小学阶段必须掌握的数学公式和定理.docx

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小学阶段必须掌握的数学公式和定理

小学阶段必须掌握的数学公式定理

要求：

小学一年级 九九乘法口诀表。

学会基础加减乘。

小学二年级 完善乘法口诀表，学会除混合运算，基础几何图形。

小学三年级 学会乘法交换律，几何面积周长等，时间量及单位。

路程计算，分配律，分数小数。

小学四年级 线角自然数整数，素因数梯形对称，分数小数计算。

小学五年级 分数小数乘除法，代数方程及平均，比较大小变换，图形面积体积。

小学六年级 比例百分比概率，圆扇圆柱及圆锥

一、单位换算：

长度单位换算 

1千米=1000米    1米=10分米    1分米=10厘米    1米=100厘米  1厘米=10毫米 

面积单位换算 

1平方千米=100公顷    1公顷=10000平方米    1平方米=100平方分米              1平方分米=100平方厘米      1平方厘米=100平方毫米 

体（容）积单位换算 

1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米          1立方分米=1升 

1立方厘米=1毫升                1立方米=1000升 

重量单位换算 

1吨=1000 千克          1千克=1000克          1千克=1公斤 

人民币单位换算 

1元=10角      1角=10分    1元=100分 

时间单位换算 

1世纪=100年        1年=12月        1日=24小时      1时=60分 

1分=60秒          1时=3600秒

大月（31天）有:

1\3\5\7\8\10\12月          小月（30天）的有:

4\6\9\11月 

平年2月28天, 闰年2月29天          平年全年365天, 闰年全年366天 

二、图形的面积体积公式：

1、长方形的周长=（长+宽）×2    C=（a+b）×2 

2、正方形的周长=边长×4          C=4a 

3、长方形的面积=长×宽          S=ab 

4、正方形的面积=边长×边长        S=a.a= a 

5、三角形的面积=底×高÷2          S=ah÷2 

6、平行四边形的面积=底×高          S=ah 

7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2    S=（a＋b）h÷2 

8、 直径=半径×2    d=2r        半径=直径÷2    r= d÷2 

9、 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2          c=πd =2πr 

10、圆的面积=圆周率×半径×半径          Ѕ=πr 

11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2      S=（ab+ah+bh）×2

12、长方体的体积 =长×宽×高        V =abh 

13、正方体的表面积=棱长×棱长×6      S =6a 

14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长    V=a.a.a= a 

15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高    S=ch 

16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积  S=2πr +2πrh=2π（d÷2） +2π（d÷2）h=2π（C÷2÷π） +Ch 

