动态规划习题答案.docx
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动态规划习题答案
2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？
##
表8－47
W（X）kk#（项目k
投资额
0
1
2
3
4
#1（A）
－
41
48
60
66
#（B）2
40
42
50
60
－
#3（）C
－
64
68
78
84
解：
设S－A,B,C项目的总投资额，S－B、C项目的总投资额21S－C项目的投资额；3X－k项目的投资额；k（X－A项目的投资额，X－B项目的投资额，X－C项目的投资额）312W（S,X）－对K项目投资X后的收益：
W（S,X）＝W（X）kkkkkkkkkT（S,X）－S=S-Xk
k+1kkkkf（S）－当K至第3项目允许的投资额为S时所能获得的最大收益。
kkk为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S＝0，建立递归方程4f（S）=0
k4
f（S）=max{W（X）+f（S）}k=3,2,1k+1kk+1kkkX∈D（S）kkk第一步，K=3
f（S）=0
44f（S）=max{W（X）+f（S）}434333X∈D（S）333S=S-X3
34
S3
f（S）33
X*3
1
64
1
2
68
2
3
78
3
4
84
4
第二步：
）}f（S（X（S）=max{W）+fK=2322322）X∈D（S222-X=SS232
W（X）+f（S-X）
22322
S2
X=02
X=12
X=22
X=32
f（S）22
X*2
1
40+64
－
－
－
104
0
2
40+68
42+64
－
－
108
0
3
40+78
42+68
50+64
－
118
0
4
40+84
42+78
50+68
60+64
124
0，3
第三步：
）}（S（X）=maxf（S{W）+fK=1211121）DX∈（S111-XS=S1
21
）
（X-X）+f（SW11211
S1
X=01
X=11
X=21
X=31
f（S）11
X*1
4
－
41+118
48+108
60+104
164
3
S=4→S=1→S=1312↓↓↓
X*=3X*=0X*=1
312百万。
1投资C不投资B百万，3投资A．
总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？
利润营业区Ak（x）wAAAk3211802001210
2302220280销售
2603330225店数x
280
340
4230
解：
##,3营业区允许设立的销售店数s——对k,…k#营业区设立的销售店数——对kxkx销售店后的利润：
）——对k#营业区设立w（s,xkkkk）
（x（sw,,x）=wkkkkk=s-x）T（sx——skkk,kkk+1s3个营业区允许设立的销售店数为至第）f（s——当第kkkk时所能获得的最大利润
递归方程：
）=0
（sf44．
f（s）=max｛wk（xk）+fk+1（sk+1）｝,k=3,2,1kkxk∈Dk（sk）
k=3时，有方程
f（s）=0
44f3（s3）=max｛w3（x3）+f4（s4）｝
x∈D3（s3）3s3=s2—x2
s3
f3（s3）
x3*
1
180
1
2
230
2
3
260
3
4
280
4
k=2,有方程｝｛f2（s2）=maxw2（x2）+f3（s3）
D2（s2）∈x2x2—s3=s2
s2
x2）
—w2（x2）+f3（s2
f2（s2）
x2*
x2=1
x2=2
x2=3
x2=4
2
210+180
/
/
/
390
1
3
210+230
220+180
/
/
440
1
4
210+260
220+230
225+180
/
470
1
5
210+280
220+260
225+230
230+180
490
1
k=1,有方程｝f1（s1）=max｛w1（x1）+f2（s2）
D1（s1）x1∈x1s2=s1—
s1
）
）+f2（s（x—xw1111
（sf11）
*x1
=1x1
x=21
=3x1
=4x1
6
200+490
280+470
330+440
340+390
770
3
s3=2s2=3s1=6→→↓↓↓*=2
*=3xx*=1x321家销售店，最大利润为2家、1家、3营业区设立A3、A2、A1分别
770
4．用动态规划方法求解下列模型：
maxf=10X+4X+5X321≤15
+4Xs.t.3X+5X312≤20≤X≤2X≥0，X为整数≤0Xj=1,2,3j321解：
收费C=10C=4C=5312X为货物1的装载件数1X为货物2的装载件数2X为货物3的装载件数3分3阶段
