现代控制理论试卷及答案-总结.doc
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2012年现代控制理论考试试卷
一、(10分,每小题1分)试判断以下结论的正确性,若结论是正确的,
(√)1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
(√)2.若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现。
(×)3.对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的。
(√)4.对线性定常系统,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。
(√)5.一个不稳定的系统,若其状态完全能控,则一定可以通过状态反馈使其稳定。
(×)6.对一个系统,只能选取一组状态变量;
(√)7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输入和输出无关;
(×)8.若传递函数存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的;
(×)9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该系统在任意平衡状态处都是稳定的;
(×)10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路,以电源电压u(t)为输入量,求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。
(10分)
解:
(1)由电路原理得:
二.(10分)图为R-L-C电路,设为控制量,电感上的支路电流和电容C上的电压为状态变量,电容C上的电压为输出量,试求:
网络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图。
解:
此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件,故有独立变量。
以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量,即令:
,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为:
从上述两式可解出,,即可得到状态空间表达式如下:
=+
三、(每小题10分共40分)基础题
(1)试求的一个对角规范型的最小实现。
(10分)
…………4分
不妨令
,…………2分
于是有
又,所以,即有
…………2分
最终的对角规范型实现为
则系统的一个最小实现为:
…………2分
(2)已知系统,写出其对偶系统,判断该系统的能控性及其对偶系统的能观性。
(10分)
解答:
…………………………2分
……………………………………2分
(3)设系统为
试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应(10分)。
解
……………………………..…….……..3分
……….….……….……..3分
….……..2分
.……….…………………..…..1分
………………..1分
(4)已知系统试将其化为能控标准型。
(10分)
解:
,.……..2分
.…….1分
.……..1分
.……..2分
能控标准型为.……..4分
四、设系统为
试对系统进行能控性及能观测性分解,并求系统的传递函数。
(10分)
解:
能控性分解:
能观测性分解:
传递函数为
五、试用李雅普诺夫第二法,判断系统的稳定性。
(10分)
方法一:
解:
原点是系统的唯一平衡状态。
选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数,即
当,时,;当,时,,因此为负半定。
根据判断,可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。
另选一个李雅普诺夫函数,例如:
为正定,而
为负定的,且当,有。
即该系统在原点处是大范围渐进稳定。
方法二:
解:
或设
则由得
可知P是正定的。
因此系统在原点处是大范围渐近稳定的
六、(20分)线性定常系统的传函为
(1)实现状态反馈,将系统闭环的希望极点配置为,求反馈阵。
(5分)
(2)试设计极点为全维状态观测器(5分)。
(3)绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图(4分)
(4)分析闭环前后系统的能控性和能观性(4分)
注明:
由于实现是不唯一的,本题的答案不唯一!
其中一种答案为:
解:
(1)
系统的能控标准型实现为:
……1分
系统完全可控,则可以任意配置极点……1分
令状态反馈增益阵为……1分
则有,则状态反馈闭环特征多项式为
又期望的闭环极点给出的特征多项式为:
由可得到……3分
(2)观测器的设计:
由传递函数可知,原系统不存在零极点相消,系统状态完全能观,可以任意配置观测器的极点。
……1分
令……1分
由观测器可得其期望的特征多项式为:
……4分
(3)绘制闭环系统的模拟结构图
第一种绘制方法:
……4分
(注:
观测器输出端的加号和减号应去掉!
不好意思,刚发现!
!
)
第二种绘制方法:
(4)闭环前系统状态完全能控且能观,闭环后系统能控但不能观(因为状态反馈不改变系统的能控性,但闭环后存在零极点对消,所以系统状体不完全可观测)……4分
A卷
一、判断题,判断下例各题的正误,正确的打√,错误的打×(每小题1分,共10分)
1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程(√)
2、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是唯一的(×)
3、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高(×)
4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数(×)
5、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不完全能控(×)
6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关(√)
7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系(×)
8、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关(√)
9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关(√)
10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那么表明该系统是不稳定的(×)
二、已知系统的传递函数为
试分别用以下方法写出系统的实现:
(1)串联分解
(2)并联分解
(3)直接分解
(4)能观测性规范型(20分)
解:
对于有
(1)串联分解
串联分解有多种,如果不将2分解为两个有理数的乘积,如,绘制该系统串联分解的结构图,然后每一个惯性环节的输出设为状态变量,则可得到系统四种典型的实现为:
则对应的状态空间表达式为:
需要说明的是,当交换环节相乘的顺序时,对应地交换对应行之间对角线的元素!