17、圆柱的体积=底面积×高          V=Sh        V=πr h=π（d÷2） h=π（C÷2÷π） h 

18、圆锥的体积=底面积×高÷3        V=Sh÷3=πr h÷3=π（d÷2） h÷3=π（C÷2÷π） h÷3

三、基本定义与运算定律

数与数字的区别：

数字（也就是数码），是用来记数的符号，通常用国际通用的阿拉伯数字 0~9这十个数字。

其他还有中国小写数字，大写数字，罗马数字等等。

数是由数字和数位组成。

0的意义：

0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限。

如温度等。

0是一个完全有确定意义的数。

0是最小的自然数，是一个偶数。

00是最小的自然数，是一个偶数。

是任何自然数（0除外）的倍数。

0不能作除数。

自然数：

用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。

简单说就是大于等于零的整数。

整数：

 自然数都是整数，整数不都是自然数。

小数：

小数是特殊形式的分数，所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点。

但是不能说小数就是分数。

混小数（带小数）：

小数的整数部分不为零的小数叫混小数，也叫带小数。

纯小数：

小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。

有限小数：

小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。

无限小数：

小数的小数部分有无数个数字（不包含全为零）的小数，叫做无限小数。

循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。

例如，圆周率π也是无限小数。

循环小数：

小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

例如：

0.333……，1.2470470470……都是循环小数。

纯循环小数：

循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。

混循环小数：

与纯循环小数有唯一的区别，不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数。

无限不循环小数：

一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。

分数：

表示把 “单位1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，叫做分数。

真分数：

分子比分母小的分数叫真分数。

假分数：

分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。

带分数：

一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。

带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。

十进制：

十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。

特点是相邻两个单位之间的进率都是十。

10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。

常说“满十进一”，这种以“十”为基数的进位制，叫做十进制。

加法：

把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。

减法：

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

减法是加法的逆运算。

其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。

乘法：

求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。

其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”，结果叫“积”。

除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。

除法是乘法的逆运算。

其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。

加法交换律：

两个数相加，交换两个加数的位置，和不变，叫做加法交换律。

 a+b=b+a

加法结合律：

三个数相加，先把前二个数相加，再加第三个数，或者，先把后二个数相加，再加上第一个数，其和不变。

这叫做加法结合律。

  a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）

减法性质：

在减法中，被减数、减数同时加上或者减去一个数，差不变。

a-b=（a+c）-（b+c）      ab=（a-c）-（b-c）

          在减法中，被减数增加多少或者减少多少，减数不变，差随着增加或者减少多少。

反之，减数增加多少或者减少多少，被减数不变，差随着减少或者增加多少。

在减法中，被减数减去若干个减数，可以把这些减数先加，差不变。

a –b - c = a - （b + c）

乘法的交换律：

两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，叫做乘法的交换律。

a×b = b×a

乘法的结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数，或者，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。

这叫做乘法结合律。

a×b×c = a×（b×c）

乘法分配律：

两个数的和（或差）与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加（或相减）。

这叫做乘法分配律。

 （a + b） ×c= a×c + b×c

（a - b）×c= a×c - b×c

乘法的其他运算性质：

一个因数扩大若干倍，必须把另一个因数缩小相同的倍数，其积不变。

a×b = （a×c） ×（ b÷c）

除法的运算性质:

商不变性质,两个数相除，被除数和除数同时扩大或者缩小相同的一个数（0除外），商的大小不变。

  a÷b=（a×c）÷（b×c）    a÷b=（a÷c）÷（b÷c ）

一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。

a÷b÷c = a÷（b×c）

乘法的意义:

