上海市徐汇区学年高二上学期期末数学试题.docx

上海市徐汇区学年高二上学期期末数学试题.docx

《上海市徐汇区学年高二上学期期末数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市徐汇区学年高二上学期期末数学试题.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

上海市徐汇区学年高二上学期期末数学试题

上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、填空题

1.直线版-4），—5=0的倾斜角的大小为—（结果用反三角函数值表示）

2.若丽=（-5,4）,砺=（7,9）,则与而同向的单位向量的坐标是一

3.若线性方程组的增广矩阵为

%02'

、01"

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.不充分不必要

6-31

4.行列式中25k中元素-3的代数余子式的值为7,则&=_.14-2

5.以点。

（3,4）和点。

（—5,6）为一条直径的两个端点的圆的方程是

6.若顶点在原点的抛物线的焦点与圆r+V-4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为_.

7.在AA8C中，I43I=3,I8CI=7,IC4I=5,则画在北方向上的投影是.

8.已知双曲线依2—V=1的一条渐近线的方向向量7=（2,-1）,则％=_.

9.在正三角形A8C中，。

是8C上的点，AB=3,BD=1,则而.南=.

10.已知K、居是双曲线C:

二-[=1（〃＞0力＞0）的两个焦点，户是双曲线C上一点，crlr

且尸E_lp月，若△尸丹用的而积为16,贝i3=—.

11.若点o和点F分别为椭圆二+『=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点,则IOPF+1尸尸I2的最小值为

12.在直角坐标系中，两个动圆均过41,0）且与直线/：

x=_l相切，圆心分别为G、a,若动点M满足23万=日方+3＞则”的轨迹方程为

二、单选题

13

a2x+b2y=c2

.“。

="7H0”是“方程组（有唯一解”的（）条件.

14.某程序框图如图所示，该程序运行后愉出的k的值是（）

A.4B.5C.6D.7

15.已知集合尸={（Q）卜1+23=5},e={（x,y）|x2+r=5},则集合PflQ中元素的个数是（）

A.0B.2C.4D.8

16.己知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为v=±2x（a，〃>。

），若双曲线上a

有一点/（小,%）,使目不|<4闻，则双曲线的焦点（）

A.在x轴上B.在）'轴上

C.当时在x轴上D.当时在轴上

三、解答题

17.已知瓦2是同一平面内的三个向量，其中不=（1,2）

（1）若1别=26,且云〃求，的坐标；

（2）若|臼=正，且）+明与蜀一行垂直，求£与否的夹角0.2

18.已知直线/经过点尸（—2,J5）,并且与直线4:

x-"，+2=0的夹角为9,求直线/的方程.

22

19.如图所示，A（2jJ,0）、B、C是椭圆E:

三+$=上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形.

（1）求椭圆£的方程：

（2）求A48c的面积.

20.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成

的图形，其中上半个圆所在圆方程是/+丁-4），-4=0,双曲线的左、右顶点A、B

是该圆与入轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.

（1）试求双曲线的标准方程：

（2）记双曲线的左、右焦点为6、月，试在“8”字形曲线上求点尸，使得乃是直角.

21.对于曲线C：

/（x,y）=。

，若存在非负实常数M和〃？

，使得曲线C上任意一点尸（乂丁）有〃?

<|OP|WM成立（其中。

为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界”0成为曲线。

的外确界，最大的内界成为曲线。

的内确界.

（1）曲线）*=4x与曲线（x—l『+y2=4是否为“有界曲线”？

若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由：

（2）已知曲线。

上任意一点P（x,y）到定点式（-1,0）,玛（1,0）的距离之积为常数

4（。

＞0）,求曲线。

的外确界与内确界.

参考答案

1.arctan2

4

【解析】

【分析】

3根据tana=A=二即可得解.

4

【详解】

33

;直线3%-4）-5=0,，直线的斜率是二，，tana=—,ae[0,/r],44

3:

.a=arctan—,

4

3故答案为：

arctan-.

4

【点睛】

本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，考查了反三角函数的概念，属于基础题.

2.

"122、

【分析】

_AB

先求出AB=（12,5）,再利用与而同向的单位向量为j=j即可得解.

【详解】

V04=（-5,4）,历=（7,9）,••・A分=O4—OX=（12,5）,卜石=g+5'=13；

AB（125）

，与4月同向的单位向量的坐标为何|=［百，百卜

故答案为:

（125）〔GIL，

【点睛】本题考查了向量的线性运算和单位向量的概念，属于基础题.

