二次根式及性质知识点.docx

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二次根式及性质知识点

知识要点：

（1）平方根与立方根

②（禹）2=a（a>0）

a.平方根的概念：

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。

用±Va

表示。

例如：

因为（±5）2=25，所以25的平方根为±（25=±5。

b.算术平方根的概念：

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。

0的算术平方

a（a>0）

Ja2=|a|=f0（a=0）

[-a（ac0）

根为0。

用Ja表示a的算术平方根。

④Jab=7aVb（a>0,b>0）

例如：

3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。

3—

c.立方根的概念：

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a

6=芈（aaO,bXO）

⑤VaVa

c.二次根式的乘除法

表示。

例如：

因为33=27，所以27的立方根为V27=3。

①扁尿=届（a>0，b>0）

d.平方根的特征：

1一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

20有一个平方根，就是0本身。

3负数没有平方根。

e.立方根的特征：

1正数有一个正的立方根。

2负数有一个负的立方根。

30的立方根为0。

Jbfb

〒「一（a>0,b>0）

②VaVa

d.最简二次根式的标准：

1被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）

2被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

e.同类二次根式的识别：

几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。

④=-Va。

例如：

恵=2丘与应是同类二次根式,

3妬与-5爲是同类二次根式。

⑤立方根等于其本身的数有三个：

1，0,—1。

（2）二次根式

a.二次根式的概念：

形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开

方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0）。

f.二次根式的加减法运算法则：

在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算,并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变）为最后的结果（注意：

最后结果要尽可能最简）

h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法：

①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后,

运算时只有同类二次根式才能合

，合并同类二次根式之后的式子作

其结果不再含根号的因式。

i.形如扁的式子，利用（苗）2=a，分子、分母同乘以Ta得

有理数

实数

r正整数

然数

或

ii.形如a±用±bjy的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以

a斗屈或（aVX斗bjy）得

2或

a-b

c（a坂刁bjy）

注意：

分子、

x-b2y

无理数正

L负

②按正负分类

正实数

f正分数

数分数有限小数或无限循墩小

［负分数

无理数

金无限不循环小数

无理数

正有理数

「正整数

［正分数

0。

分母同时所乘以的式子必须不为

（X-y）（Jx-石）

（坂+77）（坂-77）

正无理数

-y

=長-石

，这样运算不一定正确,

因为-J?

有可能为

②化去分母中的根号,

有时通过约分来解决

X—y

厂厂（xHy且XH0,yHO）如：

Jx±Jy

（低+Jy）

VX±Vy

=Tx斗

（3）实数与数轴：

a.无理数的概念：

无限不循环小数叫做无理数。

b.实数的概念：

有理数与无理数统称为实数。

c.实数的分类：

①按实数的定义分类

负实数

负有理数

负无理数

d.实数与数轴上的点之间的关系：

实数与数轴上的点是对应的。

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点来表示。

e.常见的几种无理数：

①根号型：

如

（2、刘4等开方开不尽的数。

1.21121112……等无限不循环小数。

兀（圆周率）的数。

2构造型：

如

3化简后含有

4在今后学习中还会遇到三角函数型等。

f.实数比较大小的几种常用方法：

①数轴比较法：

将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在同一点上的两个数相等。

②差值比较法：

设a、b是任意两实数，若a—bAO，贝Ua>b；若a—b<0，

则a

例4.

计算下列各式:

③商值比较法：

设a、b是两个正实数

>1,

则aAb

（1）

2

（2）（aZ5）2

=1,

<1,

（-J1勺需

注：

除此以外还有平方法等方法。

【典型例题】

例1.判断下列说法是否正确：

（1）

（2）

4的平方根是2

—25的平方根是一5

2

（七）的算术平方根是8

（7）

解析:

（4）

—0.027的立方根是0.3

邑±2

27的立方根是3

解析:

要作出正确判断，必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概念。

例2.要使下列各式有意义，字母

x的取值必须分别满足什么条件?