求几个相同加数的和是多少？

例如：

27×13，表示求13个27的和是多少？

也可以表示求27的13倍是多少？

求一个数的若干倍是多少？

例如：

27×0.3或者的意义：

求27的十分之三是多少？

除法的意义：

一个数里有几个除数。

简称“包含除法”。

 例如，24÷3表示24里面包含有几个3。

一个数是另一个数的多少倍。

例如：

24÷3，表示24是3的多少倍？

把一个数平均分成若干份，每份是多少？

简称“等分除法”。

例如：

24÷3，表示把24平均分成3份，每份是多少？

已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

例如：

，表示：

已知一个数的三分之一是24，求这个数。

整除与除尽

整除：

甲数除以乙数（甲、乙为自然数），商是整数，余数为零。

就说甲数能被乙数整除。

除尽：

甲数除以乙数（乙数不为零），商是有限数。

就说甲数能被乙数除尽。

整除可以说是除尽，但除尽就不能说一定叫整除。

例如：

1÷5＝0.2，叫除尽，但不叫整除。

因为商是小数。

又如：

10÷3＝3……1，既不叫整除，（因为余数不为零）也不叫除尽。

约数和倍数：

当甲数能被乙数整除时，就说甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的约数。

这两个概念都是相对而存在。

一个自然数，不存在是否倍数与约数。

例如：

“3是约数”，就是一个错误说法。

只能是对3、6、9、……等数而言，是其中某个数的约数。

奇数与偶数：

凡是能被2整除的数叫偶数，反之，不能被2整除的数叫奇数。

质数（素数）与合数：

一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。

反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。

由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。

公约数：

几个数公有的约数，叫做公约数。

它的个数是有限的，既有最大的，也有最小的。

互质数：

两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。

质数与互质数：

两个质数，不能肯定就是互质数。

只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。

另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。

质因数：

把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这样的质数叫做质因数。

分解质因数：

把一个合数分解成几个质数相同的形式，就叫做分解质因数。

公倍数：

几个数公有的倍数，叫做公倍数。

它的个数是无限的，只有最小的，没有最大的。

最大公约数：

几个数公有的约数中，最大的一个就叫做这几个数的最大公约数。

最小公倍数：

几个数公有的无限个倍数中，最小的一个，就叫做这几个数的最小公倍数。

能被2整除的判断方法：

一个数能否被2整除，只要看这个数的末尾是否有0、2、4、6、8这五个数的其中一个即可。

能被5整除的判断方法：

一个数能否被5整除，只要看这个数的末尾是否有0、5这两个数的其中一个即可。

能被3整除的判断方法：

一个数能否被3整除，只要看这个数的各个数位上的数字和能否被3整除。

分数单位：

分子为1分母不为零的真分数，叫这个分数的分数单位（带分数要化成假分数）。

分数化有限小数的判断方法：

一个分数能否化成有限小数，主要看分母（这里的分数一定是最简分数）是不是只有质因数“2或5”。

掺杂任何其他质因数，都不能化成有限小数，反之，就一定能化成有限小数。

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数（零除外），分数的大小不变，这叫分数的基本性质。

分数的通分、约分

通分：

把几个单位不同的分数，化成相同单位，且大小不变的分数，叫做通分。

约分：

把一个分数化成同它相等的，分子、分母较小的分数，叫做约分。

最简分数：

分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

分数计算到最后，得数必须化成最简分数。

分数的加、减法则：

同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法法则：

用分子的积做分子，用分母的积做分母。

分数的除法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

分数大小的比较：

同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。

异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

分数乘整数：

用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

分数乘分数：

用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

分数除以整数（0除外）：

等于分数乘以这个整数的倒数。

百分数：

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

百分数又叫百分率或百分比。

百分数是特殊分数。

特征是分母为100，采用符号“％”（叫做百分号）来表示。

分子可以是整数，也可以是小数。

小数化成百分数：

只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100%就行了。

百分数化成小数：

只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

分数化成百分数：

通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100%就行了。

百分数化成分数：

先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

百分率：

两个相同量的比的比值，用百分数和的形式表示时，这个比值叫做这两个量的百分率，也叫百分比。

通常的“××率”就是百分数。

如“出勤率”等。

方程式：

含有未知数的等式叫方程式。

一元一次方程式：

含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程

准确数与近似数（近似值）：

与实际情况完全符合的数，叫做准确数。

与实际情况接近而有一定误差的数，叫做近似数（或叫近似值）。

名数与不名数：

量数与计量单位名称合起来叫做名数。

例如：

7米、18千克、9时25分等都叫名数。

没有带单位名称的数，叫做不名数。

如2、4、6、8等，都叫不名数。

单名数与复名数：

只含有一个计量单位名称的名数叫做单名数。

 例如7米、18千克等都叫做单名数。

含有两个或者两个以上的同类计量单位名称的名数，叫做复名数。

例如：

2米3分米5厘米，8小时33分，8吨8千克等都叫复名数。

高级单位与低级单位：

计量单位较大的叫做高级单位，计量单位较小的叫做低级单位。

高、低级单位是相对的，没有单个的高、低级单位的名数。

公历年的平年、闰年

平年：

把公历年份除以4（这里不是整百的公历年份）有余数时，就把这一年叫做平年，计365天。

其中二月份有28天。

闰年：

把公历年份除以4（这里不是整百的公历年份）余数为零时，就把这一年叫做闰年，计366天。

其中二月份有29天。

如果年份是整百的，则除以400，再看余数。

时刻与时间：

时刻表示一天内某一个特指的时候，例如上午8时30分开会，这里的“8时30分”这是时刻。

时间表示两个是期或两个时刻的间隔。

例如，做作业用去30分钟，这里的“30分钟”就是时间。

比和比值：

比：

两个数相除，叫做两个数的比。

一般地当数a除以b（b≠0）就叫做a与b的比，记作a:

b。

也可以用分数形式表示为。

比值:

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

比和比值有本质的不同。

如既可看作是比，又可看作是比值。

比的化简：

把一个比化为最好简整数比，叫做比的化简。

一般情况下，化简以后的比，前后两项为互质数。

比例：

表示两个比相等的式子叫做比例 。

  如3:

6＝9:

18

比例的基本性质：

在比例里，两外项之积等于两内项之积。

解比例：

求比例中的未知项，叫做解比例。

如3:

χ＝9:

