四年级上册北师大版数学要点汇总.docx
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四年级上册北师大版数学要点汇总
直线，射线，线段，角，度
∙直线：
把线段的两端无限延长，可以得到一条直线；
直线l，直线AB
射线：
把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；
射线AB
射线有一个端点，直线没有端点。
线段:
用直尺把两点连接起来，就可以得到一条线段；线段是直线的一部分。
线段AB，线段a
线段有两个端点，它的长度是有限的，线段的长就是两点间的距离；
角:
从一点引出两条射线，就组成一个角。
通常用符号“∠”来表示，角的大小看两条边叉开的大小，叉开的越大，角就越大。
角的大小与角两条边的长短没有关系。
角的计量单位：
角的计量单位是“度”，用符号“°”表示，把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记作1°。
∙直线的性质：
两点确定一条直线，直线长度是无限的
线段的性质：
两点之间线段最短．
射线的性质：
射线的长度是无限的
∙各种图线的表示方法：
直线：
一个小写字母或两个大写字母．但前面必须加“直线”两字，如：
直线l；直线m，直线AB；直线CD．
射线：
一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字．如：
射线a；射线OA．
线段：
用表示端点的大写字母表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a．
整数的四则混合运算及应用题
∙加、减、乘、除四种运算统称四则运算。
加法的意义：
把两个（或几个）数合并成一个数的运算叫做加法。
减法的意义：
已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法。
减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的另一个加数叫差。
乘法的意义：
一个数乘以整数，是求几个相同加数的和的简便运算，或是求这个数的几倍是多少。
除法的意义：
已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算叫做除法。
在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫商。
四则运算分为二级，加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算。
∙方法点拨：
运算的顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。
在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。
三位数乘两位数
∙学习目标：
掌握三位数乘两位数的笔算方法，能用竖式计算三位数乘两位数的乘法。
∙方法点拨：
三位数乘两位数，用两位数个位上的数与三位数相乘，乘得的结果末尾与个位对齐，再用两位数十位上的数与三位数相乘，乘得的结果末尾与十位对齐，然后把两次乘得的结果相加。
大数的认识
∙大数的认识：
数位：
从右起第六位是十万位，第七位是百万位，第八位是千万位，第九位是亿位……。
数级：
从右起每四位为一级，个、十、百、千是个级，表示多少“个”；万、十万、百万、千万是万级，表示多少个“万”；亿，十亿，百亿，千亿是亿级，表示多少个亿。
∙比较两个数的大小：
如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，先看它的最高位，最高位大的数就大；如果相同，就看它的下一位，直到比出两个相同数位上的数的大小。
除数是两位数的除法
∙学习目标：
掌握除数是两位数除法的计算法则和试商方法，能够熟练地笔算除数是两位数的除法，初步掌握除法的验算方法，养成验算的习惯。
∙除数是两位数的除法与除数是一位数的除法有什么不同的地方？
有什么相同的地方？
相同：
1、从被除数的高位除起。
2、除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。
3、每求出一位商余下的数必须比除数小。
不同：
除数是一位数
除数是两位数
商的最高位的确定
先看被除数的第一位，第一位不够除，再看前两位
先看被除数的前两位，前两位不够除，再看前三位
求商的方法
直接用口诀
试商
∙除数是两位数的除法法则：
1、从被除数的高位起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数。
2、除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。
3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
记忆口诀：
除数两位看两位，两位不够看三位，
除到哪位商哪位，熟记口诀定好位，
试商方法要灵活，同头够除要商1，
同头无除商8、9，9除得商要相同，
5除得商要加倍，不够商1零占位，
除首去尾商减1，除首进位商加1。
千以内的加法
∙学习目标：
进一步熟练千以内加法的笔算方法和验算方法以及连加的竖式计算。
∙方法点拨：
数位对齐，个位加起，满10向前一位进1。
千以内的减法
∙学习目标：
进一步熟练千以内减法的笔算方法和验算方法以及连减的竖式计算。
∙方法点拨：
减法：
数位对齐，个位减起，不够减的向前一位借1还10。
两位数（多位数）乘一位数
∙学习目标：
掌握两位数乘一位数笔算（包括不进位和进位）方法的计算过程，初步学会用乘法竖式的书写格式，了解竖式每一步计算的含义。
如：
48×2
∙方法点拨：
1、计算乘数末尾有0的乘法时，可以先把乘数0前面的数相乘，再在积的末尾添上0。
2、从个位起，用一位数依次乘多位数的每一位数；哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
3、在乘法算式里，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就相应的扩大几倍。
图形与变换（平移和旋转）
∙平移：
指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
平移不改变物体的形状和大小。
平移可以不是水平的。
旋转：
在平面内，把一个图形绕某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
∙数一数：
∙整数的改写：
为了读写方便，常把一个比较大的多位数，写成用“万”或“亿”做单位的数；
求近似数：
有时可以根据需要省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。
省略一般根据“四舍五入”法。
∙方法点拨：
1、怎样把一个数改写成“万”作单位？
把一个数改写成“万”作单位，只要把末尾4个0去掉，再添上“万”字。
如果末尾不足4个0，就在万位后面（千位前面）添上小数点，去掉末尾的0，再添上“万”字。
2、怎样把一个数改写成“亿”作单位？
把一个数改写成“亿”作单位，只要把末尾8个0去掉，再添上“亿”字。
如果末尾不足8个0，就在亿位后面（千万位前面）添上小数点，去掉末尾的0，再添上“亿”字。
3、求近似数：
把一个数省略亿位后面的尾数求近似数，只要把千万位上的数根据四舍五入法去掉万位后面的数，然后写上“亿”字。
