中学几何公理体系公理化方法与中学几何.docx

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中学几何公理体系公理化方法与中学几何

中学几何公理体系_公理化方法与中学几何

公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。

这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I}}述和规定，不是随意可以选定的。

一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:

相容性、独立性和完备性。

一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:

公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。

从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:

①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。

③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。

二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。

从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:

（见下页）甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:

y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的:

原始概念的描述）定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构:

感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系（包括基本关系）作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容（不矛盾）的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。

在16条.几何公理中，有11条新增公理，5条强化了的公理.“两点之间，线段最短”，“同位角相等，则两直线平行”等都是新增的公理;而“经过直线外一点，有且只有一条直线和这一条直线平行“是强化了的平行公理.教材的这种处理方案，虽然从公理系统来说是不够严格的，有悖于公理体系的完备性和独立性.但是，这样做能减少初学者的困难，便于学生接受，从教学论的角度来看是有积极作用的.

张景中在介绍了他的欧氏几何公理体系后，曾指出:

引进了公理系统，是不是在课堂._.「就要把这个公理系统作为平面.几何学习的开端呢?

大可不必.从么理系统.人手讲几何，就像学骑自行车先学上车一样.骑自行车本来先要上车，但学骑时可以先请别人扶着，爬上车学前进.学会了蹬车前进，回过头来学上车是容易的，从历史上看，几何公理体系的诞生。

是在积累了大量几何知识之后的事.逻辑上，是先有公理，后有丰富多彩的定理和公式.人的认识过程恰恰相反，恰恰是先掌握了大量的定理，而后，为了彻底弄清这些定理的依据，才想到了建立公理体系.

三、思辨性的公理化时期—非欧几何   19世纪中叶，非欧几何诞生的时机终于成熟了.人类的理性精神和思辩能力，催生了非欧几何.首先是大数学家高斯发现了第五公设的否定命题和其他公理是协调的，即无矛盾的.匈牙利的大学生J·波尔约也独立地在1832年发现了非欧几何.但是，只有俄罗斯的罗巴切夫斯基在1826年发表“虚几何学”的演讲，但是没有得到承认.1829年，他把自己的创见发表在《喀山通报》上.这是世界上最早的非欧几何文献.

罗巴切夫斯基用“过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定直线不相交”来替代平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧氏几何迥然不同的命题体系，但却并没有导致任何矛盾.当时的数学界不能接受这样奇怪的几何，不断遭到嘲讽和打击.但是罗巴切夫斯基毫不动摇，继续用法文、德文、俄文陆续发表著作。

他追求真理、坚持真理、宣传真理的勇敢作为，绝对是人类祟尚理性的典范.可以作为对照的是，虽然高斯发现了非欧几何，但因为和传统的观念相悖，没能公开发表.非欧几何虽然在逻辑上是成立的.但是要让人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，也就是要提供这种“虚”几何的现实模型.在19世纪70年代，相继提出了许多“实在”的非欧几何模型.

这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来.下面用法国大数学家庞加莱提出的上半平面模型作为例子来阐述非欧平面几何.在庞加莱模型中，它的基本概念可作如下的理解:

   “点”相当于上半（开）平面中的点;   “直线”相当于“上半平面中与_轴垂直的直线，或上半平面中以a轴上的点为圆心的上半圆周”;   “点尸属于（或结合）直线Z”相当于“上半平面中代表P的那一个点属于代表直线l的那条与_轴垂直的直线，或以a轴上的点为圆心的上半圆周”;   “点B在另两点A,C之间”相当于“A,B,C三点属于上半平面中同一条与a轴垂直的直线，或属于上半平面中同一个以a轴上的点为圆心的上半圆周上，而且排列的次序是依次为A,B,C".

“两线段合同”相当于“利用一系列关于与a轴垂直的直线的对称，或关于以a轴上的点为圆心的半圆的反演后能将一线段变至另一线段”.

“两角合同”相当于“利用一系列关于与a轴垂直的直线的对称，或关于以a轴上的点为圆心的半圆的反演后能将一角变至另一角”.

可以验证这些基本概念是服从结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理所规定的约束，而且此模型满足非欧几何的“平行公理”，即“过给定直线外的一点，可作至少两条与给定直线不相交的直线.”过罗氏平面上任一罗氏直线l外的一点P，确实可以作出两条罗氏直线与1平行.这里要注意的一点是欧氏直线a上的点不是罗氏系统的几何元素，故两个半圆相交于直线a上某一点则视为相交于无穷远点，而它们在有穷范围内永不相交.这就实现了罗巴切夫斯基的虚几何.

由此模型，我们还可以验证罗氏几何在一定意义下的相容性.现在假如如果罗氏系统在今后的展开中出现了正、反两个互相矛盾的命题，则只要按如上规定的几何元素间的对应名称进行翻译，即立刻成为互相矛盾的两个欧氏几何定理.

从而欧氏几何系统也就自相矛盾了.因此，我们可以说，如果欧氏几何没有矛盾，那么罗氏几何也没有矛盾.

通过模型，人们终于接受了非欧几何.

我们把17-一19世纪人们对公理化方法的研究称为“思辨性”的时期.这是因为这时的公理化虽然仍旧保持了一定的直观成分，还使用点线面这样的几何形象，但是已经进入到理性思辨的领域，罗氏几何中的点、线，以及它们之间的关系，需要通过思辨才能理解.此外，公理可以和自己的直观不一致，甚至违背.这也把公理化方法带进思辨的领域.人类理性思维的能力进人了新的历史阶段.现在，我们把希尔伯特的公理系统完整地写出来希尔伯特在《几何基础》中先取定三个基本对象:

点、直线和平面，五个基本关系:

两个结合关系，叙述为“点与直线结合”，“点与平面结合”，也就是日常说的“点在直线上”、“点在平面上”或“直线通过点”、“平面通过点”;一个顺序关系，叙述为“一点在另两点之间”;两个合同关系，叙述为“线段与线段合同”、“角与角合同”（线段与角另有定义）.同时逐步地提出五组公理共二十条，它们是:

结合公理（8条）、顺序公理（（4条）、合同公理（（5条）、连续公理（（2条）、平行公理（（1条）.下面具体介绍并展开一点讨论.

