必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第3讲集合间的关基本系含答案.docx

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必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第3讲集合间的关基本系含答案

1.2集合间的基本关系

第3讲集合间的基本关系

知识点梳理讲解：

【知识梳理】

知识点一　子集

子集的概念

定义

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

记法与读法

记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）

图示

结论

（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C

【要点讲解】

（1）集合A是集合B的子集的含义是：

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．

（2）如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A

B或B

A.

（3）注意符号“∈”与“⊆”的区别：

“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.

知识点二　集合相等的概念

集合相等的概念：

如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.

【要点讲解】

（1）若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．

（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.

知识点二　真子集

真子集的概念

定义

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集

记法

记作

图示

结论

（1）A⊆B且B≠C，则A

C；

（2）A⊆B且A≠B，则A

B

【要点讲解】

（1）在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

（2）若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.

知识点三　空集

空集的概念

定义

我们把不含任何元素的集合，叫做空集

记法

∅

规定

空集是任何集合的子集，即∅⊆A

特性

（1）空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅

（2）A≠∅，则∅

A

【要点讲解】

∅与{0}的区别

（1）∅是不含任何元素的集合；

（2）{0}是含有一个元素0的集合，∅

{0}．

知识点四　Venn图

　一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．

A⊆B⊆C表示为：

【知识精讲】

类型一　求集合的子集

例1　

（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；

（2）若一个集合有n（n∈N）个元素，则它有多少个子集？

多少个真子集？

验证你的结论．

解　

（1）∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．

（2）若一个集合有n（n∈N）个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有20即一个子集，20－1即0个真子集．

【变式训练】

1、　适合条件{1}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数是（　　）

A．15B．16C．31D．32

答案　A

解析　集合A中必有元素1，其余元素从

中取，但A≠

.这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，共15个，等于

真子集的个数24－1.

【方法技巧总结】

为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：

先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．

类型二　判断集合间的关系

题型1　概念间的包含关系

例2　设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为（　　）

A．P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆P

C．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P

答案　B

解析　正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.

【变式训练】

1、我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为________．

答案　N⊆Z⊆Q⊆R

题型2　数集间的包含关系

例3　设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为（　　）

A．A∈BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A

答案　C

解析　∵0<2，∴0∈B.

又∵1<2，∴1∈B.

∴A⊆B.

【变式训练】

1　已知集合A＝{x|－1

A．A∈BB．A

BC．B

AD．B⊆A

答案　B

解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有AB.

2下列各式中，正确的个数是（　　）

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{（0,1）}；⑥0＝{0}．

A．1　　　B．2　　　　

C．3　　　　D．4

【解析】

选B　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{（0,1）}是以有序数组（0,1）为元素的单元素集合，所以{0,1}与{（0,1）}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．

3、指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊆B.

③法一：

两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M.

法二：

由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N⊆M.

4、已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为（　　）

A．M＝PB．M⊆P

C．P⊆MD．M⊆P

【解析】

选D　①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝（a＋2）2－4（a＋2）＋5，

∵a∈N*，∴a＋2∈N*，

∴x∈P，由子集定义知M⊆P.

②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，

∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．

综合①②知，M⊆P.

【方法技巧总结】

判断集合关系的方法

（1）观察法：

一一列举观察．

（2）元素特征法：

首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．

（3）数形结合法：

利用数轴、坐标系、Venn图表示集合，再直观判断两集合的关系．

类型三有限集合子集的确定

例4　

（1）已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是（　　）

A．16B．8

C．7D．4

（2）满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．

【解析】

（1）∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.

（2）由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有三个元素：

{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有四个元素：

{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有五个元素：

{1,2,3,4,5}．

故满足题意的集合M共有7个．

【答案】　

（1）C　

（2）7

【变式训练】

已知集合A⊆{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？

并用恰当的方法表示这些集合．

解：

这样的集合共有3个．

∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A⊆{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，

∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}.

【方法技巧总结】

公式法求有限集合的子集个数

（1）含n个元素的集合有2n个子集．

（2）含n个元素的集合有（2n－1）个真子集．

（3）含n个元素的集合有（2n－1）个非空子集．

（4）含有n个元素的集合有（2n－2）个非空真子集．

（5）若集合A有n（n≥1）个元素，集合C有m（m≥1）个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有

个．

类型四　由集合间的关系求参数（或参数范围）

例5　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．

解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．

（1）当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．

（2）当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝

，

∵

≠0，要使A⊇B，只有

＝1，即a＝1.

综上，a＝0或a＝1.

【变式训练】

1、已知集合A＝{x|1

解　

（1）当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．

（2）当a<1时，要使A⊇B，需满足

这样的实数a不存在．

综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.

2、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，求实数a的取值范围．

解：

当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得

或

解得a<－4或2

综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．

3、已知集合A＝{x|1

解：

①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.

②当a>0时，A＝

.

又∵B＝{x|－1

如图作出满足题意的数轴：

∴

∴a≥2.

③当a<0时，A＝

.