（1）

J3-4X

/2

（2）V—X

Jx+1+U2-x

^3-X

（4）X—1

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。

解析:

例3.已知Ja-b+3与|a+b-5|互为相反数，求a2+b2的值。

（屁-4需）—

-4705）

（1）由公式©£）2=*（a^O）可以直接得到。

/1^、nnIn

根据积的乘方法则（ab）=a可以求解。

利用jaTb（a>0,b>0）进行乘法计算。

（4）利用Va47=Jab（a>0,b>0）进行乘法计算，但应知道

y>0,x>0。

Tafa/*C,c、

=上（a",bA0）

（5）利用Ub'b进行计算。

（6）和（7）应先对式子中的每个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行合并。

例5.化简下列各式:

（2）J（x-2）2（XC2）

（3）Jx2-8x+16

（4）412a4b4c

（6）

話（a>0,b>0）

解析：

（1）

（2）（3）都是形如

Va2的化简，关键是正确理解和使用

2

a=-

斗3

b13b=—解得J6

Cla（a>0）

荷孙La（a<0）

例7.比较^3-J2与J2-1的大小。

（4）运用vab=jaJb（a>0,

b>0）对二次根式进行化简时尽可能将被

开方数的因式写成平方的形式。

（5）（6）去掉分母中的根号，常用的方法是使分母化为Ja2（或掐2）的形式。

5-辰=2b+273-a

例6.已知a、b均为有理数，并且满足等式：

3，求a、b

的值。

2

5-屆=2b+-J3-a

解析：

因为3

所以

2

（a-2b+5）+（-a-）73=0

3

因为

a、b均是有理数

5+a—2b与一a

所以

2

3都是有理数

fe+a-2b=0

j-a-2=0

所以有I3

分析：

比较丿3—丿2与J2-1的大小，可先将各数的近似值求出来

3-42*1.732-1414=0318

42-1^1414-1=0414

再比较大小，本题还有一种方法“分子有理化”

73_占=（"-应）（方+72）解：

•

（72+1）

例8.观察下列各式及其验证过程:

2+彳

3+鲁

23

3

/（2^2）+2

¥22-1

（2（22-1）+2V22-1

验证:

证。

验证:

3Jl

严3-3）+3/3（32-1）+3

3—1

32—1

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想

15的变形结果并进行验

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n>2）表示的等

式，并给出证明。

【模拟试题】（答题时间：

80分钟）

一.填空题

1.计算H/2|=

12.在二次根式:

（1）^/12；

_2

J?

；（3）V3；（4）/27中，与是同类二

2.若代数式J1-2x有意义，则x的取值范围是

次根式的是（

A.

（1）和（

（3）和（4）

13.下列实数中,

）

3）

B.

（2）

和（3）

C.

（1）和（4）

D.

无理数是（

）一+718

3.计算：

寸2-1

A.3.14

1

B.2

C.0

4.在实数范围内分解因式:

X2-2U3x+3=

14.下列各组数中,

互为相反数的是（

5.若x<5，则-5）

1

-2禾口-

A.2

B.1一21与2

C.

-2与J（-2）2

D.

6.绝对值不超过3的无理数有

（只需写出3个即可）。

7.已知

a=_b_1

罷-2’嘉+2，则嘉匚产貯的值为

15.若a为实数，下列代数式中，一定是负数的是（

8.实数

a、

b、c在数轴上的对应点如图。

A.-a2

B.-（a+O?

C.-Ja2

D.—（I—a|+1）

a+|a+b|-Jc2-|b-c|=

16.如图，数轴上表示

1,V2的对应点分别为A、

点B关于A对称点为C,则

点C所表示的数是（

A.1

B.

1-42

9.已知（a-b+1）272a-b+4=0，计算ab=

C.2-72

D.

72-2

10.的整数部分为a,小数部分为b,则a=

b=

二.选择题

11.在二次根式娱'殛肯，K，护

中，最简二次根式共有（

17.下列命题中正确的是（

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

A.如果a、b同号，则

B.如果a、b异号，则

C.如果a、b异号，则

、丿-ab有意义

（2）JE+鲁占（0-<舟）

D.如果a、b同号，贝y

-Jab无意义

23.比较两数的大小:

18.下列计算正确的是（

A.aL

（1）-AZ6和-6'7；

B.

掐十Jb=Ja+b

（2）3-6/5和3-5左。

C（Ja+Tb）2=a+b

D.

24.化简求值:

19.若x为任意实数，下列各式一定有意义的是（

aTB+bVa（4b1）亠Vb

爲十JbTOb-b爲十Jba-b，其中a=3-V5,b=3+^5。

A.Jx2-3

B.

