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集合与函数的概念

第一章集合与函数的概念

龙港高中林长豪

课题：

§1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

教材分析：

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：

新授课

教学目标：

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：

集合的基本概念与表示方法；

教学难点：

运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

教学过程：

引入课题

引例１：

（数学家和牧民的故事）牧民非常喜欢数学，但不知道集合是什么，于是他请教一位数学家．集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题．有一天他来到牧场，看到牧民正把羊往羊圈里赶，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门．数学家灵机一动，高兴地告诉牧民：

“你看这就是集合！

”

２：

军训时当教官一声口令：

“高一（１4）班同学到操场集合”

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容

新课教学

（一）集合的有关概念

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

思考1：

课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

关于集合的元素的特征

（1）确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：

构成两个集合的元素完全一样

元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA（举例）

常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：

{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

例1．（课本例1）

思考2，（课本P4思考）引入描述法

说明：

集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：

{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{x|x是直角三角形}，…；

例2．（课本例2）

说明：

（课本P5最后一段）

思考3：

（课本P5思考）

强调：

描述法表示集合应注意集合的代表元素

{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同。

辨析：

这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{x|x是全体整数}。

下列写法{x|x是实数集}，{R}也是错误的。

说明：

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（三）课堂练习（课本P5练习）

归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

作业布置

书面作业：

习题1.1，第1-4题

板书设计（略）

课题:

§1.1.2集合间的基本关系

教材分析：

类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

了解空集的含义

课型：

新授课

教学目的：

（1）理解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

（4）理解空集的含义。

教学重点：

子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：

弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

教学过程：

一、引入课题

复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：

（1）0N；

（2）Q；（3）-1.5R

类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

（宣布课题）

二、新课教学

集合与集合之间的“包含”关系；

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：

读作：

A含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A

当集合A不含于集合B时，记作AB

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

集合与集合之间的“相等”关系；

，则中的元素是一样的，因此

即

练习

结论：

任何一个集合是它本身的子集

真子集的概念

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。

记作：

AB（或BA）

举例（由学生举例，共同辨析）

空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：

规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

结论：

，且，则

例题

（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；

课堂练习

归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；

作业布置

书面作业：

习题1.1第5题

提高作业：

已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。

设集合，

，试用Venn图表示它们之间的关系。

板书设计（略）

课题：

§1.3集合的基本运算

（一）

教学目的：

（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：

新授课

教学重点：

集合的交集与并集的概念；

教学难点：

集合的交集与并集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

教学过程：

引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

观察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

（1）A={1,2,3,4,5},B={2,5,8,9},C={2,5}

（2）A={1,2,3,4,5},B={2,5,8,9},C={1,2,3,4,5,8,9}

引入并集、交集概念。

新课教学

并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）

记作：

A∪B读作：

“A并B”

即：

A∪B={x|x∈A，或x∈B}

Venn图表示：

说明：

两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题（P9-10例4、例5）

说明：

连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：

在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。

记作：

A∩B读作：

“A交B”

即：

A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：

两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

例题（P9-10例6、例7）

拓展：

求下列各图中集合A与B的并集与交集

说明：

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

求集合的并、交是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

集合基本运算的一些结论：

（A∩B）A，（A∩B）B，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

A（A∪B），B（A∪B），A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A

若A∩B=A，则AB，反之也成立

若A∪B=B，则AB，反之也成立

若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B

若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

三、课堂练习

P11、1~3

四、作业布置：

略

课题：

§1.3集合的基本运算

（二）

教学目的：

（1）理解全集以及在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：

新授课

教学重点：

集合的全集、补集的概念；

教学难点：

集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题。

教学过程：

引入课题

问：

我班全体同学有一部分参加了校运动会，在这个问题需关注的集合有几个？

二、新课教学

全集、补集

全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。

补集：

对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集，

记作：

CUA

即：

CUA={x|x∈U且x∈A}

补集的Venn图表示

说明：

补集的概念必须要有全集的限制

例题（P12例8、例9）

例10、设全集U={-1,1,a2-2a-3},A={1,|b|-3}若：

CUA={5},求a,b的值

求集合的补集运算，运算结果仍然还是集合，在处理有关交集与并集、补集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

补集的结论：

（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=

4．元素个数问题：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）

例8、

（1）开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳和田径比赛的有3人,同时参加游泳和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,那么同时参加球类和田径比赛的有几人?

