三角形内角和定理.docx

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三角形内角和定理

《三角形内角和定理》

教学设计及反思

设计理念

尊重学生已有的知识和学习经验，倡导自主、合作、探究的学习方式。

教师在合作学习的过程中通过类比问题引导帮助学生搭建梯子排除障碍，在倾听与交流中成为学习活动的参与者、引导者。

教材分析

内容解析：

三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“几何与图形”的知识基础，它从角的方面刻画了三角形的特征，定理的探究体现了几何知识的探究思路“由实验到论证”的过程，体现了证明的必要性。

三角形内角和定理的证明以平行线的知识和平角的定义为基础。

定理的验证过程不仅体现了证明的必要性，而且在验证过程中获得了添加辅助线的思路和方法。

地位解析

内容地位解析：

①本节的知识是延续了小学知识的基础上加深了对知识的认知深度和广度，通过本节的内容学习使体会到知识的认知结构是螺旋上升的；

②本节的知识的证明是以平行线的性质和平角定义为基础推出来得，体现了学习数学的一个重要方法“温古而知新，对学生为以后学习新知识时，该如何思考？

提供了一个参考方式；

③”三角形内角和定理“的证明过程中，学生第一次学习通过作辅助线来解问题。

通过作辅助线来解问题是我们以后解决证明问题的一种重要方式，例如；“与角平分线性质和判定有关的题”、“四边形的证明”等等，本节课中，学生对如何通过通过作辅助线来解问题的理解的好了对以后解与作辅助线有关的题带来帮助。

教学学情诊断分析

【共性特征】

1.认知起点

首先分析学生的认知基础，在七年级学生学习了平行线的性质和平角定义，所以对学生来说基础知识储备比较充足不存在知识方面的障碍来证明三角形内角和定理；

2.心理特征

八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有简单动手能力，喜欢尝试，获得外界评价的意识强。

但害怕失败，抽象思维能力欠缺

3.认知障碍

第一学生添加辅助线基础。

证明三角形内角和定理需要添加辅助线，这对学生来说第一次遇到通过添加辅助线解决问题，学生会感到困难。

学生会在学习中第一次听到辅助线一名词，学生的疑问为什么叫辅助线？

为什么添加辅助线？

添加辅助线的依据是什么？

等等；

第二分析学生的动手操作能力。

本节知识的证明是在学生亲自动手操作实验过程中一方面发现实验操作的局限性问题（视觉误差、度量误差、实验的有限性），另一方面从剪和拼中感受启发，为进一步证明内角和定理提供思路和方法。

所以学生的实验操作能力的好坏和以实验操作感悟到的知识是解决问题的钥匙。

良好的实验操作能力不仅节约课堂时间，提高课堂学习效率，否则，学生学生将大量的时间浪费在操作过程中没有时间去思考和感悟，教师的课堂教学效率底下，甚至完不成教学任务。

【个性特征】

我班特征：

本班大部分学生学习成绩不错，特别是男生占比较大，所以在数学方面思维较活跃，分析问题和解决问题能力较强，但也存在以下问题：

1、许多学生互相交流意识不强，个人英雄主义较强；2、学生之间两极分化严重，给教学带来挑战（如何做到两头兼顾）。

3、有些学生的实验操作能力较差，学生将大量的时间浪费在操作过程中没有时间去思考和感悟，教师的课堂教学效率底下，甚至完不成教学任务。

基于以上问题的分析，制定以下教学目标和重难点。

教学目标：

知识技能：

探索并证明三角形内角和定理；能运用三角形内角和定理解决简单问题。

达成目标的标志首先是学生能通过度量、剪拼、等试验进一步感知三角形内角和定理，并在操作过程中发现其局限性，进而感知证明的必要性；在实验过程中发现辅助线，感知辅助线的作用，结合应用平行线的性质证明内角和定理；其次是：

学生能应用定理解决简单的与三角形内角有关的计算和证明问题。

过程与方法：

通过使学生经历“实验----思考----交流----反思----总结----应用”的过程，体会在数学学习中“温古而知新”的方法，体会应用“转化思想”感悟辅助线的美妙。

达成目标

（2）的标志使学生明白本节知识点的证明是以平行线的性质和平角定义为基础推出来得，并明白以后很多新知识都是在以有的知识为基础来推出即“温古而知新”；通过让学生反思实验过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，体会辅助线在证明中的作用。

情感态度：

通过使学生经历探索并证明三角形内角和定理，培养学生的探究能力和实践操作能力，学会与他人合作交流。

达成目标的标志首先是让每个学生充分参与到教学环节中，调动每一双手和每一个大脑，给学生时间进行实验操作、进行思考（思考时教师以恰当的问题来引导学生，教师要把控学生的思维节奏和方向）；其次是让学生之间进行有效的交流（交流要有目标和方法），集合大家的思想，发现闪光点并给予肯定和推广。