第一组结合公理I（又称关联公理或从属公理）     I，对于两个不同的点，恒有一直线结合（通过）其中的每个点;     I:

对于两个不同的点，至多有一条直线结合其中的每个点;     I3.，每直线上至少有两个（不同的）点;     }3.:

至少有三点不在一直线上;     I。

，:

对于不在一直线上的三点，恒有一平面通过它们中的每个点;     I4.

Z每平面上至少有一个点;     I5对于不在一直线上的三个点，至多有一平面通过它们中的每个点;     i。

如果直线a上的两个点在平面a上，则a的每个点在a上;     }7如果两平面有一公共点，则至少有另一公共点;     1A至少有四个点不在同一平面上.

由上我们可以看到:

①结合公理保证了直线、平面的存在，其中I3.:

和I8保证了点的存在;I_和I3.

Z保证了直线的存在;14.

i和I。

保证了平面的存在.13。

3I4.},I}.2,I}等又说明在怎样的条件下存在什么，称之为“条件存在公理”   公理12、工S,I6不涉及存在问题.

②结合公理刻画了点、直线、平面间的结合关系，I，一I3属于点和直线的结合关系，称为平面结合公理;I4--}-Ia称为空间结合公理.

③结合公理（主要是I7,Ia）保证了所研究的空间是三维的.

“直线和平面结合关系”不是基本概念，但可定义如下:

   定义1若直线上的每个点都在平面a上，则称直线a和平面a互相结合（或a在a上）.

结合公理可以有如下推论:

   定理1两直线至多有一个公共点;一平面和不在其上的一直线至多有一个公共点;两个平面或者既无公共点又无公共直线，或者有一条公共直线，它们所有的公共点都在这直线上.

定理2过不共线三点恰有一个平面;过一直线及不在其上的一点恰有一平面;过有公共点的两直线恰有一平面.

定理3每个平面上至少有三个不在同一条直线上的点.

如上结合公理是中学平面几何与立体几何中有关点、直线、平面间结合关系的理论基础.其中}1，工:

}}4,1}}5}}}都反映在教材中了;关于两个平面的结合关系，传统中学几何教材是采用了结合公理的推论—定理1中的部分结论;公理组中的1.3，I;，2，I。

在传统中学教材论证中，都作为直观或默认的事实.

第二组顺序公理B（又称介于公理）对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A和C在一直线上的任意三个点里，至多有一点在其余两点之间.

为介绍公理ll4，先给出如下定义.

定义a直线上无序两点A,B间的集合叫线段，记为AB或BA,A和B之间的点叫线段AB的内点，或线段AB上的点，A和B之间所有点的集合叫做一开线段，记为（AB>,A,B各叫线段AB或（AB）的端点，直线AB上异于A,B且不属于（AB）的点叫线段AB或（AB）外部的点.

定义3不共线的点A,B,C和三开线段（AB）,,（CA）的所有点的集合称为一三角形，记为△ABC,A,B}C称为该三角形的顶点，开线段（AB）,（BC>,（CA）各称为该三角形的边.

I.I4（帕施Parch公理）设A,B,C不在同一直线上，直线在平面ABC上但不过A,B,C中的任一点，若a过（AB）的一点，则它必过（AC）的一点或（BC）的一点.

帕施公理又可叙述为:

与一三角形共面而不过其顶点的直线，若与三角形的一边相交，必与另一边相交.

由上我们可以看到:

①公理}1一  }3是直线上点的顺序公理，也称为线性顺序公理，J!

4是平面顺序公理;o}z保证线段外部有点，L!

3断言共线三点至多有一点在另两点之间.但是，线段内部是否有点?

共线三点中是否必存在一点在另两点之间?

这些问题公理中没有直接回答，但答案是肯定的，它们的证明都必须用帕施公理.

顺序公理可以有如下推论:

   定理a对于任意两点A,C，直线AC上至少有一点B在A,C之间.

（证略）   定理5在一直线上的三个点中，必有且只有一点在其余两点之间.（读者自证）   定理6直线a与△ABC共面而不过其顶点，若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交其第三边.（证略）定理7 .A,I3,C共线，另一点P若在三开线段（AB>,（BC"）,（CA）之一上，  四、非欧几何及其对公理化的影响非欧几何的创立及其被接受的历史过程，促使人们对欧几里得几何的基础做更全而更严格的审视。

数学家们起码而临如下尖锐的问题。

（1）欧几里得几何有没有矛盾?

由于将非欧几何的无矛盾性归结为欧几里得几何的无矛盾性，这一问题就变得不可回避。

（2）欧几里得几何中除平行公理外其他公理的独立性问题。

非欧几何的建立实际上就是确定了平行公理的独立性，即平行公理不可能是欧氏体系中其他公理和定理的推论。

这就自然会引导数学家们去考察其他公理是否独立。

在这样的逻辑眼光下，《原本》中的公理体系潜含着的逻辑缺陷就会暴露出来，例如人们发现第四公设（凡直角都彼此相等）是多余的，即不独立的。

另外，数学家们还进一步追问欧几里得体系是否包含了足够的公理。

———行11计算机（智能）盛明11202621