届高考一轮复习文科数学考点通关课件+练习第八章 概率与统计 55.docx
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届高考一轮复习文科数学考点通关课件+练习第八章概率与统计55
考点测试55 用样本估计总体
一、基础小题
1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
0.15
0.1
则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为（ ）
A．40B．20
C．30D．60
答案 B
解析 由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.
2.对于一组数据xi（i＝1,2,3，…，n），如果将它们改变为xi＋C（i＝1,2,3，…，n），其中C≠0，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
答案 B
解析 由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
答案 C
解析 由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.
4．某工厂对一批新产品的长度（单位：
mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为（ ）
A．20B．25
C．22.5D．22.75
答案 C
解析 产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·（x－20）＝0.5，得x＝22.5，选C.
5．甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．
答案 甲
解析 根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为
＝85，乙同学成绩的平均数为
＝85，故甲同学成绩的方差为
×（49＋36＋25＋49＋121）＝40，乙同学成绩的方差为
×（169＋16＋16＋4＋36＋36＋121）＝
>40，故成绩较稳定的是甲．
6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．
答案 乙
解析 甲的平均数x1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x1＝x2；甲的方差s
＝
[（7－4）2×2＋（7－5）2×1＋（7－7）2×3＋（7－8）2×1＋（7－9）2×2＋（7－10）2×1]＝4，乙的方差s
＝
[（7－5）2×1＋（7－6）2×2＋（7－7）2×4＋（7－8）2×2＋（7－9）2×1]＝1.2，所以s
>s
，即参加比赛的最佳人选为乙．
二、高考小题
7．[2016·山东高考]某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20），[20,22.5），[22.5,25），[25,27.5），[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60
C．120D．140
答案 D
解析 由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－（0.02＋0.10）×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.
8．[2015·重庆高考]重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（ ）
A．19B．20
C．21.5D．23
答案 B
解析 由茎叶图，可知这组数据的中位数为
＝20.
9．[2015·安徽高考]若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为（ ）
A．8B．15
C．16D．32
答案 C
解析 设数据x1，x2，…，x10的平均数为
，标准差为s，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均数为2
－1，方差为
＝
＝4s2，因此标准差为2s＝2×8＝16.故选C.
10．[2014·山东高考]为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12,13），[13,14），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6B．8
C．12D．18
答案 C
解析 由题图，可知第一组和第二组的频率之和为（0.24＋0.16）×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有
＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.
11．[2014·陕西高考]设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1,2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）
A．1＋a,4B．1＋a,4＋a
C．1,4D．1,4＋a
答案 A
解析 ∵x1，x2，…，x10的均值
＝1，方差s
＝4，且yi＝xi＋a（i＝1,2，…，10），∴y1，y2，…，y10的均值
＝
（y1＋y2＋…＋y10）＝
（x1＋x2＋…＋x10＋10a）＝
（x1＋x2＋…＋x10）＋a＝
＋a＝1＋a，其方差s
＝
[（y1－
）2＋（y2－
）2＋…＋（y10－
）2]＝
[（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x10－1）2]＝s
＝4.故选A.
12．[2015·湖南高考]在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．
答案 4
解析 由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间[139,151]上的共有4组，故成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.
三、模拟小题
13．[2017·唐山测试]某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：
台），则销售量的中位数是（ ）
A．13B．14
C．15D．16
答案 C
解析 由茎叶图可知这些数分别为：
5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为
＝15，故选C.
14．[2016·广东汕头一模]气象意义上从春季进入夏季的标志为：
“连续5天的日平均温度均不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：
5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：
5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：
5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③B．①③
C．②③D．①
答案 B
解析 由统计知识，①甲地：
5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：
5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22℃，所以不符合题意；③丙地：
5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.
15．[2017·石家庄月考]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则（ ）
A．me＝m0＝xB．me＝m0C．me答案 D
解析 显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：
3分（2人），4分（3人），5分（10人），6分（6人），7分（3人），8分（2人），9分（2人），10分（2人），则中位数是第15,16个数（5与6）的平均数
＝5.5（分），众数为5，平均数
x＝
≈5.97（分），所以m016．[2016·北京海淀区模拟]某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
17．[2016·丽水一模]为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
答案 54
解析 前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－（1.1＋0.5）×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.
18．[2017·兰州调研]某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率）为a，则a的值为________．
答案 67.5
解析 平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.
一、高考大题
1．[2016·北京高考]某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
解
（1）由用水量的频率分布直方图，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，（1,1.5]，（1.5,2]，（2,2.5]，（2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3.