教学重点、难点及突破策略

教学重点：

探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性

教学难点：

1、为什么要添加辅助线？

2、如何添加辅助线，依据是什么？

突破策略

1、以问题为线索，通过解决问题探究寻找解决问题的途径

2、通过学生亲自操作实验过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路

3、通过集合大家的思想，发现闪光点突破难点

教法、学法分析

根据所学知识直观性的特点，我将采用以下教学方法：

1、诱思导学;2、多媒体展示;

3、类比探究;4、讲练结合

《数学课程标准》指出：

学生应当有足够的时间和空间经历观察、猜测、验证、计算、推理等活动过程。

因此，我注重以下学习方法的指导：

1、类比探究2、合作交流

3、观察操作4、抽象概括5、总结归纳。

教法特点及预期效果分析

1.探索并证明内角和定理的教法特点及预期效果分析

实验操作一：

度量

教法特点：

学生动手操作和教师的追问

追问1:

您得到了什么结果？

你发现了什么?

为什么呢？

追问2:

您还有什么方法吗？

预期效果分析：

通过学生的操作，发现自己的答案不是180度

（学生又不敢回答发现的问题，要给学生鼓励直面发现的问题），再通过教师的追问使学生知道自己的发现是没错的，使学生产生为什么的疑惑，进而对实验的正确性产生疑惑。

实验操作二：

剪拼图--折叠

---试一试，看看有几种剪拼的方法？

教法特点：

实验操作---思考----感悟和教师的追问

预期效果分析：

通过让学生亲自动手操作：

一方面发现问题（实验的局限性和问题），进而了解证明的必要性；另一方面从剪和拼中感受启发，为进一步证明内角和定理提供思路和方法。

）对通过剪拼得到的图对我们的得到平行线及由次联想到作辅助线有用的剪拼方法给予肯定，并向全班推荐，对不容易形成证明思路的承认，不推广，目的是引导学生的思路，进而引导学生联想到辅助线是什么叫辅助线？

为什么添加辅助线？

添加辅助线的依据是什么？

等等；

2、“三角形内角和定理”的证明过程的教法特点及预期效果分析

教法特点：

学生思考-----交流-----教师引导

预期效果分析：

通过让学生反思实验过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，体会辅助线在证明中的作用。

通过让学生严格的逻辑推理证明“三角形内角和定理”,一方面掌握“三角形内角和定理”的证明思路；一方面感悟几何证明的意义，体会证明过程的规范性

3、“三角形内角和定理”的应用的教法特点及预期效果分析

教法特点：

学生独立解答---教师展演学生的解答---教师评讲

预期效果分析：

应用“三形内角和定理”解决相关问题，使学生进一步巩固定理内容。

鼓励学生从不同角度思考问题，体会证明内角和定理的根本思路是什么？

通过让学生展示鼓励创新和积极性，提高学习兴趣

教学过程

问题与情境

师生行为

设计意图

创设情境、引入新课

“内角三兄弟之争”

角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。

可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：

“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！

”“不行啊！

”老大说：

“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？

”老二很纳闷。

同学们，你们知道其中的道理吗？

如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?

想一想:

任意三角形的三个内角之和也为180度吗?

设计意图:

创设符合学生学习水平和认知特点的问题情境，通过问题使学生产生解决困难，进而激发学生的好奇心、引发学生的求知欲并引入本节课题，使学生明白为什么要学习本节课？

合作交流、探索新知

探究活动一1.探索并证明内角和定理

问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，

你还记得是怎么发现这个结论的吗？

请大家利用手中的三角形纸片进行探究

师生交流：

学生动手操作，汇报结果

方法：

度量追问1:

您得到了什么结果？

你发现了什么?

为什么呢？

追问2:

您还有什么方法吗？

师生交流：

学生回答，（答案肯定都不是180度，学生又不敢回答机子发现的问题，要给学生鼓励直面发现的问题）

方法：

剪拼图追问3：

试一试，看看有几种剪拼的方法？

方法：

折叠法

追问4　通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的，但形状不同的三角形有多少个？

我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？

我们是否都去通过度量、剪拼图或折叠的方法验证三个内角和等于180°呢？

师生活动：

小组交流，达成共识；

（设计意图：

通过让学生亲自动手操作：

一方面发现问题（实验的局限性和问题），进而了解证明的必要性；另一方面从剪和拼中感受启发，为进一步证明内角和定理提供思路和方法。

）对通过剪拼得到的图对我们的得到平行线的给与肯定，并推荐给大家；对不容易形成证明思路的承认，不推广。

问题2　问题：

有什么方法可以得到１８０°的角？

１．平角的度数是１８０°２．两直线平行，同旁内角的和是１８０°

你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？

师生活动：

学生思考（应给学生充分时间来思考，可展开交流）

追问1　在方法三的剪拼中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？

师生活动：

学生回答----直线l与边BC平行

追问2　在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？

你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？

师生活动：

学生思考（应给学生充分时间来思考，可展开交流），然后回答---通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论

