最新鲁教版七年级数学上册复习知识点总结.docx
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最新鲁教版七年级数学上册复习知识点总结
鲁教版初二上数学知识点梳理
第一章三角形
⒈三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角_A;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB_B所对的角_CC的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：
（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．
⒉三角形的分类：
（2）
（1）按边分类：
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按角分类：
等腰三角形
三角形
不等边三角形
直角三象形
三角形
锐角三角形
斜三角形
⒊三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线A
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：
1.AD是△ABC的BC上的中线.BDC
注意：
2.BD=DC=1BC.
2
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，
角顶点与交点之间的线段
表示法：
1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=1∠BAC.
2
注意：
①三角形的角平分线是线段；
2三角形三条角平分线全在三角形的内部；
3三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
4用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意：
①三角形的高是线段；
2锐角三角形三条高全在三角形的内部，有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；
3三角形三条高所在直线交于一点．
直角三角形
顶点上.
图5图6图7
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角
4．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边
边之差小于第三边注意：
（1）三边关系的依据是：
两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
5.三角形的角与角之间的关系：
（1）三角形三个内角的和等于180;（三角形的内角和定理）
6．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：
（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
7．三角形全等：
全等形：
能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形对应顶点、对应边、对应角：
把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等、对应角相等三角形全等的判定方法：
1.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简
写成“边角边”或“SAS”）.
3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
可以简写成“角角边”或“AAS”）
对应角相等
对应边相等
应用
边边边SSS全等形全等三角形边角边SAS
判定角边角ASA
角角边AAS
斜边、直角边HL
角平分线
作图性质与判定定理
三角形全等的应用：
测距离
要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
1夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
1夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）
第二章轴对称
轴对称现象
1.轴对称图形:
（1）如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。
这条直线叫对称轴。
（注意:
对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线）
（2）轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。
例:
①圆的对称轴是它的直径（×）直径是线段,而对称轴是直线（应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线）;
2角的对称轴是它的角平分线（×）角平分线是射线而不是直线（应说角的对称轴是角平分线所在的直线）;
3正方形的对角线是正方形的对称轴（×）对角线也是线段而不是直线。
1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够
完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就
是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成
轴）对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图
形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条
直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
2.轴对称:
（1）对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
（成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形）。
（2）轴对称图形与轴对称的关系:
①联系:
都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；
2区别:
轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。
用坐标表示轴对称小结：
1.在平面直角坐标系中
①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;
②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;
3关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；
4与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；
5关于与直线X=C或Y=C对称的坐标
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_（x,-y）.
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为___（-x,y）___.简单的轴对称图形有两边相等的三角形叫等腰三角形。
1.三线合一定理:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。
注意:
对于一般的等腰三角形,一定精品文档
要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。
2.等角对等边,等边对等角:
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等;如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。
3.角平分线定理:
角平分线上的任意一点到角的两边的距离
（垂线段）相等。
4.中垂线定理
（1）概念:
既垂直又平分线段的直线叫垂直平
分线,简称中垂线；
（2）定理:
垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离
（与端点的连线）相等。
（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
5.（等腰三角形）知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）
理解：
已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）
6、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
探索轴对称的性质
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。
利用轴对称设计图案
1.画点A关于直线L的对应点A′:
1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B
2、延长AB至A′，使得BA′=AB
3、点A′就是点A关于直线L的对应点
2.画线段AB关于L的对应线段A′B′:
1、过点A作对称轴
L的垂线AA′，使CA=CA′
2、过点A作对称轴L的垂线BB′，使DB=DB′
3、连接A′B′，A′B′即是关于直线
知识回顾：
L的对应线段
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴
对称
图形
B
A
C
A
BC
A'
C'B'
区别
（1）轴对称图形是指具有特殊形状只对
（一）个
（2）对称轴（不一）
（一个）的图形,图形而言定只有一条
（1）轴对称是指的位置关系;（两）个
（2）只有
（一）条
（两）个图形
必须涉及图形;
对称轴.
联系
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
第三章勾股定理
探索勾股定理
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积）
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
注意:
电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。
勾股数
1.勾股定理的逆定理:
若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形。
在?
ABC中,a，b，c为三边长,其中c为最大边,
若a2+b2=c2,则?
ABC为直角三角形；
若a2+b2>c2,则?