!
!
如的实现为:
则的实现为:
依次类推!
!
(2)并联分解
实现有无数种,若实现为只要满足
例如:
,则其实现可以为:
(3)直接分解
(4)能观测规范型
三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统。
现知,对应于两个不同初态的状态响应分别为
试据此定出系统矩阵A。
(10分)
解:
可得
四、已知系统的传递函数为
(1)试确定a的取值,使系统成为不能控,或为不能观测;
(2)在上述a的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性;
(3)若,写出系统的一个最小实现。
(15分)
解:
(1)因为
因此当或或时,出现零极点对消现象,系统就成为不能控或不能观测的系统
(2)可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一
存在零极相消,系统不能观
(3),则有
可写出能控标准形最小实现为
此问答案不唯一,可有多种解
五、已知系统的状态空间表达式为
(1)判断系统的能控性与能观测性;
(2)若不能控,试问能控的状态变量数为多少?
(3)试将系统按能控性进行分解;
(4)求系统的传递函数。
(15分)
解:
(1)系统的能控性矩阵为
,
故系统的状态不能控
系统的能观测性矩阵为
,
故系统的状态不能观测4分
(2),因此能控的状态变量数为11分
(3)由状态方程式
可知是能控的,是不能控的2分
(4)系统的传递函数为
只与能控子系统有关3分
六、给定系统
解李雅普诺夫方程,求使得系统渐近稳定的a值范围。
(10分)
七、伺服电机的输入为电枢电压,输出是轴转角,其传递函数为
(1)设计状态反馈控制器,使得闭环系统的极点为;
(2)设计全维状态观测器,观测器具有二重极点-15;
(3)将上述设计的反馈控制器和观测器结合,构成带观测器的反馈控制器,画出闭环系统的状态变量图;
(4)求整个闭环系统的传递函数。
(20分)
第二章题A卷
第一题:
判断题,判断下例各题的正误,正确的打√,错误的打×(每小题1分,共10分)
11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程(√)
12、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是唯一的(×)
13、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高(×)
14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数(×)
15、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不完全能控(×)
16、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关(√)
17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系(×)
18、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关(√)
19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关(√)
20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那么表明该系统是不稳定的(×)
第二题:
已知系统的传递函数为,试分别用以下方法写出系统的实现:
(5)串联分解(4分)
(6)并联分解(4分)
(7)直接分解(4分)
(8)能观测性规范型(4分)
(9)绘制串联分解实现时系统的结构图(4分)
解:
对于有
(3)串联分解
串联分解有三种
对应的状态方程为:
(4)并联分解
实现有无数种,其中之三为:
(3)直接分解
(4)能观测规范型
(10)结构图
第二章题B卷
第一题:
判断题,判断下例各题的正误,正确的打√,错误的打×(每小题1分,共10分)
1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为(√)
2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述,而传递函数则只是对系统的一种外部描述(√)
3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化(×)
4、对于一个线性系统来说,经过线性非奇异状态变换后,其状态能控性不变(√)
5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动(×)
6、能观(能控)性问题可以转化为能控(能观)性问题来处理(√)
7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统(√)
8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象,则视状态变量的选择不同,系统或是不能控的或是不能观的(√)
9、对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数是唯一的(×)
10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的,则称该系统是外部稳定的(√)
第二题:
求以下RLC网络系统的状态空间模型,并绘制其结构图。
取电压e_i为输入,e_o为输出。
其中R1、R2、C和L为常数。
第二题图
答案:
解:
(状态变量可以另取)
定义状态变量:
x1为电阻两端电压v,x2为通过电感的电流i。
输入u为e_i,输出y为e_o。
使用基尔霍夫电流定理列R1和R2间节点的电流方程:
使用基尔霍夫电压定理列出包含C、R2、L回路的电压方程:
最后,输出电压的表达式为:
得到状态空间模型:
结构图