数学中简单易错的运算变形或方法整理.docx
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数学中简单易错的运算变形或方法整理
数学中简单易错的运算变形或方法整理
珠海市一中平沙校区
姜长良
下面我会按照代数与几何及不同的章节分类，把我们各位朋友的经验进行整理，最终使它成为我们老师与学生的一个备忘录，为我们的教学严谨雪中送炭，为我们的教学思维锦上添花。
代数部分：
一、函数方程不等式（多项式函数，分式函数，幂函数等）
（1）定义域优先的原则；
应该说老师在教学的时候，每一名老师在都和时候都能告诉学生这个原则，但是学生在做题的时候却总是想不到。
1。
无论是函数或是方程或是不等式，在研究的时候都要先考虑其中的未知数的取值范围。
如果忽视了这一点，就可能在解答的时候把范围扩大，从而造成错误。
2。
培养学生养成运用这个原则的习惯关键是我们老师应该首先养成，就算是对最简单的函数，甚至于定义域是R的函数，我们在解题的时候也应该强调，否则你的学生的思维就短少了严谨性。
3。
这一原则在数列、或其它公式中也适用。
当然数列是特殊的函数，可是这一点并不直接，更容易让人忽视。
这里就不一一列举了……
（2）函数的定义中参数的取值范围；
在高三的第一课时，我曾经给学生提出这样一个问题：
请问：
y=ax^2+bx+c是什么函数？
多数学生回答是二次函数。
当我停顿一下再问时：
有一部分学生不说是二次函数了。
回答当a不为0时，是二次函数，a是0的时候为一次函数。
我又追问，是一次函数？
这回马上回答，当a为0但b不为0时，是一次函数，而当a与b都为0时，是常数函数。
其实，基本初等函数的定义都是用式子定义的，而其中的参数的取值范围是学生与老师最容易忽视的。
在应用的时候就更容易被忽视了。
（3）解方程时在方程的两边同时除以一个未知数；
解方程时在方程的两边同时除以一个未知数
例：
解方程x^2=x
解：
方程两边同时除以x，得x=1。
所以，原方程的解为：
x=1。
显然，丢了一个根x=0。
丢解的原因就是做除法的时候没有考虑除数是不是0。
在ΔABC中，acosA=bcosB判断三角形形状。
（用余弦定理就和13楼情况一样，用正弦定理也可能会漏解）
带全称量词的命题否定不会写，比如“我们班同学都是男同学”---（假的）
试着否定“我们班级同都不是男同学”---（也假）
当然也就是反证法反设怎么写了。
（4）用平均值不等式求最值时，等号取到的条件被忽略；
（5）复合函数的定义域；
例：
在经济学中，定义Mf（x）=f（x+1）-f（x），称M（x）为函数f（x）的边际函数，某企业的一种产品的利润函数p（x）=-x^3+30x^2+1000（x是[10,25]内的整数），则它的边际函数Mp（x）=_______________。
（1）该函数的表达式容易求出，问题就是一定要标这个函数的定义域；
（2）如果从复合函数的角度去看，定义域应该是[10,24]之间的整数；
（6）有关不等式的运用；
不等式性质中分“双向的”“单向”的性质，如果把单向性质用在解不等式，那是糟糕了
上新课，引进一个新东西，意味着可以解决新的问题，但此时为理解新办法的局限性
在适当时候，还要补上（或强调）不适用的情景，（其实是在暗示没发现万能的办法）。
比如等比数列q=1,sn-s（n-1）=an（n>1）.线性规划里简单加个x,y∈Z,变为整数规划。
基本不等式y=x+2/x（x>0）改变下定义域（4,6）或改为x∈Z
直线方程里设y=kx+b，k不存在情况等。
不等式是高中数学的一个难点，它有方程的知识做负面的迁移，更有自身的求函数最值的特点，学生经常犯各种各样的错误。
当然，错误的发生与知识本身有关，但更多的是与我们的教学有关。
在教学中，如果我们老师能一步一个脚印的完成题目，学生也就自然的接受了教学的严谨。
从反面思考是很重要，但下面的引导才是硬道理。
执白提出的这些问题都是非常关键的，我已经收入目录。