S为货物1、2、3允许的装载重量（3X+5X+4X的允许值）3121S为货物2、3允许装载的重量（5X+4X的允许值）322S为货物3允许装载的重量（4X的允许值）33
第一步：
K=3
f（S）=0
44f（S）=max{5Xf（S）|X∈D（S）}3333+4433SS-4X3
34=
S0~3
4~7
8~11
12~15
3
D（S）{0}
{0,1}
{0,1,2}
{0,1,2,3}
33
SX=0X=1X=2X=3f（S）X*333333330
0~30+0
______
______
______
0
0+05+0____________4~751
0+05+08~1110+0______102
0+05+010+015+012~15153
第二步：
K=2
f（S）=max{4Xf（S）|X∈D（S）}2222+3322S=S-5X2
23．
10~15
0~4
5~9
S2
{0,1,2}
{0,1}
）{0}
D（S22
划分点：
000
44
88
1212
551010
914
1318
1722
（S4Xf-5X）232+2
S20~3
=0X20+0
X=12______
=2X2______
f（S20
X）20
*2
45~7
0+50+5
______4+0
____________
55
00
89
0+100+10
4+04+5
____________
1010
00
10~1112
0+100+15
4+54+5
8+08+0
1015
00
08+00+15154+1013
0
15
0+1514~15
8+5
4+10
第三步：
K=1
f（S）=max{10Xf（S）|X∈D（S}）11+132211．
S=S-3X11210Xf（S-3X）11+12
S1
X=0X=111
X=21x∈D（s）kkk
f（S）11
X*1
15
0+15
10+15）=max{30x5
20+10
30
2
顺序追踪：
最优策略为=9SS=9→S=15→312↓↓↓
*=2
X*=0X*=2X321装不装；货物32件最优装载方案为：
货物1装2件；货物2装载收费为30元5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：
Maxf=12x+12x+9x+16x+30x；52143s.t.3x+4x+3x+4x+6x≤12;53241x=0,1,j=1,……，5j解：
本问题分为5个阶段。
令
sax+…+ax的允许值4k4kk——x第k阶段x取值，x=0，1
kkk——w（s,x）——x产生的价值：
w（s,x）=cxkkkkkkkkkT（s,x）——s=s-axkkkk+1kkkf（s）——在ax+…+ax≤s的条件下，cx+…+cx能44kkkkk44kk取得的最大值。
．
递归方程为f（s）=0
66f（s）=max{cx+f（s）},k=5,4,3,2,1
k+1kkkkk+1
k=5f（s}55
x∈D（s）
555（305
5
==
0~5000—1
30
6~12
30
0
f（s）=max{16x+f（s）}
54454k=4）
D（s∈x444s=s-4x445
s4
16x
-4xs+f（454
）4
f
（s）x*444
=1xx=044000~30+0——0+04~516+0161
16+0
6~93000+30
16+30
1
10~1246
0+30
f（s）=max{9x+f（s）}
k=343433x∈D（s）
333s=s-3x343
sx）f（s-3xs）（9x+f3333
3343
0~2
=1x=0x33
0
0+0
0——
3
0+0
99+0
1
4~5
0+16
169+0
0
6
0+30
309+0
0
7~8
0+30
9+1630
0
19
0+30
9+3039
9+30
46
0
10~120+46
*
）}
（sf（s）=max{12x+f32223k=2
x∈D（s）
222s=s-4x232
s
-4xs+f（12x
）
f（s）x
2
232x=0
2x=1
22
2
2
0~2
0+0
——
00
3
0+9
——
09
4~5
0+16
12+0
016
6
0+30
12+0
300
7
0+30
12+9
300
8300+30012+16
9390+39012+16
12+3010
4600+46
12+30
11~1246
0
0+46
*2
k=1
f（s）=max{12x+f（s）}
21121x∈D（s）
111
s=s-3xs=12
1211
sf（s）x*）（s3xf12x1-11+2111
1x=0x=111
12+39
1
51
0+4612
s=12s=9s=9s=6s=654321
x=1x*=0x*=1x*=0x*=1*51423