3.2

【分析】

根据线性方程组的增广矩阵写出方程组的形式,根据它的解可以求出相关系数,最后计算即

可.

【详解】

02）fttv+0-y=2[ax=2J所以有〈八/j={.

1b）[0•x+1-y=Z?

\

4=1

=a+〃=2.

b=\

因为线性方程组的增广矩阵为

解为

x=2

「所以有〈）'=1

。

・2=2

=

\=b

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了增广矩阵的概念，考查了数学运算能力.

4.3

【分析】

2k

由题意可知求得412=一]=〃+4,代入即可求得k的值.

【详解】

6-31

由题意可知：

设A=25攵，

14-2

2k

元素一3的代数余子式42=-]_2=女+4，

%+4=7,

:

.k=3,

故答案为：

3.

【点睛】

本题考查了代数余子式的概念和二阶行列式的计算，属于基础题.

5.++（y-5）-=17

【分析】

由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径后即可得解.

【详解】

•・,点P（3,4）和点。

（一5,可,设圆心为C,半径为r,

以点尸（3,4）和点（2（-5,6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为C（—1,5）,

圆的半径r=^\PQ\=1>/（3+5）2+（4-6）2=>/17.

・••圆的方程为：

（x+l『+（y—5）2=17.

故答案为：

（x+l）2+（y—5）2=17.

【点睛】

本题考查了中点坐标公式、两点间距离公式和圆的标准方程，属于基础题.

6.x=—2

【分析】

由已知得抛物线的焦点厂（2,0）,由此能求出该抛物线的准线方程.

【详解】

;顶点在原点的抛物线的焦点与圆X2+=0的圆心重合，

•••抛物线的焦点厂（2,0）,

A该抛物线的准线方程为x=-2.

故答案为：

x=—2.

【点睛】本题考查了由圆的一般方程确定圆的圆心和抛物线的性质，属于基础题.

3

7.-

2

【分析】

2乃BA-AC

利用余弦定理得到乙4=1-,再利用投影公式下可计算得到答案.

【详解】

\AB\=3,1BC1=7,1CA1=5,利用余弦定理得到:

|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|-|AC|cosA解得cosA=--：

.ZA=—

丽在求方向上的投影沏篙」即塞:

f!

悭昌

3故答案为：

—

2

【点睛】

本题考查了余弦定理，投影公式，混淆向量的夹角是容易发生的错误.

8.1

4

【分析】

根据题设条件求出渐近线的斜率±4,结合方向向量建立方程即可求出〃.

【详解】

・.•双曲线公,一y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量2=（2,一1）,

・••渐近线的斜率—«=—,，

故答案为：

一.

4

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程和方向向量的概念，属于基础题.

9,”

2

【解析】

试题分析：

根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定

2—.1—-22121115

ABBD=AB（-AB+^AC）=-AB+—A8・AC=二・9+—・3・3・一=—,故答案为33333322

15

'2'

考点：

平而向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质.

10.4

【分析】

MAP”用中，由勾股定理及双曲线的定义，结合AP”鸟面积为16,利用等量关系可得出

4a2=4c2-64»即可求出b.

【详解】设|P4|=加，俨周=〃,

PFjPF；,得N"产乙=90。

，••.〃?

2+〃2=402,

△户"E的面积为16,=32

4（r=（"?

-n）2=4c2-64,

b2=c2—a2=16，

**•Z?

=4.

故答案为：

4.

【点睛】

本题考查了双曲线的性质，考查了方程思想和整体意识，属于中档题.

11.2

【解析】

本题考查椭圆标准方程，几何性质，函数思想的应用.

22

椭圆5+y2=1中心0（0,0）,左焦点F（-I,o）;设P（x,y）,则）,=1-£_（_./2

2

是1。

尸|2+\PF|2=x2+y2+（x+l）+r=x2+2（l-—）+（x+l）22

=（x+1）2+2（->/2

0|2+|尸产|2取最小值，最小值是2.

