人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形 教材分析 文字讲话稿.docx

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人教版八年级数学上册第12章全等三角形教材分析文字讲话稿

《全等三角形》教材分析

1、学习本章的原因

（1）在研究几何图形的过程中起到了承上启下的作用

全等三角形，是初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，前面分别为图形认识初步、相交线和平行线、三角形，在全等三角形后，将继续学习轴对称，勾股定理、四边形等知识。

可以说，全等三角形的知识是承前启后的。

（2）在研究“三角形”这个模块的过程中功不可没

我们知道，“相等”是数学中的基本关系。

定义相等关系的目的在于说明在所讨论的事物中什么是自己最关心的，两个三角形全等就是它们能够完全重合，这表明，对于三角形，我们只关心形状和大小，而它的位置则不是我们感兴趣的，由此还可以得到“确定一个三角形所需的条件”，给出三角形稳定性的理论解释。

同时这也是“尺规作图”的理论基础。

（三）学生在解题技能上又多了一个“重量级的武器”

2、本章的内容和蕴含的思想

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。

对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。

本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程。

3、学习本章的方法

（1）课时安排

学习概念和性质第一节全等三角形1课时

全等三角形掌握判定方法第二节三角形全等的判定6课时

利用全等三角形证明第三节角平分线的性质2课时

复习与小结共2课时.

（2）本章的重点和难点：

【重点】

（1）三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.

（2）使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；

【难点】

（1）掌握用综合法证明的格式；

（2）选用合适的判定证明两个三角形全等；

（3）初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.

（3）学习目标

课程学习目标：

具体内容

理解

全等三角形的概念

能够准确地识别

全等三角形中的对应元素

探索

三角形全等的判定方法、角的平分线的性质

能利用

三角形全等进行证明、三角形全等证明角的平分线的性质

掌握

判定三角形全等的基本事实

会作

角的平分线、作一个角等于已知角

（四）教学建议

1．用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学 

学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学。

2．让学生充分经历探究过程 ——“几何实验化”

本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动。

教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件。

本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形。

教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动中发现结论。

3．重视对学生推理论证能力的培养 

本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两个角相等。

教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力。

按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤．

【具体建议】

12.1全等三角形

1、做好对定义、性质的诠释

在本节课给出了全等三角形的定义：

“两个能够完全重合的三角形叫全等三角形。

”这个定义是依赖于直观的，“完全重合”是种日常生活语言，仅仅是初级抽象，我们还需要进一步赋予它以数学意义，以提升其抽象层次，例如，把“完全重合”归结为三角形要素之间的重合，即顶点的重合（对应顶点）、线段的叠合（对应边）、角的叠合（对应角）；通过平移、翻折、旋转等变换得到的图形与原图形全等；而更精确的定义要让学生了解则需要用代数的方法。

本小节还介绍了全等三角形的性质，以“两个三角形全等”为条件，推出两个三角形对应元素之间的关系。

由定义可知，全等三角形对应边相等、对应角相等。

其实，只要是“对应元素”，如对应高、对应中线、对应角平分线等等，它们的大小相等、位置关系相同；全等三角形经过平移、旋转、翻折等变换，可使对应顶点重合（从而可以推出任意对应点都重合）。

2、本节课的引入可通过学生动手操作及计算机演示，帮助学生理解图形的全等变换

利用变换思想引入全等定义，在教学中，建议在这里引起学生的高度重视，因为这三种变换都属于合同变换，实质是两个图形的全等关系，这也为后续学习奠定基础。

同时也让学生养成一个习惯，不是就题论题，而应该站在一个运动变化的角度来看待全等。

3、总结归纳找对应边、对应角的方法：

（1）全等三角形的对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角；

（2）有公共边的，公共边是对应边；有公共角的公共角是对应角；有对顶角的对顶角是对应角；两个全等的三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角。