垂线，平行线及相交线
∙相交线：
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交。
相对的，我们称这两条直线为相交线。
垂线：
两条直线相交成直角时，就把这两条直线叫做互相垂直。
平行线：
在同一平面内，不相交的两直线叫做平行线，它们的关系叫互相平行。
∙垂线的性质：
过一点有且只有一条垂线。
平行线的画法：
放、靠、推、画
亿以内数的读法和写法
∙学习目标：
掌握亿以内的数的读数方法，能正确读出亿以内的数。
∙数的读法：
从高位读起，先读万级，再读个级，读万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字，每级末尾的零都不读，数中间有一个零或连续有几个零都只读一个零。
数的写法：
八十四万零八十：
先写万级，再写个级，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写0。
亿以上数的读法和写法
∙学习目标：
掌握亿以上的数的读数方法，能正确读出亿以内的数。
∙数的读法：
①从高位读起，一级一级往下读。
②读亿级或万级的数，先按照个级的读法读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。
③数中间有一个0或连续有几个0，都只读一个零；每级末尾的零都不读。
读作：
一亿二千零三十万四千零六十
数的写法：
先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上用0占位。
计算机的知识及用计算机探索规律
∙学习目标：
通过计算，发现隐含的规律，并用规律解决问题。
∙用计算器计算下面各题:
1÷11=0.0909…
2÷11=0.1818…
3÷11==0.2727…
4÷11=0.3636…
5÷11=0.4545…
不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。
6÷11=0.5454…
7÷11=0.6363…
8÷11=0.7272…
9÷11=0.8181…
规律:
商都是循环小数，循环节都是9的倍数
用计算器计算前4题，试着写出后2题的商。
3×7=21
3.3×6.7=22.11
3.33×66.7=222.111
3.333×666.7=2222.1111
3.3333×6666.7=22222.11111
3.33333×66666.7=222222.111111
规律：
整数位和小数位的数位都在增加
和差积商的变化规律
∙学习目标：
理解并探索运算中蕴含的规律，并应用规律解决问题。
∙和的变化规律
（一）如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数。
（二）如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．
（三）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的加数，那么，它们的和不变．
（四）如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加（m＋n）．
（五）如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少（m＋n）．
（六）如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加（m－n）；当m＜n时，它们的和就减少（n－m）．
差的变化规律
（一）如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．
（二）如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．
（三）如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．
（四）如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加（m＋n）．
（五）如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少（m＋n）
（六）如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加（m＋n）；当m＜n时，它们的差就减少（n－m）．
（七）如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少（m－n）；当m＜n时，它们的差要增加（n－m）．
积的变化规律
（一）如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．
（二）如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．
（三）如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变．
（四）如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大（m×n）倍．
（五）如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小（m×n）倍．
（六）如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大（m÷n）倍，当m＜n时，它们的积就缩小（n÷m）倍．
商的变化规律
（一）如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．
（二）如果被除数扩大（或缩小）m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大（或缩小）m倍．
（三）如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍．
（四）如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大（m×n）倍．
（五）如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小（m×n）倍．
（六）如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大（m÷n）倍，当m＜n时，它们的商就缩小（n÷m）倍．
（七）如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小（m÷n）倍，当m＜n时，它们的商就扩大（n÷m）倍．
认识正负数
∙正负数是一个相对的概念，并且表示在一个情境中成对出现的两个具有相反意义的量。
任何正数前加上负号都等于负数，表示相反意义的数，负数比零小。
正数定义：
比0大的数叫正数。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。
正数有无数个，包括正整数，正分数和正无理数。
正数的几何意义：
在数轴上表示正数的点都在数轴上0的右边。
正数即正实数，它包括正整数、正分数（含正小数）。
而正整数只是正数中的一小部分。
而正数不包括0,大于0的才是正数。
负数：
是数学术语，指小于0的实数，如?