11．今设计一种由4个元件串联而成的部件，为提高部件的可靠性，每一元件可以由1个、2个或3个并联的单位元件组成。
关于元件K（K=1，2，3，4）配备j个并联单位元件（j=1，2，3）后的可靠性R和成本C由表给出，假设该部件的总成本允许为15个单位，试kjkj问如何确定各元件的单位元件配备数目，使系统的可靠性最高？
j
K=1K=2K=3K=4
RCCRCRCR4j3j2j3j1j4j2j1j
12
0.7420.60.9
30.80.82
35
0.7550.8
4
3
0.85
7
解：
逆序解法。
S——仪表上配备k#，…，4#元件时允许使用的费用kX——K#元件所选用的单位元件kW（S，X）——K#元件采用单位元件时的可靠性，有kkkW（S，X）=RxkkkkkT（S，X）——SSCxkkkk-kk+1=kfS——在费用限额为S元件串联时相应3#，…，k#的条件下，k）k（k
部分可获得的最大可靠性
递归方程fS=1（）54fSmax｛W（S，X）﹒fS｝，K=4,3,2,1.）k+1kk（k（k）=kk+1第一步，对K=4,
S41011
0.6×0.738
Rx440.72×0.8
F（S420.576
）X*41
0.6×0.738
=1X4
0.8×
=2X40.72
0.576
2
3
0.7
—
0.8
1
4
0.8
—
0.8
1
5
0.8
0.82
0.82
2
2
60.82
0.82
0.7
第二步:
Sf（S）X*
Rx﹒CxfS3232）31（33–33=1
X360.9×0.80.721
10.80.7270.9×
10.820.7388×0.9
1
×90.90.820.738
第三步，对K=2,
Sf（S）X*
xRx﹒fSC2222）22–3（222=2=1
XX2280.6×0.720.4321—
10.4320.69—×0.72
第四步，对K=4,fS=max｛Rx﹒fS｝）（34（4）434SSCxS=1544–43=，4
SCxRx﹒fS1）1141–2（11X*f（S）114=3
X=2=1XX111150.7×0.5760.75×0.5760.85×0.4320.4322
SSSS=3
=6→=10→=15→1231↓↓↓↓
X*=2X*=2X*=1X*=14132
元件1为2个，元件2为2个，元件3为1个，元件4为1个，可靠性为0.432。
顺序解法：
S——仪表上配备1#，…，K#元件时允许使用的费用kX——K#元件所选用的单位元件kW（S，X）——K#元件采用单位元件时的可靠性，有kkkW（S，X）=RxkkkkkT（S，X）——SSCxkkkk-1=kk-kfS——在费用限额为S的条件下，1#，…，K#元件串联时相应kk）k（部分可获得的最大可靠性
递归方程fS=1（）00fSmax｛W（S，X）﹒fS｝，K=1，2，3，4）k）kk-1kk-1=（kk（
第一步，对K=1,fS=max｛Rx｝11（）114＜＝S＜＝71S=｛4，5，6，7｝1
S45671｛1,2,3｝｛1,2｝SD｛1｝｛1,2｝）11（
Sf（S）X*
Rx111111=3X=1
XX=21110.7——410.7
2—0.750.750.75
2—0.750.760.75
3
0.8
0.757
0.70.8
第二步，对K=2,fS=max｛Rx﹒fS｝）2（2（12）12SSCx2–1=226＜＝S＜＝92S=｛6，7，8，9｝2
S2Sf（S）X*
Rx﹒fCxS2222）12–（2222=2=1
XX2260.6—×0.70.421
6
7
8
9
DS）2（2
1｝｛
｛1｝
｛1,2｝
｛1,2｝
1—0.450.6×70.75
280.750.560.8×0.70.6×
2
0.80.6
0.69××0.750.8
第三步，对K=3,fS=max｛Rx﹒fS｝）3（（）32233SSCx33–2=39＜＝S12
＜＝2．
S=｛9，10，11，12｝2
S3Sf（S）X*
Rx﹒fCxS3333）23–（3333=1
X390.9×0.420.3781
9
10
11
12
DS）（33
｛1｝
｛1｝
1｝｛
｛1｝
1×100.90.450.405
10.911×0.560.504
1
12
×0.60.54
0.9
第四步，对K=4,fS=max｛Rx﹒fS｝）4（34）3（44SSCxS=1544–3=4，4
Sf（S）X*
Rx﹒fSCx4444）43（4–444=2
XX=1
44150.8×0.540.82×0.4050.4321
SSSS=5
=9=12→→=15→1324↓↓↓↓
X*=1X*=1X*=2X*=21423
元件1为2个，元件2为2个，元件3为1个，元件4为1个，可靠。
0.432性为
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