计算固体04_精品文档.ppt

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第四章第四章材料非线性有限元法材料非线性有限元法固体力学或结构力学问题，从本质上讲是非线性的，线性假设只是实际问题的一种简化线性假设为分析固体或结构提供了方便的求解方法，也解决了很多科学和工程问题然而，在相当多的情况下，需要进一步考虑固体材料的非线性问题对于固体力学或结构力学的非线性问题来说，有限元分析是最有效的数值方法因此，本章将介绍材料非线性有限元分析的有关内容在线性分析中，假设材料的本构关系是线性的，即应力与应变呈线性关系，在很多情况下，这个假设能给分析带来既简单又相当精确的结果但是在有些情况下，如固体结构处于高应力水平，结构内的应力集中区，材料不再呈线性性态，此时应力与应变关系为非线性性态，这些区域虽为结构的局部区域，但结构的损伤与破坏却由这些区域开始，以至导致结构的失效因此，研究材料的非线性问题是一个相当重要的课题在本构关系中，凡是放弃材料线性关系的理论，均属于非线性非线性范畴在这个范畴内，又根据不同的材料性态，区分不同的力学范围，提出不同的本构理论本构理论，建立不同本构方本构方程程研究材料非线性问题，在建立本构方程时，仅考虑应力、应变两个物理参数，但两者成非线性关系，其中若结构恢复无外载状态后，无残余应变存在称为非线性弹性非线性弹性，若存在残余应变，则称为弹塑性弹塑性有些材料即使结构承受的应力保持不变，它们也会发生附加的变形，显示材料的变形与时间相关，对于大多数金属而言，此特性在高温下比较明显材料的这种时间相关特性，在一定的时间内，在一定的载荷作用下，结构出现的变形称为蠕变蠕变有些材料（如高分子材料等）应力与应变表现出弹性性质，但却与加加载速率载速率有关。

材料中的总应力由对应于弹性变形的应力和粘性阻尼所产生的应力组合而成在加载速率缓慢状态下，粘弹性介质的表现如同弹性介质一样当应变率加大时应力随之增大材料的这种与时间相关的特性称之为粘弹性粘弹性有些材料在某种应力水平（称为屈服应力）之下，弹性性质与应变率无关当应力超过屈服应力屈服应力时，材料呈弹塑性性质弹塑性性质且与应变率应变率有关，也即介质总应力为对应的塑性应力塑性应力与粘性粘性阻尼阻尼所产生的应力组合这种现象称之为粘塑性粘塑性（或弹性粘塑性）本节将分别讨论弹塑性、蠕变和弹粘塑性等问题的有限元计算方法图4.1材料的单轴拉伸试验曲线4.1弹塑性有限元分析弹塑性有限元分析我们从材料的单轴拉伸试验曲线上（图4.1）可观察到弹塑性材料的某些特性从自然状态出发，存在一个屈服极限屈服极限对应于图上的A点），低于这个极限应力时，应力与应变呈线性关系超过这个极限（例如达到B点）时，应力与应变之间不但不是线性关系，而且在卸载后，变形仅部分地恢复，另一部分作为塑性变形塑性变形保留下来因此，应力与应变之间不再像非线性弹性那样是单值对应的，应力和应变与变形的历史有关随着塑性变形的出现和发展，材料对外部作用的反应也不同了，例如屈服极限值可因塑性变形而提高，具有塑性变形的试件重新加载时，达到B点之后才开始出现新的塑性变形，这种屈服极限（相对于初始的值）提高的现象叫做强化强化，随着塑性变形的发展屈服极限降低的现象叫软化软化，而随塑性变形的发展，屈服极限保持不变的性质叫理想塑理想塑性性4.1.1材料的屈服准则屈服准则在一般的应力状态下建立弹塑性的本构理论，需要将上述单向应力状态下建立的概念加以推广，屈服条件就是屈服应力概念的推广在多向应力条件下的屈服条件不再是应力应变曲线上的一个点，而是以应力分量或应变分量为坐标的空间中为曲面，这个面称为屈服面，用数学表达式描述屈服面的函数称为屈服函数屈服函数，也称屈服准则屈服准则塑性理论的第一个研究内容是材料的屈服准则屈服准则研究表明，各种材料的屈服准则是不同的下面介绍最常用的四个屈服准则：

