高中数学必修4知识点总结第二章平面向量.docx
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高中数学必修4知识点总结第二章平面向量
高中数学必修4知识点总结
第二章平面向量
16、向量:
既有大小,又有方向的量.数量:
只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:
起点、方向、长度.零向量:
长度为0的向量.单位向量:
长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量:
方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:
共起点.
ababab-≤+≤+
.⑷运算性质:
①交换律:
abba+=+;
②结合律:
（（
abcabc++=++
;③00aaa+=+=.
⑸坐标运算:
设（11,axy=,（22,bxy=,则（1212,abxxyy+=++
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:
设（11,axy=,（22,bxy=,则（1212,abxxyy-=--
.设A、B两点的坐标分别为（11,xy,（22,xy,则（1
212
xxyyA
B=--
.
19、向量数乘运算:
⑴实数λ与向量a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作aλ
.
①aaλλ=;
②当0λ>时,aλ的方向与a的方向相同;当0λ<时,aλ的方向与a的方向相反;当0λ=时,0aλ=
.
⑵运算律:
①（（aaλμλμ=;②（aaaλμλμ+=+;③（
ababλλλ+=+
.
⑶坐标运算:
设（,axy=,则（（,,axyxyλλλλ==
.
20、向量共线定理:
向量（
0aa≠
与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使baλ=.
设（11,axy=,（22,bxy=,其中0b≠,则当且仅当12210xyxy-=时,向量a
、（
0bb≠共线.
21、平面向量基本定理:
如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a
有且只有一对实数1λ、2λ,使1122aeeλλ=+
.（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基
b
a
C
B
A
abCC-=A-AB=B
底
22、分点坐标公式:
设点P是线段12PP上的一点,1P、2P的坐标分别是（11,xy,（22,xy,当12
λPP=PP
时,点P的坐标是12
12,
11xxyyλλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
.
（当时,就为中点公式。
1=λ
23、平面向量的数量积:
⑴（
cos0,0,0180abababθθ⋅=≠≠≤≤
.零向量与任一向量的数量积为0.
⑵性质:
设a和b都是非零向量,则①0abab⊥⇔⋅=.②当a与b同向时,abab⋅=
;当a与b反向时,abab⋅=-
;22aaaa⋅==
或a=
abab⋅≤.
⑶运算律:
①abba⋅=⋅;②（（（
abababλλλ⋅=⋅=⋅;③（
abcacbc+⋅=⋅+⋅
.
⑷坐标运算:
设两个非零向量（11,axy=,（22,bxy=,则1212abxxyy⋅=+
.
若（,axy=,则2
22
axy
=+,
或a=
.设（11,axy=
（22,bxy=,则
1
21
2
0abxxyy⊥⇔
+
=
.设a
、b都是非零向量,（11,axy=,（22,bxy=,θ
是a
与b的夹角,
则
cosxxyyab
ab
θ+⋅==
.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴（coscoscossinsinαβαβαβ-=+;⑵（coscoscossinsinαβαβαβ+=-;⑶（sinsincoscossinαβαβαβ-=-;⑷（sinsincoscossinαβαβαβ+=+;⑸（tantantan1tantanαβαβαβ--=
+⇒（（（tantantan1tantanαβαβαβ-=-+
;⑹（tantantan1tantanαβαβαβ
++=
-⇒（（（tantantan1tantanαβαβαβ+=+-.
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincosααα=.2
22cos（sincossin2cossin2sin1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2222
cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-
⇒升幂公式2
sin
2cos1,2
cos2cos12
2
α
αα
α=-=+⇒降幂公式2
cos21
cos2
αα+=
21cos2sin2
α
α-=
.
⑶2
2tantan21tanααα
=
-.
26、
⇒（后两个不用判断符号,更加好用
27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的BxAy++=sin（ϕϖ形式。
（sincosαααϕA+B=
+,其中tanϕB=
A
.
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
（1角的变换:
在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是
2
α
的二倍;2
α
是
4
α
的二倍;
②2
3045
60
30
4515
o
o
o
o
oo
=-=-=;问:
=12
sinπ
=12
cosπ
③ββαα-+=（;④
4
（
2
4
απ
π
απ
--=
+;
⑤4
（
4
（
（（2απ
απ
βαβαα--+=-++=;等等
（2函数名称变换:
三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。
（3常数代换:
在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的
代换变形有:
o
o
45tan90
sincottancossin12
2
===+=αααα
（4幂的变换:
降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。
常用
降幂公式有:
;。
降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
αcos+常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
;
（5公式变形:
三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
_______________tan1tan1=-+αα;______________tan1tan1=+-α
α
;____________
tantan=+βα;___________
tantan1=-βα;
ααααααα
半角公式cos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:
+-±=-±=+±=2
tan
12
tan
1
cos;2tan12tan
2
sin:
22
2αα
ααα
α万能公式+-=+=
____________tantan=-βα;___________tantan1=+βα;
=αtan2;=-α2tan1;
=++o
oo
o
40
tan20tan340
tan20
tan
=+ααcossin=;
=+ααcossinba=;（其中
=ϕtan=+αcos1=-αcos1;
（6三角函数式的化简运算通常从:
“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:
见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值
与特殊角的三角函数互化。
如:
=+
10tan31（50sino
o
=-ααcottan。
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