3。
在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小。
负数用负号（即相当于减号）“－”标记，如?
2，?
5.33，?
45，?
0.6等。
去除负数前的负号等于这个负数的绝对数。
-2的绝对值为2，-5.33的绝对值为5.33，-45的绝对值为45，-0.6的绝对值为0.6等。
负数是同绝对值正数的相反数。
任何正数前加上负号都等于负数。
分数也可做负数，如：
-2/5
0既不是正数也不是负数。
零上温度我们用正数表示，零下温度就用负数表示，
温度计（数轴）中0右边的数是正数，0左边的数是负数。
∙负数的计算法则:
加法:
负数1+负数2=－|负数1+负数2|=负数
负数+正数=符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值
减法:
负数1－负数2=负数1+|负数2|=负数1加上负数2的相反数，再按负数加正数的方法算
负数－正数=－|正数+负数|=负数异号两数相减，等于其绝对值相加
乘法:
负数1×负数2=|负数1×负数2|=正数
负数×正数=－|正数×负数|=负数
除法:
负数1÷负数2=|负数1÷负数2|=正数
负数÷正数=－|负数÷正数|=负数
总得来说，就是同数相除等于正数，异数相除等于负数。
画角
∙学习目标：
掌握画角的步骤，能准确画出各种度数的角。
∙画角的步骤：
以60°角为例
A.先画一条射线
B.把量角器的中心和射线的端点重合，零度刻度线和射线重合
C.在量角器60度的刻度线的地方记一个点
D.从射线的端点出发，通过新记的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是60的角
用三角板画一些特殊度数的角（45°+30°=75°，90°+45°=135°等等）。
加法交换律和结合律
∙学习目标:
1、使学生理解并掌握加法交换律和加法结合律，并能够用字母来表示加法交换律和结合律。
2、使学生经历探索加法交换律和结合律的过程，通过对熟悉的实际问题的解决进行比较和分析，发现并概括出运算律。
∙加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母a、b表示加法交换律：
a+b=b+a
加法结合律：
三个数相加，先把前两数相加，再同第三个数相加，或者先把后两数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
三个数连加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数，也可以先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。
这就是加法的结合律。
即（a+b）+c=a+（b+c）
∙思路点拨：
1、加法交换律
如：
38＋12=12+38
23＋35=35+23
2、加法结合律
如：
369＋258＋147＝369＋（258＋147）
（23＋47）＋56＝23＋（47＋56）
654＋（97＋a）＝（654＋97）＋a
方向与路线（方向角）
∙八个方位：
东，南，西，北，东北，东南，西南，西北
方向角：
如医院在北偏北东30°，公园在南偏西75°等等。
∙辨别方法：
（1）体育馆在学校的（北）面，商店在学校的（南）面；
（2）医院在学校的（西）面，邮局在学校的（东）面。
认识路线：
从广场出发向__西__行驶__2__站到电影院，再向__北__行驶__1__站到商场，再向__西北__行驶__4__站到少年宫，再向__西南__行驶__4__站到动物园。
平角，周角
∙平角：
平角是一条射线绕着它的端点进行旋转，一直转到和原来的位置成一条直线所形成的角。
周角：
周角是一条射线绕着它的端点旋转一周与原来的射线重合所形成的角。
∙平角，周角，直角的关系：
周角是360°的角，平角是180°的角；一周角=2平角=4直角，一平角=2直角。
折线统计图
∙折线统计图：
用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化。
容易看出数量的增减变化情况。
∙折现统计图制作步骤:
1.标题：
根据统计表所反映的内容，在正上方写上统计图的名称；
2.画出横、纵轴：
先画纵轴，后画横轴，横、纵轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量；
3．描点、连线：
根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来。
乘法结合律和交换律
∙学习目标：
1、经历探索过程，发现乘法结合律和交换律，并用字母表示。
2、在理解乘法结合律和交换律的基础上，会对一些算式进行简便计算。
∙乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
a×b=b×a，10×12=12×10
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，他们的积不变。
a×b×c=a×（b×c），12×25×4=12×（25×4）
∙速度的表示方法：
速度用来表示每分钟、每小时行的路程；例如：
225米/分，30千米/时，15千米/时等等。
∙速度的计算：
速度=
除法的估算
∙学习目标：
掌握基本的除法估算的方法，正确地进行除法的估算。
会根据具体情况选择合理的估算方法。
∙方法点拨：
（1）除数是一位数的除法估算，可以把被除数估成整百、整十或几百几十的数，再进行口算，有时也要看被除数想口诀，把被除数看作是乘法口诀中的积来估算比较简便；
