中考数学重难点专题十一 阅读与理解.docx

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中考数学重难点专题十一阅读与理解

班级：

________　姓名：

________　

专题十一　阅读与理解

类型一　解题方法类阅读理解

（建议时间：

________分钟）

1.（2020常德）阅读理解：

对于x3－（n2＋1）x＋n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3－（n2＋1）x＋n＝x3－n2x－x＋n＝x（x2－n2）－（x－n）＝x（x－n）（x＋n）－（x－n）＝（x－n）（x2＋nx－1）．

理解运用：

如果x3－（n2＋1）x＋n＝0，那么（x－n）（x2＋nx－1）＝0，即有x－n＝0或x2＋nx－1＝0，因此，方程x－n＝0和x2＋nx－1＝0的所有解就是方程x3－（n2＋1）x＋n＝0的解．

解决问题：

求方程x3－5x＋2＝0的解为________________．

2.（2020扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求x－4y和7x＋5y的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组

，则x－y＝____，x＋y＝________；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：

x*y＝ax＋by＋c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝________．

3.阅读与思考：

下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：

AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是

上的一点，且

＝

，连接BF.可得BF＝BE.

第3题图

（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图①所示，试证明BF＝BE；

（2）如图②所示，若直径AB＝10，EO＝

OB，作直线l与⊙O相切于点F，过点B作BP⊥l于点P.求BP的长．

4.阅读下列材料，并完成相应的任务．

任务：

如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG＝AD，连接CG，可以得到△ABD≌△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图①中作辅助线的方法想到：

延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG.

第4题图

（1）请直接写出线段BE和CG的关系：

________；

（2）如图③，若∠A＝90°，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE＝3，CF＝2

，其它条件不变，求EF的长．

第4题图③

5.真实问题情境（2020昆明）【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立个觇标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加，因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝

（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），

即：

山的海拔高度＝测量点测得山的高度＋测量点的海拔高度＋球气差．

【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m,觇标DE＝2m,点E,D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.

（1）数据6400000用科学记数法表示为________；

（2）请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.01m）

（参考数据：

sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）

第5题图

6.【问题情境】

数学课堂上，李老师提出这样一个问题：

如图①，在△ABC中，E是AC的中点，P是BE的中点，则称AP是△ABC的“双中线”．若∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，求AP的长．

第6题图①

小明的求解思路如下：

解：

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，

∴AC＝

＝4.

∵点E是AC的中点，

∴AE＝2.

在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝3，AE＝2，

∴BE＝

＝

.

∵P是Rt△ABE的斜边BE的中点，

∴AP＝

.

【理解运用】

如图②，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BE的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”．若AB＝4，求AP的长；

【拓展迁移】

如图③，AP是矩形ABCD的“双中线”．若AB＝4，BC＝6，求AP的长．

第6题图

7.（2020毕节）如图①，大正方形的面积可以表示为（a＋b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2＋2ab＋b2.同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.

把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

（1）用上述“面积法”，通过如图②中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：

__________；

（2）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90,CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；

（3）如图④，等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC,CH⊥AB，垂足分别为点M,N,H，连接AO，用上述“面积法”求证：

OM＋ON＝CH.

第7题图

类型二　新定义阅读理解

（建议时间：

________分钟）

1.（2020怀化）定义：

对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是________（填序号）．

①平行四边形　　　　②矩形

③菱形④正方形

（2）图形判定：

如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°.证明：

四边形ABCD是垂等四边形．

（3）由菱形的面积公式易知性质：

垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．

应用：

在图②中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°.求⊙O的半径．

第1题图

2.（2020常州节选）定义：

如图①，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

如图②，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0,4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.

（1）过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为______；

（2）若直线n的函数表达式为y＝

x＋4，求⊙O关于直线n的“特征数”．

第2题图

类型三　以数学文化为背景的阅读理解

（建议时间：

________分钟）

1.（2020徐州·北师九上P97读一读改编）我们知道：

如图①，点B把线段AC分成两部分，如果

＝

，那么称点B为线段AC的黄金分割点，它们的比值为

.

（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为______cm；

（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：

对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：

G是AB的黄金分割点；

（3）如图③，小明进一步探究：

在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

第1题图

2.阅读下列材料，并完成相应的任务．

托勒密定理

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的主要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

已知：

如图①，四边形ABCD内接于⊙O，

求证：

AB·CD＋BC·AD＝AC·BD.

下面是该结论的证明过程：

证明：

如图②，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E.

∵

＝

，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴△ABE∽△ACD，

∴

＝

，

∴AB·CD＝AC·BE.

∵

＝

，

∴∠ACB＝∠ADE（依据1）．

∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，

即∠BAC＝∠EAD，

∴△ABC∽△AED（依据2），

∴

＝

，

∴AD·BC＝AC·ED，

∴AB·CD＋BC·AD＝AC·（BE＋ED），

∴AB·CD＋BC·AD＝AC·BD.

任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：

________________________________．（请写出）

（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为

的中点，求AC的长．

图①

图②

图③

第2题图