（一）屈雷斯卡（Tresca）准则屈雷斯卡根据一系列挤压试验结果，提出当材料中的最大剪应力最大剪应力达到极限值时发生屈服。

当主应力按的次序排列时，屈雷斯卡条件可写为：

或式中为材料的剪切屈服应力，它可以通过纯剪切试验，或简单拉伸试验确定在简单拉伸时，则由此可知，屈雷斯卡准则预测材料的剪切屈服应力为拉伸屈服应力的一半，即一般情况下，屈雷斯卡准则可以叙述为或中任一对主应力之差的绝对值等于时，材料发生屈服，其屈服条件为

（二）米赛斯（vonMises）屈服准则米赛斯准则认为，对于各向同性材料，当应力偏量的第二不变量等于某一定值时，材料就进入屈服，即其中是应力偏量的第二不变量是根据简单应力状态下的材料试验给出的屈服参数.可用应力分量表示:

在纯剪切情况下，因此，为剪切屈服应力,在单向拉伸情况下，因而：

通常引入等效应力和等效应变,等效应力把一个多维应力状态用单轴应力等效起来，以便判断其屈服情况等效应力等效应力的定义为与等效应力对应的等效应变定义为其中偏应变张量定义为在单向拉伸情况下，而不为零，其余三个切应变分量为零，因此米赛斯屈服条件也可写为（三）杜拉克普拉格（Drucker-Prager）屈服准则对于岩石，土等地质材料，vonMises屈服准则是不准确的，应当考虑静水压力及材料内聚力与摩擦角的影响因此，Drucker-Prager在考虑这些因素后，对vonMises准则进行推广，提出了以下准则表达式：

其中是应力张量的第一不变量,定义为反映静水应力的影响，式中的和是材料常数，它们与工程中常用的内聚力和摩擦角之间存在下列关系：

（四）希尔（Hill）正交各向异性屈服准则在深冲钢板和冷轧钢板等冷加工时，工件产生塑性变形后，材料会出现正交各向异性，希尔最早提出了正交各向异性材料的塑性屈服条件：

其中为某一方向上的屈服应力，称为当量各向同性屈服应力，而为材料的正交各向异性常数，当这些常数满足下列条件时：

则希尔屈服条件就退化为各向同性材料的米赛斯屈服条件要使用希尔正交各向异性屈服条件就要确定屈服条件式中的六个材料常数一般可以在正交各向异性的主轴选取试样，并得到相应的屈服应力,于是由屈服条件得到：

此外，用试验的方法测得对应于轴，轴和轴的剪切屈服应力，于是由屈服条件式可得：

若取为轴方向的屈服应力，只要测量出，就可以从前面的公式确定这些材料常数4.1.2强化理论塑性理论中第二个研究问题是材料的强化规律，材料在初始屈服后，继续加载时屈服面在应力空间中的变化规律它对应于材料在单轴拉伸曲线中的强化现象材料在塑性流动情况下，屈服条件在不断变化，其弹性极限增大在复杂多维应力状态下描述这种现象要复杂得多，好在有了屈服函数的概念屈服函数在应力空间描述了一个空间曲面，并以它区分介质处于何种状态，在曲面内介质处于弹性在曲面上增加一应力增量，材料有两种不同的反应，一种是有新的塑性应变增量出现，这种情况称为塑性加载（简称加载），另一种情况是没有新的塑性应变发生，反应是纯弹性的，这种情况叫塑性卸载（简称卸载）在卸载期间，材料是由一个塑性状态退回到一个弹性状态，即应力点离开屈服面而加载期间，材料从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，应力点保持在屈服面上对于理想塑性材料，用公式表示的加-卸载准则是（图4.2a）：

卸载加载图4.2材料的加载和卸载对于强化材料，在加载和卸载之间存在一个中间情况，即中性变载，在中性变载期间没有新的塑性应变发生，但应力点保持在屈服面上这时的加-卸载准则是（图4.2b）：

卸载中性变载加载对于软化材料（图4.2c），在加载时屈服面收缩，应力增量也指向当时屈服面的内侧，因而不能给出一个区别加载和卸载的表达式对于加载曲面在应力空间中的运动形式，也即多维情况下材料强化模式，当前有各向同性强化，随动强化和联合强化三种理论，后两种理论考虑包辛格（Bauschinger）效应在循环加载或可能出现反向屈服的问题中，需要使用后面两种强化模型下面简单介绍这三种强化模型强化模型（一一）各向同性强化理论各向同性强化理论这个理论假设加载面的中心在应力空间中不产生位移，加载后的屈服面均匀（各向同性地）膨胀（图4.3a），并随着塑性变形的增加保持相似形状，这时的后继屈服面仅决定于一个参数，等向强化的后继屈服面可表示为：