只参加游泳一项比赛的有几人?

设S={1,2,3,4,5},A∩B={2},（CSA）∩B={4}，（CSA）∩（CSB）={1,5}，求集合A和B。

课堂练习

P11、4

作业布置；略

课题：

§1.2.1函数的概念

（一）

教材分析：

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．

教学目的：

（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

教学重点：

理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：

符号“y=f（x）”的含义，及函数的定义

教学过程：

引入课题

复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

备用实例：

我国2003年4月份非典疫情统计：

日期

新增确诊病例数

106

105

103

113

126

152

101

引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；

根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．

新课教学

（一）函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作：

y=f（x），x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）．

注意：

“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；

函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（由学生完成，师生共同分析讲评）

（二）典型例题

1．求函数定义域

课本P20例1

解：

（略）

说明：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

巩固练习：

课本P22第1题

2．判断两个函数是否为同一函数

课本P21例2

解：

（略）

说明：

构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习：

课本P22第2题

判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f（x）=（x－1）0；g（x）=1

（2）f（x）=x；g（x）=

（3）f（x）=x2；f（x）=（x+1）2

（4）f（x）=|x|；g（x）=

（三）课堂练习

求下列函数的定义域

（1）

（2）

（3）

（4）

归纳小结，强化思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目。

作业布置

课题：

§1.2.1函数的概念

（二）

教材分析：

教学目的：

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

教学重点：

区间的概念，求函数的定义域和值域

教学难点：

符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

教学过程：

复习

函数的概念

函数的三要素

定义域、值域

同一函数的判断依据

新课教学

1．区间的概念

在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.

设a,b∈R,且a

①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

②满足不等式a

③满足不等式a≤x

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

举例让学生写区间

（二）典型例题

1．求函数值域

解：

（略）

说明：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；

如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

2．例2．已知，则由此你能发现什么一般结论？

解：

（略）

说明：

（三）课堂练习P19、T2

归纳小结，强化思想

求函数常用的方法比如配方法，换元法所解决的类型，引入了区间的概念来表示集合。

作业布置

课题：

§1.2.2函数的表示法

（一）

教学目的：

（1）明确函数的三种表示方法；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

（4）纠正认为“y=f（x）”就是函数的解析式的片面错误认识．

教学重点：

函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：

根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？

分段函数的表示及其图象．

教学过程：

引入课题

复习：

函数的概念；

常用的函数表示法及各自的优点：

（1）解析法；

（2）图象法；

（3）列表法．

新课教学

（一）典型例题

例1．某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f（x）．

分析：

注意本例的设问，此处“y=f（x）”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．

解：

（略）

注意：

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；

解析法：

必须注明函数的定义域；

图象法：

是否连线；

列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

巩固练习：

课本P27练习第1题

例2．下表是某校高一

（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

王伟

张城

赵磊

班平均分

88．2

78．3

85．4

80．3

75．7

82．6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

分析：

本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？

怎么分析？

借助什么工具？

解：

（略）

注意：

本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；

本例能否用解析法？

为什么？

巩固练习：

课本P27练习第2题

例3．画出函数y=|x|．

解：

（略）

巩固练习：

课本P27练习第3题

拓展练习：

任意画一个函数y=f（x）的图象，然后作出y=|f（x）|和y=f（|x|）的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．

课本P27练习第3题

例4．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

分析：

本例是一个实际问题，有具体的实际意义．该公共汽车招手就停，所以行车里程可以不取整数．

解：

设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，自变量x的取值范围是（0,20]．

由“招手即停”公共汽车票价制定的规则，可得到以下函数解析式：

根据这个函数解析式，可画出函数图象，图略。

注意：

本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；

本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？

实践与拓展：

请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）

说明：

象上面两例中的函数，称为分段函数．

注意：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

归纳小结，强化思想

理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．

作业布置

课题：

§1.2.2函数的表示法

（二）

教学目的：

（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．

教学重点：

映射的概念．

教学难点：

映射的概念．

教学过程：

引入课题

复习初中已经遇到过的对应：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x,y）和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

5．函数的概念．

新课教学

我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．

先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系

（1）开平方；

（2）求正弦

（3）求平方；

（4）乘以2；

什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：

AB”

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：

一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

例题分析：

下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：

数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={P|P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，对应关系f：

平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x|x是圆}，对应关系f：

每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：

每一个班级都对应班里的学生．

思考：

将（3）中的对应关

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