18

正比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

  用字母表示：

X/Y=K（一定）    kx=y

反比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母表示：

XY=K（一定）k / x = y

利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）

利率：

利息与本金的比值叫做利率。

一年的利息与本金的比值叫做年利率。

一月的利息与本金的比值叫做月利率。

代数：

代数就是用字母代替数。

代数式：

用字母表示的式子叫做代数式。

如：

3x =ab+c

直线：

没有端点，可以向两端无限延长。

射线：

只有一个端点。

可以向一端无限延长。

线段：

有两个端点。

射线和线段都是直线的一部分。

两点之间，线段最短。

垂线、垂足：

两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足。

从直线外一点到直线所画的线段中，垂线最短。

角：

锐角（小于90的角）、直角（等于90的角）、钝角（大于90而小于180的角）、平角（等于180的角）、周角（等于360的角）

平行线：

在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线。

面积和地积：

面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。

地积就是土地的面积。

体积和容积（容量）：

体积：

用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。

容积：

一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量

数量关系计算公式                      

1、加数+加数＝和              一个加数＝和-另一个加数

2、被减数－减数＝差      减数＝被减数－差      被减数＝减数＋差

3、因数×因数＝积        一个因数＝积÷另一个因数

4、被除数÷除数＝商      除数＝被除数÷商        被除数＝商×除数

5、有余数的除法：

 被除数＝商×除数+余数

6、单价×数量＝总价      总价÷单价＝数量    总价÷数量＝单价

7、单产量×数量＝总产量

8、速度×时间＝路程            路程÷速度＝时间    路程÷时间＝速度

9、工作效率×工作时间＝工作总量      工作总量÷工作效率＝工作时间 

工作总量÷工作时间＝工作效率

10、每份数×份数＝总数    总数÷每份数＝份数    总数÷份数＝每份数

11、倍数×倍数＝几倍数  几倍数÷1倍数＝倍数      几倍数÷倍数＝1倍数

常见应用题类型

和差问题：

已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。

一般关系式有：

（和－差）÷2＝较小数    （和＋差）÷2＝较大数

和倍问题

和÷（倍数－1）＝小数      小数×倍数＝大数  （或者 和－小数＝大数）

差倍问题：

已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。

基本关系式是：

两数差÷倍数差＝较小数        差÷（倍数－1）＝小数 

              小数×倍数＝大数      （或 小数＋差＝大数）

例：

有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。

原来两堆煤各有多少吨？

分析：

原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是：

（40－5×2）÷（3－1）－5 ＝（40－10）÷2－5 ＝30÷2－5 ＝15－5 ＝10（吨） 第一堆煤的重量

10+40＝50（吨） →第二堆煤的重量

答：

第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。

还原问题：

已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。

还原问题是逆解应用题。

一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。

由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。

例：

仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。

第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？

分析：

如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。

第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。

以下类推。

列式：

[（19＋12）×2－12]×2 ＝[31×2-12]×2  ＝[62-12]×2  ＝50×2 ＝100（吨）

答：

这个仓库原来有大米100吨。

植树问题 

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 

全长＝株距×（株数－1） 

株距＝全长÷（株数－1） 

⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距 

全长＝株距×株数 

株距＝全长÷株数 

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1 

全长＝株距×（株数＋1） 

株距＝全长÷（株数＋1） 

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 

株数＝段数＝全长÷株距 

全长＝株距×株数 

株距＝全长÷株数 

置换问题：

题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。

其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。

例：

一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。

这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

分析：

先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。

而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。

列式：

（2000－1880）÷（20－10）  ＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数

100－12＝88（张）→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。

盈亏问题（盈不足问题）：

题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。

解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。

其计算方法是：

当一次有余数，另一次不足时：

 每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

当两次都有余数时：

 总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差

当两次都不足时：

 总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差

例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。

如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每人栽7棵，就差4棵树苗。

求这个班有多少人？

一共有多少棵树苗

分析：

由条件可知，这道题属第一种情况。

 列式：

（14＋4）÷（7－5） ＝18÷2 ＝ 9（人）

5×9＋14 ＝45＋14 ＝59（棵）  或：

7×9－4  ＝63－4 ＝59（棵）

答：

这个班有9人，一共有树苗59棵。

年