4、区分对应角（边）与对角（边）

对应角（边）是两个三角形中的两条边之间或两个对应角之间的关系；而“对边”“对角”是一个三角形中边和角之间的关系。

5、类比“三线八角”，搞清楚性质定理使用的前提条件

对应角（边）相等的前提是“两个三角形全等”，而学生在后期使用的时候由于图方便，往往会忽视这个条件，导致出错。

建议在起始课上类比“三线八角”，将道理讲清楚。

6、利用模型，动手操作，总结图形

本章当中有许多全等的基本图形，本小节又是起始课，所以学会如何辨认全等三角形，以及找对、找全对应边（角），就显得尤为重要。

建议在教学过程中边讲解边总结，通过变换的思想将这些图形进行分类和小结，为学生积累证明全等的基本素材，（个人建议：

用纸板模型比用电脑演示更直观、形象。

用不同颜色的笔把对应角、对应边标出来）这个过程是一个循序渐进的。

【典型例题】

例1：

如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：

∠2：

∠3=28：

5：

3，则∠a的度数为　　　　　　　　　　　　　　

例2：

如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C,A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数

例3：

如图，△AFD≌△CEB，点A，E，F，C在

同一直线上，图中有哪些相等的量。

例4：

如图，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，

（1）写出它们的对应边和对应角；

（2）若∠A=50°，∠ABD=30°，且∠1=∠2，求∠1的度数。

（关注书上的习题，想一想体现了什么思想方法。

）

12.2三角形全等的判定

1、对判定整体的理解

判定，就是研究两个三角形全等的充分条件。

仍然要先从三角形要素间的相互关系入手，

就是要寻找三角形全等的最少条件:

6个要素至少几个对应相等才能保证两个三角形全等，同时，还要归纳一下这些“最少条件”的共性。

可以发现，SAS，ASA，SSS的共性是：

三个要素，其中至少有一条对应边。

当然，还可以结合其他三角形性质给出判定，如AAS。

2、研究脉络

思考：

若同时满足四个条件或五个条件，一定能判定两个三角形全等吗？

3、明确研究问题的方法

由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发，引出由三条边分别相等、三个

自分别相等判定两个三角形全等的方法，接下来，教科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动一一首先提出探究的问题：

由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，那么能否减少条件，简捷地判定两个三角形全等呢?

然后从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，分别探究“一个条件”“两个条件”“三个条件”…能否保证两个三角形全等。

对于“三个条件”的情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分列相等的情况依次进行了探究。

同时，根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式，有的让学生通过作图实验，猜想结论，再以基本事实的形式给出判定方法，有的让学生通过举反例说明判定方法不成立，有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。

最后，探究了判定直角三角形全等的特殊方法。

这种研究问题的方法是我们在教学过程中应予以高度重视的。

因为在本章当中我们要进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程。

在以往的教学过程中我们发现，有很多学生不能摒弃单纯的模仿，只是一味地知道证明全等要画大括号（三个条件），而忽视了几何问题研究的方法与本质，导致从这一章开始成绩下滑，而影响了后面的学习。

所以我建议，本节课的学习要充分让学生能通过实践得到结论，并知晓研究几何问题的一般方法：

猜想----实验探究-----几何证明。

4、注意培养学生的识图能力、分析能力、推理能力，严格规范证明格式.

本章要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，在这一节授课当中就显得更为突出。

为了解决这个难点，要注意：

（1）减缓坡度，循序渐进.开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。

这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。

通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。

（2）在不同的阶段，安排不同的练习内容，每个阶段突出一个重点，层层深入.先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法，在此之后安排的问题可以涉及平行线等以前的内容，重点培养学生分析思路，根据需要选择有关的结论去证明的能力。

（3）分析例题时，要教学生思考的方法：

综合法、分析法、分析综合法，不要因为题目简单而缺少这一环节，否则题目难了后，学生不会想。

（4）明确证明一个几何命题的一般步骤：

①明确命题中的已知和求证；

②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程.

有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。

在分析问题时发挥好“思维导图”积极的作用

例：

　如图，AC与BD相交于点O，且OB=OC，OA=OD．

求证：

∠ABC=∠DCB．

5、处理好几个尺规作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角.