25.解不等式或方程:

（1）73x+1c2^2+2x；

D.

Jx2+1

75x=尸X+2

（2）J5-v3。

20.把£根号外的因式移入根号内等于（

A.Vx

B.

C.-Vx

D.

三、解答题

21.在实数范围内分解因式

26.某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余6.4万元，若在经营期间每年比上一年资金增长百分数相同，试求这个百分数。

27.阅读

（1），解答

（2）、（3）。

（1）举例说明“两个无理数的和有可能为有理数。

”

解：

如应、一丘都是无理数，而+e0，0就是有理数。

3

（1）x-10x；

（2）有没有不相等的两个无理数的差为有理数？

如果有，请用与

42、门、丁5

4

（2）9x-16。

22.计算:

相关的数举例说明。

（3）有没有绝对值不相等的两个无理数的平方差为有理数？

如果有，请用与J2、丿3、J5相关的数举例说明。

（1严五吨一誌；

28.先观察下列等式，再回答问题:

②卜*诗

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想

心+5的结果，并进行验证;

n（n为正整数）表示的等式，并

（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用加以验证。

【试题答案】

24.化简得2ab，计算得4

1.£2，-3

2.

X<

2

3.472+1

4.

（X-J③2

5.5-x

6.

J2、V5、

7.5

8.

-2c

9.6

10.

1,a/3-1

11.B12.C

13.

D

16.C17.C

18.

A

75（答案不唯一）

3

21.

（1）

14.C

19.D

2J2-1

xa2+73-4/2-2J0

（2）75x=（75+V3）x+2

-10x=x（x2-10）=x（x-7i0）（x+710）

15.D

20.D

-73x=2

2/3

X=

3

26.设每年比上年资金增长百分数为X%，则有

20（1+X%）2=20”（12%+1）+6.4

（2）9x4-16=（3x2+4）（3x2-4）=（3x2+4）（73x+2）（73x-2）

228.8

（1+x%）==144

20

1+X%=±12

22.

（1）"3

/.X=20或X=-220（舍去）

（73+72）（73+72）

（后->/2）（75+72）

=26-^/T5+~76-5-2」6

3

=2V6-尿-5

3

=2^6-屁

3

答：

这个百分数为20%。

27.

（2）有（3十血）—（5+J2）=-2

（3［有（2/3+3②2_⑴寸勺+/2）2=_80

卜2+4=1+」丄1丄

28.

（1）V42524520

（2）3

441

23.

（1）一7尿€-6^7

（2）3-6亦C3-5^6

证：

屮专+*£1吒"£川1675

2^11

2020

1=1丄丄=1

nn+1

⑷J2+X—j2-x,⑸

Jx+1

x-1

aA2^

邙.

（n2+n+1）2

证：

*n2（n+1）2Yn2（n+1）2

3、计算

n2+n+1

-n（n+1）

2

n+n+1

—2丄

n+n

n2+n1

=——+——

n2+nn2+n

n+n

⑴（75f,⑵J（-5）2,

4、化简:

⑴70.0^0.16,

1、判断下列代数式中哪些是二次根式?

⑴V2，⑵'T6，

⑶Ja+9,⑷Jx2+1,⑸』a2+2a+2,

⑹丁一X（X<0）,

（7）J（m-3f。

答:

2、求下列二次根式中字母

X的取值范围:

⑴J2x-1,

⑵Jx2+3,

⑷』52+122,

5、写出下列各式成立的条件

⑴J4x2=-2x,

（即

⑷（-75）2,

⑸（航）2,

x的取值范围）

⑷Jx2-9=Jx+3XJx-3,

6、若代数式+J（a-4）2的值是常数

7、若丄

2

⑶丁25咒33,

⑹』9

+丄

16

⑶J-X2=X

2,则a的取值范围是

8、若X、y都为实数，且y=2008G話+2007尽二+1，则X2+y=

10、解方程:

⑴2x2

=48，

⑵3/2x=-J8.

11、计算:

⑴<44二42+33二'32,

¥2005个2005个

12、观察下列各式及验证过程:

验证:

32—1

332-1）+3

32—1

⑴针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；

⑵请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且nA2）表示的等式。