
解得:
2kb3
b1
过A、E两点的一次函数解析式为:
y=x+1
∴当x=0时,y=1∴点F坐标为(0,1)
∴
=2………………………………………③
DF
又∵点F与点I关于x轴对称,
∴点I坐标为(0,-1)
DEDI2425
………④
∴EI
2
2
2
2
又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,
∴只要使DG+GH+HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③,可知,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小
kxb(k0)
设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:
y
,
1
1
1
kxb
分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入y
,得:
1
1
2kb3
1
1
b1
1
k
2
解得:
1
b1
1
过A、E两点的一次函数解析式为:
y=2x-1
1
∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=;
2
1
∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(,0)
2
∴四边形DFHG的周长最小为:
DF+DG+GH+HF=DF+EI
由③和④,可知:
225
DF+EI=
∴四边形DFHG的周长最小为225
。
(3)如图7,由题意可知,∠NMD=∠MDB,
NMMD
MDBD
要使,△DNM∽△BMD,只要使
即可,
NMBD
………………………………⑤
即:
MD
2
设点M的坐标为(a,0),由MN∥BD,可得
△AMN∽△ABD,
NMAM
∴
BD
AB
再由
(1)、
(2)可知,AM=1+a,BD=32
,AB=4
AMBD(1a)3232
(1a)
∴MN
AB
ODOMa9
,
4
4
∵MD
2
2
2
2
32
4
∴⑤式可写成:
a2
9
(1a)32
3
或a
3(不合题意,舍去)
解得:
a
2
3
∴点M的坐标为(,0)
2
又∵点T在抛物线y
(x1)24图像上,
3
15
∴当x=时,y=
2
2
315
∴点T的坐标为(,).
22
例3、
解:
(1)∵点F在AD上,∴AF2=a2+a2,即AF=2a。
∴DFb2a。
1
1
1
3
∴S
DFAB(b2a)bb
ab。
2
2
2
2
2
DBF
(2)连接DF,AF,由题意易知AF∥BD,
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底,即BD为两三角形的底。
由AF∥BD,得到平行线间的距离相等,即高相等,
1
∴S
S
b。
2
2
DBF
ABD
(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆。
第一种情况:
当b>2a时,存在最大值及最小值,
∵△BFD的边BD=2b,
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时,S△BFD取得最大、最小值。
1
2
b2ab
2
DF⊥BD时,S△BFD的最大值=2b(
b2a)
,
如图,当
2
2
2
1
2
b2ab
2
S△BFD的最小值=2b(
b2a)
。
2
2
2
第二种情况:
当b=2a时,存在最大值,不存在最小值,
b22ab
S△BFD的最大值=
。
2
1
2
例4、解:
(1)由
x+1=0
,得到x=-2,∴(-,)。
A
20
1
由
x+1=3,得到x=4
,∴(,)。
B43
2
∵y=ax
2+bx3
经过A、B两点,
1
a=
4a2b3=0
2
∴
,解得
。
16a+4b3=3
1
2
b=
设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1)。
∴根据勾股定理,得AE=5。
∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO。
OA
AE
2
25
5
∴sinACP=sinAEO=
。
5
1
1
y=x2x3
(2)①由
(1)可知抛物线的解析式为
。
2
2
1
1
1
m,m2m3
m,m+1
由点P的横坐标为m,得P
,C
。
2
2
2
1
2
1
1
1
m+1m2m3m2+m+4
∴PC=
。
2
2
2
1
25
5
5
95
5
Rt△PCD中,PDPCsinACP=m2+m+4
=
m1
2+
,
在
2
5
5
95
5
∵
<0,∴当m=1时,PD有最大值
。
5
532
m=或
②存在满足条件的m值,
。
2
9
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解:
(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入y
中,得方程组
,
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之,得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
(2)连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴ABAO
.∴AC⊥OB,∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ-FQ=t.
⊿ODF中,t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
(3)令R(x,x-2x)(0<x<4).
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中,∵∠GIR=∠AOB,∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中,OI=IG-OG=x-(x+2x)=x-x.HI=(x-x).
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x-(x-
2
3
2
33
15x=-5
112
x+x=-(x-
于是RH=IR-IH=3
x)=-5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
)+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时,RH最大.S最大.这时x-2x=×()-2×=-
55
32
11
.∴点R(,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
-32)
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解:
(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入y
中,得方程组
,
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之,得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
(2)连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴ABAO
.∴AC⊥OB,∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ-FQ=t.
⊿ODF中,t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
(3)令R(x,x-2x)(0<x<4).
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中,∵∠GIR=∠AOB,∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中,OI=IG-OG=x-(x+2x)=x-x.HI=(x-x).
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x-(x-
2
3
2
33
15x=-5
112
x+x=-(x-
于是RH=IR-IH=3
x)=-5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
)+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时,RH最大.S最大.这时x-2x=×()-2×=-
55
32
11
.∴点R(,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
-32)
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解:
(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入y
中,得方程组
,
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之,得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
(2)连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,∴ABAO
.∴AC⊥OB,∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=,∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ-FQ=t.
⊿ODF中,t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
(3)令R(x,x-2x)(0<x<4).
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中,∵∠GIR=∠AOB,∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中,OI=IG-OG=x-(x+2x)=x-x.HI=(x-x).
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x-(x-
2
3
2
33
15x=-5
112
x+x=-(x-
于是RH=IR-IH=3
x)=-5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
)+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时,RH最大.S最大.这时x-2x=×()-2×=-
55
32
11
.∴点R(,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
-32)