高中文科数学知识点总结.docx
《高中文科数学知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中文科数学知识点总结.docx（106页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中文科数学知识点总结
高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.
（4）集合的表示法
1自然语言法：
用文字叙述的形式来描述集合.
2列举法：
把集合中的元素一一列举岀来，写在大括号内表示集合
3描述法：
｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素•
4图示法：
用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
1含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合
叫做空集（）.
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
AB
（或
BA）
A中的任一元素都属
于B
（1）AA
（2）A
⑶若AB且BC，则AC⑷若AB且BA，则AB
（A（B））打
或
真子集
AB
（或BA）
AB，且b中至
少有一元素不属于A
（1）A（A为非空子集）
⑵若AB且BC，则AC
集合
相等
AB
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
（1）AB
（2）BA
（7）已知集合A有n（n1）个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集,
它有2n2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
AIB
{x|x代且
xB}
（1）AIAA
（2）AI
（3）AIBA
AIBB
&B）
并集
AUB
{x|x代或
xB}
（1）AUAA
（2）AUA
（3）AUBA
AUBB
（QB）
补集
euA
{x|xU,且xA}
1AI©A）2AU（eUA）U
痧（AlB）（uA）U（?
jB）
痧（AUB）（uA）IOUB）
"wo
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
|x|a（a0）
{x|axa}
|x|a（a0）
x|xa或xa}
|axb|c,|axb|c（c0）
把axb看成一个整体，化成|x|a，
|x|a（a0）型不等式来求解
（2）—元二次不等式的解法
E1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
1设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:
AB.
2函数的三要素：
定义域、值域和对应法则.
3只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
（2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b];满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做（a,b）；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b），（a,b]；满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,）,（a,）,（,b],（,b）.
注意：
对于集合｛x|axb｝与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而后者必须
ab.
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
1f（x）是整式时，定义域是全体实数.
2f（X）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.
3f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
4对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.
5ytanx中，xk（kZ）.
2
6零（负）指数幂的底数不能为零.
7若f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数
的定义域的交集.
8对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：
若已知f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]
的定义域应由不等式ag（x）b解岀.
9对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
10由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的•事实上，如果在函数的值域中存在一个
最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值•因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
提问的角度不同•求函数值域与最值的常用方法：
1观察法：
对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.
2配方法：
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.
3判别式法：
若函数yf（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
2
a（y）xb（y）xc（y）0，则在a（y）0时，由于x,y为实数，故必须有
b2（y）4a（y）c（y）0,从而确定函数的值域或最值.
4不等式法：
利用基本不等式确定函数的值域或最值.
5换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题.
6反函数法：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
7数形结合法：
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
8函数的单调性法.
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法：
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：
就是列岀表格来表示两个变量之间
的对应关系•图象法：
就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
（6）映射的概念
1设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:
AB.
2给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB•如果元素a和元素b对应，那么我们把元素
b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
2
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当xi函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值xi、X2，当xivX2时，都有f（xi）>f（X2）,那么就说f（x）在这个区间上是减函数.
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增）
（4）利用复合函数
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为
增函数，减函数减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数yf［g（x）］，令ug（x），若yf（u）为增，ug（x）为增，则
yf［g（x）］为增；若yf（u）为减，ug（x）为减，则yf［g（x）］为增；若yf（u）为
增，ug（x）为减，则yf［g（x）］为减；若yf（u）为减，ug（x）为增，则y［
yf［g（x）］为减.
a
（2）打"/函数f（x）x（a0）的图象与性质
X
f（x）分别在（，、、a］、［、、a,）上为增函数，分别在
［.a,0）、（0,\a］上为减函数.
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
对于任意的xI，都有f（x）M;
（2）存在x0I，使得f（Xo）M.那么，我们称M是函数
fmax（x）M.
②一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的xI，都有
f（x）m；
（2）存在XoI，使得f（Xo）m.那么，我们称m是函数f（x）的最小值，记作
fmax（X）m.
【132】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性质
定义
图象
判定方法
函数的
奇偶性
如果对于函数f（x）定义域内任意一个X，都有f（—x）=—f（x）..，那么函数f（x）叫做奇函数.