12.y2=2x-\

【分析】

先利用抛物线定义得圆心G、G的轨迹，再利用相关点法代入求解M的轨迹方程

【详解】

由题意，两个动圆均过4L。

）且与直线/：

工=—1相切，则圆心G、G的轨迹为抛物线

y2=4x,设M（x,y）,由2日可=自"+则M为4cl的中点,即G（2x-l,y）

故4y2=4（2]-1）,即M的轨迹方程为丁=2x—l

故答案为：

y2=2x-\

【点睛】

本题考查抛物线定义求轨迹，考查向量的几何意义，考查相关点法求轨迹，是中档题

13.C

【分析】

二元一次方程组（

aix+b[y=a2x+b2y=c2

有唯一解与系数行列式不为零互为充要条件可得正确结

果.

【详解】

解：

由于二元一次方程组〈

有唯一解,

a[x+bxy=c{

^2^+b2y=c2

则系数行列式I/*"尸。

，

axx+b[y=g

工0”是“方程组〈:

有唯一解”的充要条件,

a2x+b2y=c2

故选：

C.

【点睛】

本题考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于事来处理，是基础题.

14.A

【分析】

根据框图，模拟计算即可得出结果.

【详解】程序执行第一次，s=0+2°=l，k=L第二次，S=l+T=3次=2,第三次,

S=3+23=ll次=3,第四次，S=ll+2,I>100^=4t跳出循环，输出〃=4,故选

A.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.

15.C

【分析】

做出P与。

中表示的图象，根据图像交点确定出两集合的交集，即可做出判断.

【详解】对于P中国+2|y|=5,

当x>0,y>0时，化简得：

x+2y=5：

当x>0,y<0时，化简得：

x—2y=5；

当x<0,y>0时，化简得：

-x+2y=5；

当x<0,yvO时，化简得：

-x-2y=5,

对于。

中，F+y2=5,表示圆心为原点，半径为#的圆,易知圆心到每条直线的距离均等于途.

做出图形，如图所示，PflQ中元素的个数是4个，

本题考查了含绝对值函数的化简和圆的标准方程，考查了转化化归思想、分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.

16.B

【分析】

设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的色>0,进而可b2b2

判断出焦点的位置.

【详解】

bX2V2

.・.渐近线方程为y=±—>0）,・・.不一封=。

0）vt/lyol>Z?

lxol>Of平方。

'；>/玉；，

两边除小/，野一色＞0,b2b2

户一户二双曲线的焦点在＞轴上.

故选：

B.

【点睛】

本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用,求解时要注意焦点落在x轴或y轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力.

17.

（1）（2,4）或（-2,—4）；

（2）%.

【分析】

（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解：

TT5

（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得再利用夹角公式计算即可.

2

【详解】

（1）设3=（工）'），・.・工1=26且1//N,

x=2

卜=4叫

x=-2

y=-4

]%2+/=20,,

・.〈，，解得

2x-y=0

1

.工=（2,4）或｝=（-2,-4）：

（2）由已知得・・•伍+2^），（25—6）,・・.（万+2』）・（2万—5）=0,

即2d2+3d・b-加=0..・.2x5+37〃-2x」=0,4

一5

整理得刁,8=一cos6=

2

cib,⑶⑸一又＜9e[O,7T],...6=兀,

【点睛】

本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.

18.犬=-2或x+JJy—l=0.

【分析】

根据条件求出直线，0的倾斜角，可得直线/的倾斜角，即可求得直线/的方程.

【详解】

由于直线/（）：

X—底，+2=0的斜率为无，故它的倾斜角为N，

36

由于直线/和直线/（）：

x-JJy+2=0的夹角为故直线/的倾斜角为二或军，326

故直线/的斜率不存在或斜率为-9.

3

再根据直线/经过点尸可得直线/的方程为工=一2,或）,一有=一半（工+2），

即1=-2或x+y/3y-\=0.

【点睛】

本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系、点斜式确定直线方程，属于基础题.

22

19.

（1）—+—=1

（2）6124

【分析】

（1）由题意可得“=2，再由正三角形的条件可得“=J初，解得〃，即可得到椭圆方程：

（2）由题意写出4点坐标，直线C3方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、3的

纵坐标，—%|，代入数值即可求得而积.2

【详解】

（1）A的坐标为（2褥,0）,即有a=2j?

，

椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，

可得4=病，解得〃=2,

22

则椭圆E的方程为土+t=1,

124

（2）直线8C的方程为旷=工，

代入椭圆方程/+3丁=12,得y=x=±6

•,*S\\BC=hoA[\yB-yc\=>/3x2y/3=6,乙

A48C的面积为6.