（3）作已知角的平分线.---------在下一节中学习

尺规作图的证明是三角形性质、全等三角形定理等的直接应用，反映了基本的几何图形之间的量的关系。

本节课需要大量地作图探究，所以如何设计作图方案就成了难点。

可以让学生先明确要研究的问题，再回忆有哪些手段，因为通过做图解决问题是关键，所以对某些作图步骤不用要求十分精准，比如：

作90°角。

还有就是“作弧”，因为“弧”是圆的一部分，所以在作图初期，我们可以让学生大胆地把整个圆都作出来，看看会产生几种情况，这样作的好处是可以将多种情况进行筛选，对全等的认识更全面，尤其是对“边边角”的情况就不用煞费苦心去琢磨了。

但是要记住一点，最后要整合精简的作图步骤，以便学生记忆学习。

传统的尺规作图和现代技术手段使用相比，各有利弊，相互补充，才能更大程度发挥作图探究在本节课学习过程中的重要作用。

【典型例题】

①三角形全等的判定SSS

例1．如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形．它们全等的条件是什么．

例2．如图，已知AB=CD，BC=DA．你能说明△ABC与△CDA全等吗．你能说明AB∥CD，AD∥BC吗．为什么．

②三角形全等的判定SAS

例1．如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断∠C=∠D吗．说明理由．

例2．如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么．

③三角形全等的判定ASA，AAS

例1．已知：

点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，

求证：

BD=CE．

例2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．

例3．如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F，求证：

AC=EF．

④全等三角形的判定HL

对于两个直角三角形全等条件的探究，我们可以从多个角度去探究：

①从一般到特殊，直角三角形作为特殊的三角形，有没有适合自己的判定全等条件呢？

如果按照这个思路，我们还可以探究等腰三角形、等边三角形全等的判定方法。

②对“边边角”的引申，当角度在特定条件下时，能否成立？

例.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系．

12.3角的平分线的性质

角的平分线性质的证明难度不大，难点在如何发现性质。

我们仍以“几何图形组成要素的相互关系”为“引路人”，分析一下面临的问题。

如图1

（1），以射线OP平分∠AOB即

∠AOP=∠BOP为前提，研究角平分线的性质。

因为OP的组成元素是点，射线OA，OB是∠AOB的组成元素，所以“OP上的点与OA，OB确定的关系就是角平分线的性质”明确这一点很重要，它指明了研究方向，由相交线的研究经验，点与直线的关系中，点到直线的距离是主题，于是我们可以把“确定的关系”进一步明确为“OP上的点到OA，OB的距离PA，PB之间的关系”（如图1

（2））。

结合∠AOP=∠BOP，容易得到猜想PA=PB。

在此基础上，可顺理成章提出“∠AOB内到角的两边距离相等的点有什么位置关系?

”另外，角平分线的性质还可以有各种变式，例如，过OP上任意一点作OP的垂线（图1（3）），或OA=OB则PA=PB（图1（4））等。

需要关注的几个问题：

1.虽然角平分线的性质和它的逆命题都在教材中提到，但是互逆命题、互逆定理等内容，要在八下“勾股定理”一章中介绍，这是为了保证学生在本章学好简单证明的重点，所以这个可以暂时不提。

2.本节的例题，让学生证明了三角形两条平分线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即得出三条角平分线交于一点的结论，既承前了原来介绍三角形角平分线概念时，通过画图得到的这一结果，又为后面学习圆那一章中，内心的知识作准备.

3.在习题12.3的第1题中，出现了三角板相关题目，而近几年中考题中也多次出现类似方法的题目，教师可以给学生多见些题目。

4.在处理书上习题时，可从各题的复杂图形中，剥离出基本图形，即角平分线分得的图形：

如图，BD是∠ABC的平分线.DA、DC分别垂直于AB、BC，垂足是A、C.在这个基本图形中，最后的数量关系包括△ABD≌△CBD，进而很多角和线段就相等，然后周长、面积也相等.

5.培养学生应用角平分线的性质的意识，防止学生绕远路.

角平分线的性质是由三角形的全等证得的，在应用时，学生因刚学完全等，且不熟悉角平分线性质的图形，故能用性质的题也用全等解，使解题步骤繁琐，故教学中要强化角平分线性质的应用，学生若走了弯路，建议让学生用简单的方法重证一遍，以加深印象.

