空间立体几何点线面判断与证明.docx

资源描述

空间立体几何点线面判断与证明.docx

《空间立体几何点线面判断与证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间立体几何点线面判断与证明.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

空间立体几何点线面判断与证明.docx

空间立体几何点线面判断与证明

常州知典教育一对一教案

学生：

年级：

学科：

数学授课时间：

月日授课老师：

赵鹏飞

课题

空间立体几何点线面判断与证明

教学目标（通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度）

掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以及证明面面垂直，面面平行等方法和步骤，了解关于几何体中一些基本的计算和比值。

本节课考点及单元测试中所占分值比例

15%

学生薄弱点，需重点讲解内容

证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分，使用性质时没有给出应有的条件导致扣分，计算的失误使得自己失分。

课前检查

上次作业完成情况：

优□良□中□差□

建议:

教

学

过

程

﹃

讲

义

部

分

﹄

考向1　空间中点、线、面位置关系的判断

1．平面的基本性质的应用

（1）公理1：

证明“点在面内”或“线在面内”．

（2）公理2及三个推论：

证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共面”．

（3）公理3：

确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”．

要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．

2．空间中点、线、面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

相交关系

独有关系

（1）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

（2）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【解析】　

（1）对于选项A，m与n还可以相交或异面；

对于选项C，还可以是n⊂α；

对于选项D，还可以是n∥α或n⊂α或n与α相交．

（2）对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线，

∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C.

【答案】　

（1）B　

（2）C

【点拨】　解题

（1）根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题

（2）时要注意充分利用正方体（或长方体）模型辅助空间想象．

解决空间位置关系问题的方法

（1）解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．

（2）解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正（长）方体模型来解决问题．

考向2　异面直线所成的角

1．两条异面直线所成的角

过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

（2）反证法：

证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．

（1）（2014·大纲全国，4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

（2）如图，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B

两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

①证明：

AB⊥平面ODE；

②求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

【解析】　

（1）如图，取AD的中点F，连接CF，EF，则EF∥BD，

∴∠CEF即为异面直线CE与BD所成的角．

设正四面体的棱长为2，则CE＝CF＝

，EF＝

BD＝1.

由余弦定理得cos∠CEF＝

＝

∴CE与BD所成角的余弦值为

.故选B.

（2）①证明：

如图，∵DO⊥α，AB⊂α，∴DO⊥AB.

连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．

又E是AB的中点，∴DE⊥AB.

而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

②因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是异面直线BC与OD所成的角．

由①知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2.易知DE＝

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝

＝

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

【点拨】　解题

（1）的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线．解题

（2）时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里．特别为直角三角形．

求异面直线所成角的方法

（1）作：

利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．

（2）证：

证明作出的角为所求角．

（3）求：

把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．

两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

考向3　线面平行的判定与性质

直线与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判

定

理

不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简记为线线平行⇒线面平行）

⇒l∥α

性

质

定

理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为线面平行⇒线线平行）

⇒a∥b

直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法．

（2014·北京，17，14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥EABC的体积．

【思路导引】　

（1）利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；

（2）取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；（3）根据题中数据代入公式计算即可．

【解析】　

（1）证明：

在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

（2）证明：

如图，取AB中点G，连接EG，FG.

因为G，F分别是AB，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG＝

AC.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，E为A1C1的中点，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1.

所以四边形FGEC1为平行四边形．

所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.

（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝

＝

所以三棱锥EABC的体积

V＝

S△ABC·AA1＝

×1×2＝

1.证明线面平行问题的思路

（一）

（1）作（找）出所证线面平行中的平面内的一条直线；

（2）证明线线平行；

（3）根据线面平行的判定定理证明线面平行．

2．证明线面平行问题的思路

（二）

（1）在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；

（2）利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；

（3）证明所作平面与所证平面平行；

（4）转化为线面平行．

（2013·江苏，18，13分）如图①，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△

ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥ABCF，其中BC＝

（1）证明：

DE∥平面BCF；

（2）证明：

CF⊥平面ABF；

（3）当AD＝

时，求三棱锥FDEG的体积．

解：

（1）证明：

在等边三角形ABC中，AD＝AE，

∴

＝

，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，

∴DE∥BC.

∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，

∴DE∥平面BCF.

（2）证明：

由图①，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，

∴AF⊥BC，在三棱锥中仍有AF⊥CF，

BF＝CF＝

∵在三棱锥ABCF中，BC＝

，

∴BC2＝BF2＋CF2，

∴CF⊥BF.

又∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.

（3）由

（1）可知GE∥CF，结合

（2）可得GE⊥平面DFG.

∴VFDEG＝VEDFG

＝

·DG·FG·EG

＝

考向4　面面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判

定

理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为线面平行⇒面面平行）

⇒α∥β

性

质

定

理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

⇒a∥b

平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行．

如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）求三棱柱ABDA1B1D1的体积．

【解析】　

（1）证明：

由题设知，BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，

∴BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1，

∴BD∥平面CD1B1.

∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1，

∴A1B∥平面CD1B1.

又∵BD∩A1B＝B，

∴平面A1BD∥平面CD1B1.

（2）∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高．

又∵AO＝

AC＝1，AA1＝

，

∴A1O＝

＝1.

又∵S△ABD＝

＝1，

∴VABDA1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.

【点拨】　解题

（1）需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，

通过取特殊四边形来完成证明；解题

（2）的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高．

1.判定面面平行的四个方法

（1）利用定义：

即判断两个平面没有公共点．

（2）利用面面平行的判定定理．

（3）利用垂直于同一条直线的两平面平行．

（4）利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．

2．平行问题的转化关系

（2014·十校联考，18，12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：

如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED.

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点．

∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，

∴A1B∥ED.

∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．

又D1是B1C1的中点，∴D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴BD1∥C1D.

又A1B∩BD1＝B，DE∩DC1＝D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

考向5　线面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判

定

理

一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性

质

定

理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面

ABCD，AB＝2，∠BAD＝

，M为BC上一点，且BM＝

（1）证明：

BC⊥平面POM；

（2）若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．

【思路导引】　

（1）由余弦定理、勾股定理等知识先证OM⊥BM，再由线面垂直的判定定理证明；

（2）将底面四边形ABMO分为△ABO与△MBO来求面积，根据

（1）中结果，利用勾股定理、余弦定理求出PO，代入棱锥的体积公式求解．

【解析】　

（1）证明：

如图，连接OB，

因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，所以AO⊥OB.

因为∠BAD＝

，

故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin

＝1.

又因为BM＝

，且∠OBM＝

，

在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM

＝12＋

－2×1×

×cos

＝

所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.

又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.

又OM⊂平面POM，PO⊂平面POM，OM∩PO＝O，

所以BC⊥平面POM.

（2）由

（1）可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2·cos

＝

设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，

故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.

由△POM也是直角三角形，

故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋

如图，连接AM.在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋

－2×2×

×cos

＝

由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，

则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋

＝

，

得a＝

，a＝－

（舍去），即PO＝

此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB

＝

·AO·OB＋

·BM·OM

＝

×1＋

＝

所以四棱锥PABMO的体积

VPABMO＝

·S四边形ABMO·PO＝

＝

1.证明直线与平面垂直的一般步骤

（1）找与作：

在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直．

（2）证：

证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直．

（3）用：

利用线面垂直的判定定理，得出结论．

2．判定线面垂直的四种方法

（1）利用线面垂直的判定定理．

（2）利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

（3）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．

（4）利用面面垂直的性质定理．

考向6　面面垂直的判定与性质

平面与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判

定

理

一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性

质

定

理

两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

（2014·江苏，16，14分）如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

【思路导引】　

（1）利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；

（2）要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直．

【证明】　

（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，

所以DE∥PA.

又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，

所以直线PA∥平面DEF.

（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝

PA＝3，EF＝

BC＝4.

又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.

又DE⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABC.