【点睛】

本题考查了椭圆方程的确定和椭圆与直线的位置关系，属于基础题.

22

20.

（1）工一江1,

（2）（正,&）,（-近，近），（-,-）・44

【解析】试题分析：

由于上半个圆所在圆方程是/+），2一4），-4=0,令，求出x=±2,得双曲线

的顶点，可知，又双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，令y=2：

x=±2点,

双曲线过点（2"：

2）,满足双曲线方程，待定系数法求出双曲线方程：

第二步由于点满足/我产鸟是直角，则点在以为圆心半径为的圆上，满足储+/=匕把圆的方程与双曲线方程联立解出交点坐标，由于储+J?

=8与上下两圆弧无交点，所以交点只有求出的四个.

22

试题解析：

（1）设双曲线的方程为二-二=1（。

>0,〃>0）,在已知圆的方程中，令,ab"

得4=0,即x=±2,则双曲线的左、右顶点为4（一2,0）、8（2,0）,于是，令y=2,可得％2一8=0,解得.±2&，即双曲线过点（±20,2）,则尚—3=1所以〃=2,

所以所求双曲线方程为—=1.

44

（2）由

（1）得双曲线的两个焦点E（—2jl0）,生（2点,0）,当/月尸5=90°时，设点

P（x,y）,

①若点在双曲线上,得工2一）,2=4,由耶取=0,有（工+2、巨）（工一2/）+产=0：

则

x2+v2=8,

1/

x2—y2=4x=

由｛,，，解得｛厂所以

厂-8+）广=0y=±y/2

耳（疯虎"（疯-夜）月（-疯闾，犬

②若点在上半圆上，则f+'2-4），-4=0（yN2）,由"户.入户=0,得

（X+2点）1-2。

+丁=0,

/+），分-4=。

%2+/-8=0

无解.

综上，满足条件的点有4个，分别为

P」瓜吟瓜瓜一耳P卜瓜耳P卜瓜-哈.

考点：

1.求双曲线方程：

2.求曲线的交点：

21.

（1）曲线V=4x不是“有界曲线”，理由见解析：

曲线（x—l『+y2=4是“有界曲

线”，其外确界为3,内确界为1：

（2）当0＜。

＜1时，曲线。

的外确界与内确界分别为而7,

JT^7；当时，曲线。

的外确界与内确界分别为而T，0：

当。

＞3时，曲线C的外确界与内确界分别为标T,JF.

【分析】

（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；

（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围1一〃＜/＜。

+],把/+/转化为

含有X的代数式，分类讨论得答案.

【详解】

（1）），2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0,无

最大值，

・・.曲线V=4x不是“有界曲线”：

・.•曲线（X—1）2+），2=4的轨迹为以（1,0）为圆心，以2为半径的圆，如图：

由图可知曲线（X—+丁=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3,则曲线

・一1）-+），2=4是，，有界曲线”，其外确界为3,内确界为1：

（2）由已知得：

J（x_1）2+），2.+1）2+y2=a,

整理得：

12+1）-4x2=a2»

:

.y2=-+1）,

•••）”。

，・•.心2+4„1，.,•（a-2+1）2<4x2+6/2,

•••（厂-1）~

•1-4Kx~

则x2+y2=x2+\）4x2+a2-（x2+1）=74x2+c『-1,

•\-a

：

.（a-2）2<4x2+a2<（a+2『，

即1〃-2《5/4工2+〃2（4+21，

当时，2-+a2^a+2•则1-+片一+1，

・••产TTW&ZT,则曲线c的外确界与内确界分别为而T,J匚7：

时，2-a^4x2+a2^a+2♦则1-a塌4f+/-+1，

：

・ojx2+y24而11，则曲线。

的外确界与内确界分别为67T，0；

当2<。

<3时，a一左J43++2，则a-3WJ4f+/-1工〃+1，

.♦.04尸丁<&71,则曲线。

的外确界与内确界分别为&TT,0；

当。

>3时，a-2^.\/4x2+a2^.a+2♦则。

-3工>/4弓2+/-1W++1，

则曲线C的外确界与内确界分别为JTTT，JF.

综上，当0C4V1时，曲线C的外确界与内确界分别为而了，J亡工：

当时，曲线C的外确界与内确界分别为历0；当。

＞3时，曲线。

的外确界与内确界分别为J7TT,y/n.

【点睛】

本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，属于难题.