课时跟踪训练41.docx

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课时跟踪训练41

课时跟踪训练（四十一）

一、选择题

1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

[解析]　当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.

[答案]　A

2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是（　　）

A．m∥β，α∥β

B．m⊥β，α⊥β

C．m⊥n，n⊥α，m⊄α

D．m上有不同的两个点到α的距离相等

[解析]　对于A，直线m可能位于平面α内．对于B，直线m可能位于平面α内．对于D，当直线m与平面α相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面α的距离相等．故选C.

[答案]　C

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

[解析]　l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α，可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错．故选B.

[答案]　B

4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α

[解析]　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．故选D.

[答案]　D

5．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线（　　）

A．只有1条B．只有2条

C．只有4条D．有无数条

[解析]　据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．故选A.

[答案]　A

6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，

F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

[解析]　∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，

∴EH∥B1C1.∴EH∥平面BCGF.

∵FG⊂平面BCGF，∴EH∥FG，故A对．

∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，∴B1C1⊥EF，

则EH⊥EF.由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故B对．

由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对，故选D.

[答案]　D

7．（2015·吉林九校联考）已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β

D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

[解析]　对于选项A，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故B正确；对于选项C，n可以平行β，也可以在β内，故C错；对于选项D，α与β可以相交，因此D错．故选B.

[答案]　B

8．（2016·云南检测）如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为（　　）

A.

B．

C．44D．45

[解析]　取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊

AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．因为AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝

·

＝

.故选A.

[答案]　A

9．（2015·广东七校联考）设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

[解析]　对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．故选D.

[答案]　D

10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝

，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

[解析]　由AC⊥平面DBB1D1可知AC⊥BE.故A正确．EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．

A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离为

，且S△BEF＝

BB1×EF＝定值，

故VA－BEF为定值，即C正确．

△AEF的面积为

，△BEF的面积为

，两三角形面积不相等，故D错误．故选D.

[答案]　D

二、填空题

11．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

[解析]　由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为

.

[答案]　

12．已知m、n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

上面的命题中，真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）．

[解析]　①由m∥α，则m与α内的直线无公共点，

∴m与α内的直线平行或异面，故①不正确．

②α∥β，则α内的直线与β内的直线无公共点，

∴m与n平行或异面，故②不正确．

③④正确．

[答案]　③④

13.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

[解析]　因为平面NHF∥平面B1BDD1，所以当M点满足在线段FH上，有MN∥平面B1BDD1.

[答案]　M∈线段FH

三、解答题

14．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

[证明]　证法一：

如图1，延长AD，BC交于点F，连接EF.

因为CB＝CD，∠BCD＝120°，

所以∠CBD＝30°.

因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

所以AB＝

AF.

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC.

证法二：

如图2，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

∴MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.

15．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别为B1C1、C1D1的中点．

（1）求证：

四边形BDFE是梯形；

（2）求证：

平面AMN∥平面EFDB.

[证明]　

（1）连接B1D1.

在△B1D1C1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，

∴EF綊

B1D1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

四边形BDD1B1是矩形，

∴BD綊B1D1，∴EF綊

BD.

∴四边形BDFE是梯形．

（2）在△A1B1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，

∴MN∥B1D1，由

（1）知，EF∥B1D1，

∴MN∥EF.

在正方形A1B1C1D1中，F为C1D1的中点，M为A1B1的中点，

∴FM綊A1D1，

而正方体的侧面ADD1A1为正方形，

∴AD綊A1D1，∴FM綊AD，

∴四边形ADFM为平行四边形，

∴AM∥DF.

又∵AM∩MN＝M，EF∩FE＝F，

∴平面AMN∥平面EFDB.

16．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M、N分别是AF、BC的中点）．

（1）求证：

MN∥平面CDEF；

（2）求多面体ACDEF的体积．

[解]　

（1）证明：

由已知得此多面体为直三棱柱．

取BF的中点G，连接MG、NG，

由M、N分别为AF、BC的中点可得NG∥CF，MG∥EF，

∴可得平面MNG∥平面CDEF，

又MN⊂平面MNG，

∴MN∥平面CDEF.

（2）由三视图可知AB＝BC＝BF＝2，

DE＝CF＝2

，∠CBF＝

.

取DE的中点H，连接AH.

∵AD＝AE，∴AH⊥DE，

又∵在直三棱柱ADE－BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF＝DE.

∴AH⊥平面CDEF.

∴多面体ACDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，

∵易得AH＝

.S矩形CDEF＝DE·EF＝4

，

∴棱锥A－CDEF的体积为

V＝

·S矩形CDEF·AH＝

×4

×

＝

.