其中参数是标量内变量的函数为得到，可将上式退化至单向受力状态例如从vonMises准则（4.1.2）退化到单向受力状态时，可得：

材料在强化时的应力值定义为，称之为流动应力，可由单轴拉伸试验确定，可得：

图4.3材料的强化（二二）随动强化理论随动强化理论这个理论认为加载曲面在变形方向受到一个刚性位移（图4.3b），而加载曲面的形状不变后继屈服面可以表示为：

这里是一个常数，为加载面中心的位移，它与塑性应变历程有关一般来说，它们之间关系应当用微分表示为：

对于线性随动强化则可写为：

与各向同性强化相同，可将多维问题退化为单轴加载问题来得到式中的对vonMises准则而言：

式中是单轴试验的初始屈服应力将上式退化到单轴状态，由此可推出屈服后的应力值为：

对于线性强化材料与单向材料试验对比，是单向曲线的斜率（三三）膨胀与随动联合强化膨胀与随动联合强化这是前面两种理论的组合，加载曲面在所有方向上均发生移动和膨胀，但形状不变其中是控制屈服面各向同性膨胀或收缩的一个函数，是累积塑性应变或塑性功有关的自变量塑性理论本构关系，即塑性应变与应力之间的关系，也称塑性流动规律有二种塑性理论：

（1）塑性流动理论塑性流动理论，也称增量理论，它讨论塑性应变增量与当前应力及应力增量之间的关系

（2）塑性形变理论塑性形变理论，或称全量理论，是讨论塑性应变本身与应力间的关系当前在有限元法中基本上采用增量理论所以，这里仅介绍增量理论有关的内容4.1.3塑性本构关系塑性本构关系在材料进入塑性后，假设无限小应变增量可分解为弹性应变分量的增量和塑性应变分量的增量之和其中的弹性应变分量的增量与应力增量之间满足虎克定律：

而塑性应变增量遵从流动法则：

式中为加载曲面表达式，是与应力塑性应变单轴曲线斜率有关的量，是非负的尺度因子,可以根据屈服准则和强化理论来确定这个量上式与具体屈服函数联系在一起，因此称之为相关塑性流动法则该式同样也表明，塑性应变增量方向是该点加载曲面法线方向，通常称之为正交法则.有了塑性理论的基本公式后，就可以推导能用于有限元计算的应力增量与应变增量之间的关系我们设材料的屈服函数可表示为下列形式：

其中称为强化参数，不同的材料强化情况，就有不同的形式它与塑性应变有关，在塑性变形中，应力点始终保持在随而变的加载面上因而有：

在塑性理论中此式称为一致性条件从前面的公式可得：

在上式两边乘以并将一致性条件代入可得：

设为等效塑性应变和温度的函数，则有其中等效塑性应变增量定义为注意到等效塑性应变增量式与等效应变式的定义有所不同，因为在塑性理论中假设塑性体积应变为零，即塑性应变时取，因此，塑性应变偏量与塑性应变相同，所以用上式定义等效塑性应变增量由上述几个公式和塑性应变增量的流动法则可得：

其中最后得到：

其中称为弹塑性矩阵，其表达式为：

这两个公式用矩阵表示时可写为：

有了弹塑性矩阵的公式以后就可以将线弹性有限元的方程直接推广到弹塑性的情况对于不同的屈服函数和强化规律，可得到不同的弹塑性矩阵形式，下面以vonMises屈服函数和各向同性强化材料为例，推导弹塑性矩阵的形式对于这种材料加载曲面函数可写为：

由此可得：

在三维情况下可以证明：

材料加载曲面函数中的是塑性功的函数注意到在单向拉伸情况下：

由此可以看出，为等效应力与等效塑性应变曲线的斜率，或称硬化率，当材料为线性硬化时，它是常数，否则为与加载历程有关的变量汇总后，对于vonMises屈服条件下，vonMises加载函数的各向同性材料的弹塑性矩阵为：

下面介绍正交各向异性材料的弹塑性矩阵。

正交各向异性材料的弹性矩阵为：

如果用试验方法测得与三个主轴方向相应的弹性模量，剪切模量,泊松比，则弹性模量和泊松比之间满足如下关系：

由于有这三个关系，所以，三个弹性模量和六个泊松比中只有六个独立常数，再加上三个剪