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
（4,6]
（6,8]
（8,10]
（10,12]
（12,17]
（17,22]
（22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5（元）．
2．[2016·四川高考]我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
解
（1）由频率分布直方图，可知月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－（0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02）＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.
（2）由
（1），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12，
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
（3）设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.
由0.50×（x－2）＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
二、模拟大题
3．[2017·皖南八校联考]第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．
（1）求抽取的年龄在[30,40）内的居民人数；
（2）若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20）、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率．
解
（1）依题意，知年龄在[30,40）内的频率P＝1－（0.02＋0.025＋0.015＋0.01）×10＝0.3.
故所求居民人数为300×0.3＝90.
（2）依题意，从年龄在[10,20）、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，
记年龄在[10,20）内的4人为A，B，C，D，年龄在[50,60]内的2人为1,2，
故抽取2人进行测试的所有情况为（A，B），（A，C），（A，D），（A,1），（A,2），（B，C），（B，D），（B,1），（B,2），（C，D），（C,1），（C,2），（D,1），（D,2），（1,2），共15种，
其中满足条件的情况为（A,1），（A,2），（B,1），（B,2），（C,1），（C,2），（D,1），（D,2），（1,2），共9种．
故所求概率P＝
.
4．[2016·东北师大附中联考]甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：
（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；
（2）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
说明理由．
解
（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：
（82,95），（82,75），（82,80），（82,90），（82,85），（82,95），（82,75），（82,80），（82,90），（82,85），（79,95），（79,75），（79,80），（79,90），（79,85），（95,95），（95,75），（95,80），（95,90），（95,85），（87,95），（87,75），（87,80），（87,90），（87,85），基本事件总数n＝25.
记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A.事件A包含的基本事件如下：
（82,75），（82,80），（82,75），（82,80），（79,75），（95,75），（95,80），（95,90），（95,85），（87,75），（87,80），（87,85），
事件A包含的基本事件数m＝12.
所以P（A）＝
＝
.
（2）派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝85，
乙＝85，s
＝31.6，s
＝50，
因为
甲＝
乙，s
，
所以甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适．
5．[2016·广东肇庆模拟]某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
A校样本数据条形图
B校样本数据统计表
成绩（分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数（个）
0
0
0
9
12
21
9
6
3
0
（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；
（2）从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人，求这2人成绩之和大于或等于15的概率．
解
（1）从A校样本数据的条形图可得：
成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人．
所以A校样本的平均成绩为
A＝
＝6（分），
A校样本的方差为s
＝
×[6×（4－6）2＋…＋3×（9－6）2]＝1.5，
从B校样本数据统计表可知：
B校样本的平均成绩为
B＝
＝6（分），
B校样本的方差为s
＝
×[9×（4－6）2＋…＋3×（9－6）2]＝1.8，
因为
A＝
B，所以两校学生的计算机成绩的平均分相同．
又因为s
，所以A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B校好．
（2）依题意，A校成绩为7分的学生应抽取的人数为
×6＝4，记为a，b，c，d，
成绩为8分的学生应抽取的人数为
×6＝1，记为e，
成绩为9分的学生应抽取的人数为
×6＝1，记为f，
所以，所有基本事件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，
其中，满足条件的基本事件有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，ef，共9个，
所以从抽取的6人中任选2人，这2人成绩之和大于或等于15的概率为P＝
＝
.
6．[2017·山西临汾月考]已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001,002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84421753315724550688770474
476721763350258392120676（第7行）
63016378591695566719981050
717512867358074439523879（第8行）
33211234297864560782524207
443815510013429966027954（第9行）
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
人数
数学
优秀
良好
及格
地理
优秀
7
20
5
良好
9
18
6
及格
a
4
b
成绩分为优秀、良好、及格三个等级．横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩的等级人数，例如：
表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
②在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
解
（1）从第8行第7列的数开始向右读，依次检查的编号分别为785,916（舍），955（舍），667,199，….故最先检查的3个人的编号为785,667,199.
（2）①
＝30%，
∴a＝14，b＝100－30－（20＋18＋4）－（5＋6）＝17.
②a＋b＝100－（7＋20＋5）－（9＋18＋6）－4＝31.
∵a≥10，b≥8，∴a，b的搭配为（10,21），（11,20），（12,19），（13,18），（14,17），（15,16），（16,15），（17,14），（18,13），（19,12），（20,11），（21,10），（22,9），（23,8）．共14种．
记a≥10，b≥8，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A.
则事件A包括（10,21），（11,20），（12,19），（13,18），（14,17），（15,16），共6个基本事件．
∴P（A）＝
＝
，
∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为
.
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