¥
-a
i
（a.f（a））
ZT.
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点对称）
jy
（-■a.f
Q7H
如果对于函数f（x）定义域内任意一个X,都有f（—x）=f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数.
y
（-a.f
（a.f（a））
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于y轴对称）
-ao
ast
2若函数f（x）为奇函数，且在x0处有定义，则f（0）0.
3奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.
4在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或
奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域；②化解函数解析式；
3讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象.
①平移变换
yf（x）
h0,左移h个单位
h0,右移|h|个单位
y
f（x
h）
yf（x）
k0,上移k个单位
k0,下移|k|个单位
y
f（x）
k
②伸缩变换
yf（x）
01,伸
1,缩yf（
x）
yf（x）
0aT伸缩yAf（x）
③对称变换
yf（x）
X轴
xyf（x）
yf（x）y
'由yf（x）
y
f（x）
原点
yf（x）
yf（x）
直线yx
y
f1（x）
y
f（x）
去掉y轴左边图象
保留y轴右边图象，并作其关于
y轴对称图象y
f（|x|）
y
f（x）
保留X轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y
|f（x）|
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.
第二章基本初等函数（I）
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幕的运算
（1）根式的概念
①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根•当n是奇数时,
a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时,
正数a的正的n次方根用符号：
a表示，负的n次方
根用符号：
a表示；o的n次方根是o；负数
a没有n次方根.
②式子na叫做根式,
这里n叫做根指数,
a叫做被开方数•当n为奇数时，a为任意实数；当
n为偶数时，a0.
（2）
③根式的性质：
分数指数幂的概念
（n.a）n
0）
0）
①正数的正分数指数幂的意义是:
m
am
n为奇数时，
0,m,nN
a；当n为偶数时，
1）.0的正分数指数
幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
（斗
a
（y（a
0,m,
nN,且n1）.0
的负分数指数幂没有意义.
分数指数幂的运算性质
注意口诀:
底数取倒数，指数取相反数.
①aras
ars（a0,r,sR）
②（ar）sars（a0,r,s
R）
③（ab）r
arbr（a0,b0,rR）
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数yj
X/a（a
0且a
1）叫做指数函数
a1
0a1
1x八■■
yya
/
\yay
图象
/
\
y1/
y1（0,1）
r
（0,1）
O
x
0x
定义域
R
值域
（0,）
过定点
图象过定点
（0,1）
，即当x
0时，y1.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
ax1（x0）
ax1（x0）
函数值的
变化情况
a1（x0）
a1（x0）
x
a1（x0）
x
a1（x0）
a变化对图象的影响
在第一象限内，a越大图象越高;
在第二象限内，
a越大图象越低.
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若axN（a0,且a
1），则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数,
N叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化：
xlogaNaxN（a0,a1,N0）.
（2）几个重要的对数恒等式
logal0，logaa1，logaabb.
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN，即Iog10N；自然对数：
InN，即logeN（其中e2.71828…）.
（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0,那么
①加法：
logaMlogaNloga（MN）
③数乘：
nlogaMlogaMn（nR）
②减法：
logaM
MlogaNloga
N
厂、logaN
④a
N
⑤叽皿blogaM（b0,n
R）⑥换底公式：
logaN
logbN
logba
（b0,且b1）
【222】对数函数及其性质
（5）对数函数
数称函名
对数函数
定义
函数ylogax（a0且a
1）叫做对数函数
a1
0a1
x1
八x1
yylogax
1—
y；ylogax
I■
图象
z「
J\；（1,o）,
Of（1,0）x
定义域
（0,）
值域
R
过定点
图象过定点（1,0），即当x
1时，y0•
奇偶性
非奇非偶
单调性
在（0,）上是增函数
在（0,）上是减函数
gx0（x1）
logax0（x1）
函数值的
gx0（x1）
logax0（x1）
变化情况
gx0（0x1）
logax0（0x1）
a变化对图象的影响
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，
a越大图象越靠高.