∵A⊆B，如图所示，

∴

∴a≤－2.

综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．

【方法技巧总结】

利用集合关系求参数应关注三点

（1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．

（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

（3）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．

【易错题】

[典例]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

[解]　∵A⊆B，

∴

解得

故3≤m≤4.

∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．

【易错点训练】

1．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

解：

①当B＝∅时，m－6>2m－1，即m<－5；

②当B≠∅时，

解得

即m∈∅.

故实数m的取值范围是{m|m<－5}．

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，，若A≠B，求实数m的取值范围．

解：

∵A≠B，

∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致．

3．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

解：

A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，

∵B⊆A，

∴B＝∅或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．

①当B＝∅时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数根，

则Δ<0，即4（a＋1）2－4（a2－1）<0.

∴a<－1.

②当B＝{0}时，有

∴a＝－1.

③当B＝{－4}时，有

无解．

④当B＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a＝1.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．

【课堂小测】

1．下列六个关系式：

①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅⊆{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　B．3

C．4D．6

解析：

选C　①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅⊆{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．

2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是（　　）

A．A⊆B⊆CB．B⊆A⊆C

C．A

B⊆CD．A＝B⊆C

解析：

选B　集合A，B，C关系如图．

3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

解析：

∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，

∴m∈A，∴m＝4.

答案：

4

4．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：

A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的个数为__

______．

解析：

由题意知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.

答案：

5　16

5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．

（1）若A是B的真子集，求a的取值范围；

（2）若B是A的子集，求a的取值范围；

（3）若A＝B，求a的取值范围．

解：

（1）若A是B的真子集，即AB，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．

（2）若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．

（3）若A＝B，则必有a＝2.

【课后作业】

一、选择题

1．在下列关系中错误的个数是（　　）

①1∈{0,1,2}；

②{1}∈{0,1,2}；

③{0,1,2}⊆{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}；

⑤{0,1}⊆{（0,1）}．

A．1B．2C．3D．4

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　B

解析　①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{（0,1）}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.

2．若

＝

，则（　　）

A．b＝－3，c＝2B．b＝3，c＝－2

C．b＝－2，c＝3D．b＝2，c＝－3

考点　集合相等的概念

题点　由集合相等求参数的值

答案　A

解析　依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系得，b＝－（x1＋x2）＝－3，c＝x1x2＝2.

3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是（　　）

①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.

A．①③B．②③C．③④D．③⑥

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　D

解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．

4．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则（　　）

A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　B

解析　∵等腰三角形包括等腰直角三角形，∴C⊆B.

5．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）不能是（　　）

A．（－1,1）B．（－1,0）

C．（0，－1）D．（1,1）

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的值

答案　B

解析　当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；

当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；

当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；

当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．

6．已知集合A⊆

，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（　　）

A．6B．5C．4D．3

考点　子集及其运算

题点　求集合的子集

答案　A

解析　方法一　集合

的子集为∅，

，

，

，

，

，

，

，其中含有偶数的集合有6个．

方法二　

共有23＝8（个）子集，其中不含偶数的有∅，

.

故符合题意的A共有8－2＝6（个）．

7．已知∅

，则实数a的取值范围是（　　）

A．a<

B．a≤

C．a≥

D．a>

考点　空集的定义、性质及运算

题点　与空集有关的参数问题

答案　B

解析　∵∅

，

∴方程x2－x＋a＝0有实根，

∴Δ＝（－1）2－4a≥0，故a≤

.

8．若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是（　　）

A．1B．2

C．4D．8

考点　子集个数

题点　附加条件的子集个数

答案　C

解析　P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个．

二、填空题

9．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.

考点　子集及其运算

题点　求集合的子集

答案　{－1,0,1}

解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，

所以A＝{－1,0,1}．

10．若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的值

答案　0或1

解析　当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；

当B≠∅时，a≠0，B＝

，又B⊆A，∴2≤

≤3，

即

≤a≤1，又a∈Z，

∴a＝1.综上知a的值为0或1.

11．设集合M＝{（x，y）|x＋y<0，xy>0}和P＝{（x，y）|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．

考点　集合相等的概念

题点　判断集合的相等关系

答案　M＝P

解析　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，

即集合M表示第三象限内的点，

而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.

三、解答题

12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

考点　子集及其运算

题点　求集合的子集

解　先用列举法表示集合A，B.

由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

13．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？

若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的值

解　因为B是A的子集，

所以B中元素必是A中的元素．

若x＋2＝3，则x＝1，符合题意；

若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，

所以（x＋1）（x2－x＋2）＝0.

因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，

此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．

综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，

此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．

四、探究与拓展

14．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是（　　）

A．A⊆BB．B⊆AC．B∈AD．A＝B

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　C

解析　∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.

15．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的取值范围

解　∵A⊆B，

∴当A＝∅时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，

故Δ＝16m2－8（m＋3）<0，解得－1

.

当A≠∅时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，

则

即

所以

解得－3

综上，实数m的取值范围是

.