计算旋转体体积的“柱壳法”_精品文档.ppt
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美国的微积旋转所得旋转体的体积的公式。
美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫ShellMethod）。
柱壳法的思路柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。
起来，得到旋转体的体积。
柱壳法的方便之处：
柱壳法的方便之处：
虽然图形是绕虽然图形是绕y轴旋转，轴旋转，但是柱壳法却是沿但是柱壳法却是沿x轴积分。
这样做有时会轴积分。
这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。
给我们的计算带来极大的便利。
四川大学数学学院徐小湛May2012设设由曲线由曲线y=f（x）,y=0,x=a,x=b所围成的曲所围成的曲边梯形边梯形绕绕y轴旋转一周轴旋转一周，得一旋转体。
，得一旋转体。
求旋转体的体积求旋转体的体积V。
四川大学数学学院徐小湛May2012用以下方法求体积元素：
用以下方法求体积元素：
体积元素是一层柱壳的体积的近似值体积元素是一层柱壳的体积的近似值四川大学数学学院徐小湛May2012柱壳柱壳柱柱壳壳半半径径柱柱壳壳的的高高度度柱柱壳壳的的厚厚度度体积元素是一层柱壳体积元素是一层柱壳的体积的近似值的体积的近似值柱壳法柱壳法四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012柱壳法示意图柱壳法示意图四川大学数学学院徐小湛May2012柱壳法示意图动画柱壳法示意图动画四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012解解例例求求与与x轴所围成的图形分别绕轴所围成的图形分别绕x轴和轴和y轴轴所得的旋转体的体积。
所得的旋转体的体积。
同济大学同济大学高等数学高等数学（第六版）（第六版）286页页20题。
题。
四川大学数学学院徐小湛May2012用用“圆片法圆片法”求绕求绕x轴的旋转体体积：
轴的旋转体体积：
四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012用用“柱壳法柱壳法”求绕求绕y轴的旋转体体积：
轴的旋转体体积：
四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012例例求摆线求摆线与与x轴所围成的图形轴所围成的图形绕绕y轴轴所得的旋转体所得的旋转体的体积。
的体积。
四川大学数学学院徐小湛May2012用用“柱壳法柱壳法”求图形求图形绕绕y轴轴所得的旋转体的体积。
所得的旋转体的体积。
2010.4.7四川大学数学学院徐小湛May2012附：
国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍四川大学数学学院徐小湛May2012VolumesbyCylindricalShells美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012四川大学数学学院徐小湛May2012同济大学同济大学高等数学高等数学（第六版）（第六版）286页页在一道习题中要求学生推导在一道习题中要求学生推导“柱壳法柱壳法”。
四川大学数学学院徐小湛May2012
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