ABC为锐角三角形；
若a2+b2ABC为钝角三角形。
2.勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数（即能构成一个直角三角形三边的一组正整数），称为勾股数（勾股数是正整数）规律:
一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数（即同乘以或除以同一个正数）,仍能够成直角三角形。
一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数只有整数倍数才仍是勾股数。
常用勾股数:
3,4,5（三四五）9,12,15（3,4,5的三倍）5,12,13（5.12记一生）
8,15,17（八月十五在一起）6,8,10（3,4,5的两倍）7,24,25（企鹅是二百五）
勾股数须知:
连续的勾股数只有3,4,5；连续的偶数勾股数只有6,8,10。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角
形是直角三角形。
根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方，另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。
不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。
勾股定理的作用：
勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：
（1）已知直角三角形的任两边，求第三边问题；
（2）证明三角形中的某些线段的平方关系；
（3）作长为无理数的线段.注意：
若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。
若求直角边，则利用勾股定理的变形式或；若求斜边，则利用；若不能确定则分以上两种情况讨论。
题型一：
直接考查勾股定理
例１.在ABC中，
C90．
分析：
直接应用勾股定理
222abc
⑴已知AC6，
BC8．求
AB的长
解：
⑴
ABAC2BC210
⑵已知AB17，
AC15，求
BC的长
解：
⑵
BCAB2AC28题型二：
应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:
4，斜边长为15，则
这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析：
在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴ACAB2BC24，CDACBC2.4
AB
⑵设两直角边的长分别为3k，4k（3k）2（4k）2152，k3，S54⑶设两直角边分别为a，b，则ab17，a2b2289，可得ab60S1ab30cm2
2
例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长
分析：
此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：
作DEAB于E，
Q12，C90
DECD1.5
在BDE中
QBED90,BEBD2DE22
QRtACDRtAED
ACAE
在RtABC中，C90
AB2AC2BC2，（AEEB）2AC242AC3
例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
B
答案：
6
题型三：
实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
分析：
根据题意建立数学模型，如图AB8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，垂足为E，则AE6m，DE8m
在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210答案：
10m题型四：
应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt
①a1.5，b2，c2.5②a5，b1，c2
43
解：
①Qa2b21.52226.25，c22.526.25
ABC是直角三角形且C90
②Qb2c213，a225，b2c2a2ABC不是直角三角形
916
例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？
解：
此三角形是直角三角形
理由：
Qa2b2（ab）22ab64，且c264
a2b2c2所以此三角形是直角三角形
AD12cm，
题型五：
勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线求证：
ABAC
证明：
在
ABD
中，
QAD2
BD2
169，
2
AB2169
22
AD2BD2
AB2，
ADB
90，
AC2
AD2
DC2
169，AC
13cm，
ABAC
QAD为中线，BDDC5cm
整数
正整数
数或无限循环小数
正分数
分数
小数
1.实数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
绝对值
a（a
0）
|a|
0（a
0）
a（a
0）
无理数有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
1.无理数的概念:
无限不循环小数叫做无理数（两个条件:
①无限②不循环）。
练习：
下列说法正确的是（）
（A）无限小数是无理数；
（B）带根号的数是无理数；
（C）无理数是开方开不尽的数；
（D）无理数包括正无理数和负无理数
2.无理数:
（1）特定意义的数，如∏；
（2）特定结构的数；如2.02002000200002⋯
（3）带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如
3.分类:
正无理数和负无理数。
算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2a
那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a0
正数的平方根有2个，它们互为相反数
平方根0的平方根是0
负数没有平方根
2.无理数的表示定义：
如果一个数的平方等于a，即x2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a
正数的立方根是正数
立方根负数的立方根是负数
0的立方根是0
定义：
如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根，记为3a.
概念有理数和无理数统称实数
3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。
平方根
1.定义:
如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
2.表示方法:
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根
；另一个是－，它们是一对互为相反数，合起来是
3.开平方:
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（其中,a叫被开方数,且a为非负数）。
开平方与乘方是互为逆运算。
判断：
（1）2是4的平方根（）
（2）-2是4的平方根（）
（3）4的平方根是2（）
（4）4的算术平方根是-2（）
（5）17的平方根是（）
（6）-16的平方根是-4（）
小结:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数；
0只有一个平方根,它是0本身；
负数没有平方根。
立方根
1.定义:
如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数
x叫做a的立方根（三次方根）。
2.性质:
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。
3.开立方:
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方（其中,a叫被开方数）。
4.平方根与立方根的联系与区别:
（1）联系:
①0的平方根、立方根都有一个是0；②平方根、立方根都是开方的结果。
（2）区别:
①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。
方根的估算
1.估算无理数的方法是
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值。
2.“精确到”与“误差小于”意义不同。
如精确到1m是四
舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右
1m都符合题意，答案不惟一。
在本章中误差小于1m就是估
算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
用计算器开方
实数
知识回顾:
1、统称有理数；
2、叫做无理数；
3、有理数分为小数和小数；
4、有理数包括﹑零﹑。
1.实数:
有理数和无理数统称为实数（正实数,0和负实数）
2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。
例:
a是一个实数,它的相反数是,绝对值是
如果a≠0,那么它的倒数是。
第五章平面直角坐标系
5.1确定位置
引例:
电影票、角、教室座位、经纬度在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a和b记作（a，b），
a表示:
排、行、经度、角度⋯⋯
b表示:
号、列、纬度、距离⋯⋯生活中还有哪些确定位置的其他方法？
（1）如果全班同学站成一列做早操，现在教师想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？
（2）多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗？
必须有三个数据（a，b，c），其中a表示层数，b表示排号，c表示座号，即“a层b排c号”。
（3）确定小区中住户的位置必须有四个数据，分别为楼号a，
单元号b，层数c和住户号d，即“a楼b单元c层d号。
”
（4）区域定位法：
绘出所在区域代号如B3，D5等。
排球比赛队员场上的位置等。
准确定位需几个独立数据？
（1）已知在某列或某行上,只需一个数据定位；
（2）在一个平面内确定物体位置,需两个数据；
（3）在空间中确定物体位置,需要三个独立数据。
5.2平面直角坐标系
1.平面直角坐标系:
平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。
坐标原点（0,0）,第一二三四象限,注意:
坐标轴上的点不属于任何象限。
2.坐标:
在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。
这样的有序实数对叫做点的坐标。
规律1:
⑴点P（x，y）在第一象限←→x>0，y>0；点P（x，y）在第二象限←→x<0，y>0；
点P（x，y）在第三象限←→x<0，y<0；点P（x，y）在第四象限←→x>0，y<0。
⑵x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0）,y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y）
点P（x，y）到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是。
例:
到x轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有个,
它们是。
规律2:
⑴关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；⑵关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；⑶关于原点对称的点的横坐标、纵坐
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