所以a的取值范围是
.
(3)设h(x)=f(x)+g(x),当a=1-2b=1时,h(x)=
x3-x-1.
由
(2)可知,当a=1时,函数h(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1).
①当t+3<-1,即t<-4时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=
(t+3)3-(t+3)-1=
t3+3t2+8t+5;
②当t<-1且-1≤t+3<1,即-4≤t<-2时,h(x)在区间[t,-1)上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减,
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(-1)=-
;
当t<-1且t+3≥1,即-2≤t<-1时,t+3<2且h
(2)=h(-1)=-
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(-1)=-
;
③当-1≤t<1时,t+3≥2>1,h(x)在区间[t,1)上单调递减,在区间[1,t+3]上单调递增,
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t)与h(t+3)中的较大者.
由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,当-1≤t<1时,h(t+3)≥h(t),
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=
t3+3t2+8t+5;
④当t≥1时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,
所以h(x)在区间[t,t+3]上的最大值为h(t+3)=
t3+3t2+8t+5.
综上,当t<-4或t≥-1时,f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值为
t3+3t2+8t+5;当-4≤t<-1时,f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值为-
.
解题分析 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程、函数的零点及函数在闭区间上的最值问题,考查分类讨论思想、数形结合思想,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,综合性强,难度大.
7.(2018天津红桥二模,20)已知函数f(x)=a2x2+ax-lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=a2x2-f(x),且函数g(x)在x=1处的切线为l,直线l'∥l,且l'在y轴上的截距为1,求证:
无论a取何实数,函数g(x)的图象恒在直线l'的下方;
(3)已知点A(1,g
(1)),Q(x0,g(x0)),且当x0>1时,直线QA的斜率恒小于2,求实数a的取值范围.
解析
(1)a=1时,f(x)=x2+x-lnx,
f'(x)=2x+1-
=
(x>0),令f'(x)=0,得x=
∴x>0时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
x
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
∴函数f(x)的单调递增区间为
单调递减区间为
.
(2)证明:
∵g(x)=a2x2-f(x)=lnx-ax,∴g'(x)=
-a,x>0,
∴g'
(1)=1-a,∴直线l的斜率kl=1-a.
∵l'∥l,且l'在y轴上的截距为1,
∴直线l'的方程为y=(1-a)x+1.
令h(x)=g(x)-[(1-a)x+1]=lnx-x-1(x>0),
h'(x)=
-1=
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,
∴函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,h(x)取得极大值,极大值为h
(1)=-2,
∴在(0,+∞)上,h(x)取得最大值h
(1)=-2,
∴h(x)≤-2<0(∀a∈R,∀x>0),
∴无论a取何实数,函数g(x)的图象恒在直线l'的下方.
(3)∵A(1,-a),Q(x0,lnx0-ax0),
∴kQA=
=
-a,
∴当x0>1时,
-a<2,即lnx0-(a+2)(x0-1)<0恒成立,
令r(x)=lnx-(a+2)(x-1)(x>1),
则r'(x)=
-(a+2),
∵x>1,∴0<
<1.
①当a≤-2时,a+2≤0,此时r'(x)>0,
∴r(x)在(1,+∞)上单调递增,有r(x)>r
(1)=0,不满足题意;
②当-2∴当x∈
时,r'(x)>0,当x∈
时,r'(x)<0,
∴至少存在t∈
使得r(t)>r
(1)=0,不满足题意;
③当a≥-1时,a+2≥1,此时r'(x)<0,
∴r(x)在(1,+∞)上单调递减,r(x)(1)=0,满足题意.
综上,实数a的取值范围是[-1,+∞).
8.(2018天津和平三模,20)设函数f(x)=lnx-
ax2-bx.
(1)当a=b=
时,求函数f(x)的最大值;
(2)令F(x)=f(x)+
ax2+bx+
(0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0,b=-1时,方程x2=2mf(x)(其中m>0)有唯一实数解,求m的值.
解析
(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=
时,f(x)=lnx-
x2-
x,
f'(x)=
-
x-
=
令f'(x)=0,得x=1或x=-2(舍).
当00,此时f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.
∴f(x)的最大值为f
(1)=-
.
(2)由题意知F(x)=lnx+
x∈(0,3],F'(x)=
-
=
则有k=F'(x0)=
≤
在(0,3]上恒成立,
∴a≥
x0∈(0,3].
当x0=1时,-
+x0取得最大值
∴a≥
.
(3)当a=0,b=-1时,f(x)=lnx+x,
∵方程2mf(x)=x2有唯一实数解,
∴x2-2ml