【例题选讲】

例1．如图1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

求证：

DE=DF．

例2．如图2，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．

求证：

AD平分∠BAC．

4、学习本章之后能解决的问题

每学完一个数学知识，学生最爱问的问题之一就是“干什么用？

”大致分为两个方面：

一是数学方面的作用，可以用这个知识点去解决其他的数学问题；二是实际应用方面。

这个在本章当中也处理的很好。

《12.3角平分线的性质》的安排在本章的最后，我想意图十分明显，可以让学生先想想为什么会在《全等三角形》这样一个研究三角形关系的章节中安排一个有关角平分线性质的研究？

研究一条线的性质，我们最终归结为研究什么？

——研究线上的点的性质——距离，“距离”是初中几何当中研究最为广泛的一个课题，我们探究图形之间的关系时大多要用“距离”来刻画。

本章中的实际例子也非常多。

章前图中找全等形；12.1用实际生活中的例子引入全等定义；12.2课后练习中涉及的角尺、卡钳；经典案例：

测河宽；用角平分线性质解决集贸市场选址问题；在数学活动中还安排了利用全等设计图案、“筝形”的研究等。

其中活动1的目的是让学生观察一些含有全等形的图案并收集一些全等形的例子，以复习巩固全等形的概念。

教学中也可以让学生自己用全等形设计一些图案，与同学交流。

到目前为止，学生已经有了研究相交线、平行线、三角形等平面图形的经验，又能利用三角形全等推出线段相等或角相等的结论，因此教科书设置了活动2，让学生独立研究一种图形（筝形）的性质，教学中要让学生充分利用已有的研究图形的经验，例如，通过画图、测量、折纸等方法猜想图形可能的性质，通过推理论证证明图形的性质等。

5、学完的思考

（1）每学完一个新的知识，我们都会有所归纳和总结

对全等三角形的研究，按照“定义一性质一判定一应用”的路径展开。

从“几何图形要素的相互关系就是性质”的角度看，这里的性质是定义的具体化，而“判定”则是给出三角形全等的“最少条件”，是性质的逆定理在“应用”中，用全等角形定理等证明有关性质是一方面，更需要注意的是有关性质的发现，例如，如何想到“角平分线上的点到角的两边的距离”是值得研究的问题。

在这一章当中，我们仍然沿用了

这样一个思路，并归纳出一些证明角、线段相等的方法，图形，这些都是今后我们研究的工具：

（1）证明线段相等的方法

①证明两条线段所在的两个三角形全等.

②利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

（2）证明角相等的方法

①利用平行线的性质进行证明.

②证明两个角所在的两个三角形全等.

③利用角平分线的判定进行证明.

（3）证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法.

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义进行证明.

（4）辅助线的添加.

（二）值得反思的地方

（1）在探究三角形全等时，对于“SSS”“SAS”“ASA”这三个定理都是先作图探究，然后以基本事实的方式呈现出来的，而对于这三个定理的证明，在《几何原本》中，被安排在了第一卷，分别是命题4，8，26，且教参后面给出了命题4的证明，可供大家参考。

（2）三角形全等判定条件中经常用来做文章的“SSA”，其实也不是完全没有成立的可能。

我们在探究过程中利用作图的方式是可以找到其反例的，那么它成立的条件又是什么呢？

教参后面也同样给出了“SSA”成立的条件，一句话就是：

如果能确定这个三角形的形状，那么“SSA”是成立的，这也就解决了在实际做题过程中，为什么我们看到的“SSA”总成立，而它又不能作为一个定理使用的原因。

（3）三角形全等的条件是越多越好吗？

我们一般研究完三个条件后，就会突兀地认定四个条件、五个条件一定能判定三角形全等，其实不然。

（4）我们研究完了三角形全等，能否利用这种方法研究四边形、五边形全等的条件呢？

由于每增加一边，相应的元素就会多出两组，所以其实研究起来是非常繁琐的，但是我们可以将四边形的问题转化为三角形的问题来解决，这也体现了转化的思想。

（5）既然可以用全等来证明线段相等、角度相等，所以如何根据图形的特征构造全等就成为了我们下一个需要解决的问题，这也为后面继续学习《轴对称》埋下了伏笔。

（6）在本章当中有许多地方可以围绕“核心价值观”来进行展开。