中考数学专题知识突破三开放型问题.docx
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中考数学专题知识突破三开放型问题
专题知识突破三开放型问题
一、中考专题诠释
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：
条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
二、解题策略与解法精讲
解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：
分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲
考点一：
条件开放型
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：
由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
例1（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为____
（只需填一个整数）
思路分析：
根据三角形的三边关系：
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．
考点二：
结论开放型：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：
充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
例2（2014•六盘水）如图是某数学兴趣小组参加“奥数”后所得成绩绘制成的频数，频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题（成绩取整数，满分为100分）
分组
0-19.5
19.5-39.5
39.5-59.5
59.5-79.5
79.5-100
合计
频数
1
5
6
30
b
50
频率
0.02
a
0.12
0.60
0.16
1
（1）频数、频率分布表中a=，b=．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若在80分以上的小组成员中选3人参加下一轮竞赛，小明本次竞赛的成绩为90分，他被选中的概率是多少？
（4）从该图中你还能获得哪些数学信息？
（填写一条即可）
思路分析：
（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得到总人数，再计算故a的值；根据频率=频数÷数据总数计算b的值；
（2）据
（1）补全直方图；
（3）在80分以上的小组成员共8人，小明是其中一个，选3人参加下一轮竞赛，故小明被选上的概率是：
__________；
（4）答案不唯一，只要合理即可．
考点三：
条件和结论都开放的问题：
此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．
例3（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1=
S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
思路分析：
（1）根据S1=
S矩形BDEF，S2+S3=
S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：
△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
四、中考真题演练
一、填空题
1．（2014•淮安）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．平行四边形
2．（2014•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．
3．（2014•齐齐哈尔）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是___________．（只填一个即可）
4．（2014•贵阳）若反比例函数y＝
的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k的值）
5．（2014•连云港）若函数y=
的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个即可）．
６.（2014•龙东地区）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．
７．（2014•赤峰）直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）
８.（2014•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．
９．（2014•温州）请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）
10．（2013•莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件AB=DE
，使△ABC≌△DEF．
11．（2013•绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件AE=CB
，使得△EAB≌△BCD．
12．（2013•义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是AC=AB
．
13．（2013•齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是∠C=∠BAD
（填一个即可）
14．（2013•邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是∠A与∠C（答案不唯一）
．
15．（2013•吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是6
cm（写出一个符合条件的数值即可）
16．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s
．（填出一个正确的即可）
17．（2013•达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数
图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为-1
．（只需写出符合条件的一个k的值）
18．（2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：
．
三、解答题
1９．（2014•安顺）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：
四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？
并给出证明．
20．（2014•漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
21．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．
22．（2013•盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）
23．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．
专题三开放型问题参考答案
三、中考考点精讲
考点一：
条件开放型
例1解：
根据三角形的三边关系可得：
3-2＜x＜3+2，
即：
1＜x＜5，
故答案为：
4．
考点二：
结论开放型：
例2解：
（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，且知总人数为50人，
故b=50-1-5-6-30=8，
根据频数与频率的关系可得：
a=
=0.1；
（2）如图：
（3）小明本次竞赛的成绩为90分，在80分以上的共8人，选3人参加下一轮竞赛
故小华被选上的概率是：
3÷8=
．
（4）如：
在19.5-39.5之间的人数比在39.5-59.5之间的人数少多少人？
6-5=1（人）．
答：
在19.5-39.5之间的人数比在39.5-59.5之间的人数少1人．
考点三：
条件和结论都开放的问题：
例3解：
（1）∵S1=
BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=
S矩形BDEF，
∴S2+S3=
S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：
△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：
∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
四、中考真题演练
一、填空题
1．AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
2．AB=AD（答案不唯一）．
3．BD=CE
4．-1（答案不唯一）
5．0
６.AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）
７.y=x+2（答案不唯一，符合条件即可）
８.∠ABC=90°或AC=BD
９．x=
10．AB=DE
11．AE=CB
12．AC=AB
13．∠C=∠BAD
14．∠A与∠C（答案不唯一）
15．6
16．4s
17．-1
18．y=-
三、解答题
19．解：
（1）证明：
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=
×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
20．添加的条件是AC=DF．
证明：
∵BF=EC，
∴BF-CF=EC-CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
21．解：
△ACD≌△BCE．
证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
∵
，
∴△ACD≌△BCE．
22．解：
（1）调查的总人数是：
55+30+15=100（人）；
（2）经常闯红灯的人数是：
1500×
=225（人）；
（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．
23．解：
△ACD≌△BCE．
证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE．
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