（设计意图：

通过让学生反思实验过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，体会辅助线在证明中的作用。

）

追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？

师生互动：

学生回答，教师板书，完成证明过程

（完成证明过程后，教师总结：

经过证明正确的结论叫定理，我们证明得到的就叫“三角形内角和定理”）

（设计意图：

通过让学生严格的逻辑推理证明“三角形内角和定理”,一方面掌握“三角形内角和定理”的证明思路；一方面感悟几何证明的意义，体会证明过程的规范性）

追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？

你认为证明内角和定理的根本思路是什么？

你能用其他方法证明此定理吗？

师生活动：

学生思考，展示自己的做辅助线的方法和证明思路。

教师展示一些作辅助线的方法。

设计意图:

1、从学生已有知识经验出发，建立新旧知识之间的联系；2、以问题为线索，使学生找到探究性质的途径；3、通过让学生经历思考、观察、探究、猜想、验证、归纳的学习过程，培养学生的数学学习技能、数学思想和数学素养；4、鼓励学生从不同角度思考问题，体会证明内角和定理的根本思路是什么？

通过让学生展示鼓励创新和积极性，提高学习兴趣

应用新知、例题讲解

例1

如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，

AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．

师生活动：

（1）分析解题思路：

求∠ADB的度数，

可根据内角和定理，只求出∠DAB度数即可。

（2）学生独立完成；（3）师生共同完成解题过程。

例2如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。

从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？

设计意图:

由浅入深例题练习帮助学生进一步理解不等式的性质及性质的应用，为下一节利用不等式性质解不等式打基础。

归纳总结、知识梳理

（1）本节课你学到了什么？

（小组交流合作）

（2）你是如何证明该定理，思路和方法是什么？

（小组交流合作）

（3）我们在研究三角形内角和定理的的过程中你有什么感想？

．（独立思考、小组交流合作）

师生行为:

鼓励学生大胆表达想法和见解.不足之处由其他学生补充完善，教师应重点关注不同层次的学生对本节知识的理解、掌握程度.使每个学生有获得感

设计意图:

让学生及时回顾梳理本节课所学的知识．让学生看到自己的进步，激励学生，使学生自己在今后的学习中会不断进步。

学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法使学生对知识由浅层认识向有一个更生深层次的认识转化。

同时也是给教者一个提高反思的机会。

随堂演练复习巩固

1、　如图，说出各图中x的度数

2、　如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，

从B处观测C处的仰角∠CBD=45°．从C处观测A，

B两处的视角∠ACB是多少？

综合运用

3、如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,

∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度数

4、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=

∠B=

∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？

如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．

设计意图:

学生利用当时所学的知识解决问题，巩固本节知识

通过分层的练习：

一、考察学生对内角和定理的掌握和理解能力，考察利用三角形内角和定理的应用能力；二、使学习水平不同层次的学生都有一定的获得感、成就感；三、练习的设计由简单到复杂，符合学生的认知特点；四、培养学生的转化思想的使用意识

布置作业

基础题：

教科书习题11.2第1、3、7题

通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对教学进度和教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给予适时的指导。

教学反思：

一、巧妙引导，自主、合作、探究是今天教学的优点。

数学课程标准指出：

学生有效的学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

这节课的主体设计正体现了新课改的主要理念，让学生成为学习的主体，让学生在主动的探索和与他人的合作探究中由旧的知识中得出新的知识，完成学生知识结构的更新和重构，在这节课中，我让学生们在自己观察，自我猜想，自我尝试，自我验证中得出结论，而最后的证明工作也留给学生，让学生们自已总结操作实验的规律，，充分地体现了建构主义的自主、自发的理念。

二、不足和遗憾之处

1、实验操作时间过多导致学生解决实际问题时间少

在内角和定理的实验操作过程中，组织学生课堂活动不紧凑，有实验总结规律证明内角和定理过度不完善，花费较多时间，在解决实际问题时时间所剩无几，只能简单的应用所学知识解决一些较为简单的问题，学生灵活运用知识的能力没有很好地体现出来。

2、教学过程中，教师的教态和语言不标准、不规范，习惯性口语较多；由此可见，这是平时上课过程中的忽视所导致的。

3、教学过程中教师自我角色转换不明显，教师上课讲的时间太多，包办太多，留给学生自主学习、自主探究时间太对，学生的主体地位没突出。