（2）除数是两位数的除法估算：
先求除数的近似数---省略除数十位后面的尾数，再去除被除数的近似数—被除数最高位如果比除数的最高位上的数大，则省略被除数最高位后面的尾数；如果比除数最高位上的数小，则省略被除数前两位后面的尾数。
乘法的估算
∙学习目标：
1、掌握乘法估算的方法，会进行两位数的乘法估算．
2．培养估算的意识，归纳概括、迁移类推的能力，以及应用所学知识灵活解决实际问题的能力．
∙方法点拨：
一、口算乘法：
一计（把因数0前面的数相乘）
二数：
数一数两个因数末尾一共有几个0。
三添。
在乘得的积后面添上几个0。
二、两位数乘法的估算方法（一看，二算）
1、把其中一个因数看作与它接近的整十数，再用口算确定它们积的范围。
2、把两个因数看作与它们接近的整十数，再用口算确定它们积的范围。
路程，时间和速度的关系
∙路程：
人、交通工具走过或驶过的距离
时间：
走完特定的路程所以的时间
速度：
表示物体运动的快慢程度
∙路程，时间，速度的关系：
速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间。
方向与位置（有序数对）
∙有序数对：
这种有顺序的两个数a和b组成的数对叫做有序数对。
记作（a，b）数对是一个表示位置的概念。
前一个数字表示列，后一个数字表示行。
比如，（2，5），表示它的位置是第二列第五行。
∙例题解析：
下图是我校平面示意图,若科技楼所在的位置为（3，6），则食堂所在的位置为（1，4），宿舍楼所在的位置为（2，8），实验楼所在的位置为（3，2），东教学楼所在的位置为（5，2），西教学楼所在的位置为（5，6），办公楼所在的位置为（9，2），大门所在的位置为（7，1）。
角的度量
∙角的计量：
角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。
把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记作1。
。
角的度量：
测量角的大小要用量角器去测量。
∙角的大小：
1、角的大小与角的两边画出的长短没有关系。
2、角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。
∙量角器的使用方法：
两重合：
量角器中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，
一看数：
看角的另一条边对的刻度数。
乘法分配律
∙学习目标：
1、理解乘法分配律的意义
2、会运用乘法分配律解决实际问题。
∙乘法分配律：
两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别和这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
（a+b）×c=a×c+b×c，（12+15）×4=12×4+15×4。
乘法分配律可以正着用，也可以反着用。
∙辨一辨，下面哪些算式运用了乘法分配律
1、117×3＋117×7＝117×（3＋7）是
2、24×（5＋12）＝24×17 不是
3、4×a＋a×5＝（4＋5）×a 是
4、35×（4×6）＝35×6×4 不是
小数的四则混合运算及应用
∙小数四则混合运算：
顺序同整数混合运算的顺序相同，先算第二级运算，再算第一级运算；有括号的先算括号里面的。
∙验算：
加法的验算
交换加数的位置再算一次，如果得数一样，就是加法做对了；
用得数来减去其中一个加数，如果得数和另一个另数相同就是做对了。
减法的验算
用被减数减去所得的差，如果得数和减数相同，就是减法做对了。
用减数加上所得的差，如果得数和被减数相同，就是减法做对了。
乘法的验算：
交换加因数的位置再算一次，如果得数一样，就是乘法做对了；
用得数来除以其中一个因数，如果得数和另一个因数相同就是做对了。
除法的验算：
用被除数除以所得的商，如果得数和除数相同，就是除法做对了。
用除数乘上所得的商，如果得数和被除数相同，就是除法做对了。
分数的四则混合运算及应用
∙运算顺序：
分数四则混合运算的运算顺序和整数则混合运算的运算顺序相同：
一个算式里，如果只含有两级运算，先算第一级运算，再算第二级运算。
在含有括号的算式里，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
计算法则：
分数乘法的意义：
分数乘以整数 —×12 表示12个—是多少。
整数乘以真分数 12×— 表示12的—是多少。
分数乘以真分数 —×— —的—是多少。
一个数乘以带分数 —×1— 表示—的1—倍是多少。
分数加、减法的计算法则：
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分数相加减，先通分，再按同分母方法计算。
分数乘除法计算方法：
分数乘法，分子相乘作分子，分母相乘作分母。
分数除法，乘以除数的倒数。
∙分数四则运算的意义:
加法:
把两个数合并成一个数的运算把两个小数合并成一个小数的运算把两个分数合并成一个分数的运算;
减法:
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算;
乘法:
求几个相同加数的和的简便运算,小数乘整数的意义与整数乘法意义相同;
一个数乘纯小数就是求这个数的十分之几，百分之几……
除法:
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算,
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