1.面面垂直证明的两种思路

（1）用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；

（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．

2．垂直问题的转化关系

考向7　线面角、二面角的求法

1．线面角

（1）当l⊥α时，线面角为90°.

（2）当l∥α或l⊂α时，线面角为0°.

（3）线面角θ的范围：

0°≤θ≤90°.

2．二面角

（1）如图，二面角αlβ，若①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角αlβ的平面角．

（2）二面角θ的范围：

0°≤θ≤180°.

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝

，AD＝2，PA＝PD＝

，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：

EF∥平面PAB.

（2）若二面角PADB为60°，

①证明：

平面PBC⊥平面ABCD；

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

【思路导引】　

（1）因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．

（2）①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．

【解析】　

（1）证明：

如图，取PB中点M，连接MF，AM.

因为F为PC中点．

故MF∥BC且MF＝

BC.

由已知有BC∥AD，BC＝AD.

又由于E为AD的中点，

因而MF∥AE且MF＝AE，

故四边形AMFE为平行四边形，

所以EF∥AM.

又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，

所以EF∥平面PAB.

（2）①证明：

如图，连接PE，BE.

因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD的中点，

故PE⊥AD，BE⊥AD，

所以∠PEB为二面角PADB的平面角．

在△PAD中，由PA＝PD＝

，AD＝2，可解得PE＝2.

在△ABD中，由BA＝BD＝

，AD＝2，可解得BE＝1.

在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，

由余弦定理，可解得PB＝

，

从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.

又BC∥AD，BE⊥AD，

从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.

又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD.

②如图，连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，

所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．

由PB＝

及已知，得∠ABP为直角．

而MB＝

PB＝

，可得AM＝

，故EF＝

又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝

＝

所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为

1.求空间角的三个步骤

（1）找：

即找出相关的角；

（2）证：

即证明找出的角即为所求的角；

（3）计算：

即通过解三角形的方法求出所求角．

2．空间角的找法

（1）线面角

找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足．

（2）二面角

二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：

①定义法；②垂面法．其中定义法是最常用的方法．

课堂练习

巩固练习：

1.如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.

（1）求证：

AM⊥PD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

2.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．

（1）证明：

直线MN∥平面SBC；

（2）证明：

平面SBD⊥平面SAC.

3.如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．

（1）求证：

平面OEF∥平面APD；

（2）求证：

CD⊥平面POF；

（3）若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求四棱锥ECFO的体积

错题回顾

1.解：

（1）证明：

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB.

∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD.

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.

∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.

∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.

（2）由

（1）知，AM⊥PD，又PA＝AD，

则M是PD的中点．

在Rt△PAD中，AM＝

，

在Rt△CDM中，MC＝

＝

，

∴S△ACM＝

AM·MC＝

设点D到平面ACM的距离为h，由VDACM＝VMACD，

得

S△ACM·h＝

S△ACD·

PA.

解得h＝

设直线CD与平面ACM所成的角为θ，

则sinθ＝

＝

，

∴cosθ＝

∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为

2.证明：

（1）如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.

∵M为SA的中点，

故ME∥AB，且ME＝

AB.

∵N为CD的中点，

故CN＝

AB，从而ME∥CN，且ME＝CN，

∴四边形MECN是平行四边形，

∴MN∥EC.

又EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，

∴直线MN∥平面SBC.

（2）如图，连接AC，BD相交于点O.

∵SA⊥底面ABCD，故SA⊥BD.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.

又SA∩AC＝A，故BD⊥平面SAC.

又BD⊂平面SBD，

∴平面SBD⊥平面SAC.

3.解：

（1）证明：

因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，

所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.

因为AB＝BC，

所以O是AC中点．又点E是PC的中点，

所以OE∥PA，PA⊂平面PAD.

所以OE∥平面PAD.

同理OF∥平面PAD.

又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF，

所以平面OEF∥平面PAD.

（2）证明：

因为OF∥AD，AD⊥CD，

所以OF⊥CD.

又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，

所以PO⊥CD.

又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.

（3）因为∠

展开阅读全文