（6）反函数的概念
设函数yf（x）的定义域为A，值域为C，从式子yf（x）中解出x，得式子x（y）•如
果对于y在C中的任何一个值，通过式子x（y）,x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式
子x（y）表示x是y的函数，函数x（y）叫做函数yf（x）的反函数，记作xf1（y），
习惯上改写成yfYx）.
（7）反函数的求法
1确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf（x）中反解出xf1（y）；
③将xf1（y）改写成yf1（x），并注明反函数的定义域.
（8）反函数的性质
1原函数yf（x）与反函数yf1（x）的图象关于直线yx对称.
2函数yf（x）的定义域、值域分别是其反函数yf1（x）的值域、定义域.
'1
3若P（a,b）在原函数yf（x）的图象上，贝Up（b,a）在反函数yf（x）的图象上.
4一般地，函数yf（x）要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幕函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数.
（2）幂函数的图象
一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
②过定点：
所有的幂函数在（0,）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.
③单调性：
如果0，则幂函数的图象过原点，并且在［0,）上为增函数•如果0，则幂函数
的图象在（0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.
4奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数•当q（其中p,q互
P，
_q_q
质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxpg
是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx°是非奇非偶函数.
5图象特征：
幂函数yx,x（0,），当1时，若Ox1，其图象在直线yx下方，若
x1，其图象在直线yx上方，当其图象在直线yx下方.
（1）二次函数解析式的三种形式
1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，1补充知识〗二次函数
①一般式：
f（x）ax2bxc（a0）②顶点式:
2
f（x）a（xh）k（a0）③两根式:
f（x）a（xx1）（xx2）（a0）
（2）求二次函数解析式的方法
1已知三个点坐标时，宜用一般式.
2已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
f（x）更方便.
（3）二次函数图象的性质
2
①二次函数f（x）axbx
c（a0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为
b
x,顶点坐标是
2a
b4acb2）
.
（2a'
4a
②当a
0时，抛物线开口向上,
函数在（
b
——］上递减，在［
2a
2a,
）上递增，当
fmin（x）
；当a
4a
0时，抛物线开口向下，函数在（
上递增，在［
b
4acb2
递减，当
勺x
时，
fmax（x）
2a
4a
③二次函数f（x）ax2bx
2
c（a0）当b4ac0时，图象与x轴有两个交点
Mi（Xi,0）,M2（X2,0）,|MiM2||Xi
7
|a|
（4）一元二次方程ax2bxc
0（a0）根的分布
Xi,X2，且Xi
X2•令
f（x）ax2
bxc,从以下四个方面来分析此类问题:
①开口方向:
a②对称轴位置：
x
2a
③判别式：
①k④端点函数值符号.
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.
2
设一元二次方程axbxc0（a0）的两实根为
2xi
④ki
或f（k2）=0这两种情况是否也符合
2
K1
⑥ki
（5）二次函数f（x）ax2bxc（a
0）在闭区间［p,q］上的最值
1
m，令Xo（pq）.
2
设f（x）在区间［p,q］上的最大值为M，最小值为
（i）
①若—
2a
P，则
0时（开口向上）
mf（p）
②若
b
2a
q，则mf（
③若
匕q，则
2a
mf（q）
（n）当a0时（开口向下）
K
①若一p，则Mf（p）②若2a
b
2a
q，则Mf（
③若
卫q，则
2a
Mf（q）
f（x）0成立的实数x叫做函数
1、
y
2、
函数零点的概念：
对于函数
f（x）（xD）的零点。
函数零点的意义：
函数y
yf（x）（xD），把使
f（x）的零点就是方程f（x）
0实数根，亦即函数yf（x）的
图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）0有实数根
3、函数零点的求法：
求函数yf（x）的零点：
③（代数法）求方程f（x）
函数y
f（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点.
0的实数根;
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（X）的图象联系起来，并利
用函数的性质找岀零点.
4、二次函数的零点：
二次函数yax2
"△>0,方程函数有两个零点.
2）^=0，方程点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3）厶<0,方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.
bxc（aax2bxc
ax2bxc
0）.
0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有
升级会员 