谢谢执白带来的新内容，新方法。
二、指数与对数函数
（1）换元时忽略新元的取值范围；
换元时忽略新元的取值范围
在有关的指数度方程或与指数有关的函数中，我们一般来说是用同底法去掉底，转化为多项式的，然后解之。
但是，有时候我们也使用换元的方法解之。
如：
求函数y=4^x+4*2^x-40的值域。
设t=2^x，则函数变为：
y=t^2+4t-40=（t+2）^2-44，所以函数的值域为：
y>=-44。
错了吧……
三、三角函数及解三角形
（1）已知三角函数值的范围求角的范围；
在解析几何中，直线斜率与倾斜角的关系是三角函数中的正切函数。
已知某直线的斜率范围求直线的倾斜角的范围要利用函数的图像完成。
有的同学只考虑端点，误认为是单调的，结果出错。
例如：
已知某直线的的斜率的取值范围是[-1/2，1/2]，求直线倾斜角的范围。
（2）三角函数中表示终边相同的角被学生忽略；
这一次广州一模考完了，理科16题是一道三角函数的题目。
第二问求当x为何值时，函数f（x）取得最大值？
由于x表示的是角，所以得到的答案不唯一，应该把与5pai/6终边相同的角都写出来。
一部分没有得到5pai/6这个角，是由于前面有错；一部分找到了这个角，没有加2kpai；一部分加2kpai了，但没有写出k是什么？
能写全的只有三分之一了。
虽然只扣了1分，但是也是一件令人遗憾的事，我们的教学应该反思啊！
（3）平移中可能发生的错误；
我们知道在函数图像的平移中，有这样一句口诀：
左加右减，上加下减。
但学生在使用的时候容易犯以下两种错误：
（1）f（x）变为f（2x+4）；
（2）f（x）按照向量a=（2，0）平移；
（3）f（x,y）变为f（x+2,y）
（1）学生容易犯的错误是误认为向左平移4个单位；
（2）学生误认为向左平移两个单位；（3）学生误认为是曲线向左平移两个单位。
四、数列
（1）和通公式的运用；
这个与函数的定义域优先本质是一样的，学生在做题的时候常常忽略n的取值为正整数。
已知数列的前n和为Sn，求数列的通项An。
An=Sn-Sn-1。
这个式子本身对n=1的时候无意义，所以必须把n=1的时候单独考虑。
（2）用特值完成题目，结果必须检验或证明；
广州一模理数第19题是一道数列的题目：
已知首项及一个递推公式。
第1问给出一个与数列有关但含一个参数的新数列是等差数列，求参数的值。
一些同学用原数列的前三项写出了新数列的前三项，运用新数列是等差数列求出了参数的值为-1。
这个结果要检验吗？
五、算法与统计
（1）计算机程序执行的结果表示只能是数值；
在程序框图中，先赋值而后计算时，结果只能是计算的结果，而不能写出过程。
在一个程序中，计算机执行的是：
1*2*3*……*10，结果表达时，不能用这个过程，也不能用10！
。
其结果只能是：
3628800
（2）开平方不知道有两个平方根
已知[（2/x^2）-（x/p）]^6的展开式中，不含x的项是20/27，则实数p的值是（ ）
有好多的同学得到的答案是：
3
唉，气死我了！
六、计数原理二项式定理与概率及分布
（1）在解概率与分布列问题的步骤中：
忽视对概率的和为1的检验；
解概率分布题的步骤如下:
1）明确随机变量;
2）确定随机变量的取值;
3）求随机变量取每一个值时的概率;
4）验证所有概率和是否为1;
5）用公式计算相关的均值与方差,或计算相关的概率.解决与其有关的问题.
（2）注意排列数与组合数的表示法中的上标的取值范围；
请看题目：
若（3a^2-2a^（1/3））^n展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（ ）
（A） 4 （B）5 （C）6 （D）8
（3）忽视二项分布；
二项分布是一种特殊的分布，它的随机变量是在n次独立重复试验中某事件A发生的次数。
在实际问题中，学生往往不记得或不会识别二项分布，所以在解答题目的时候造成麻烦甚至错误。
常见的错误有：
（1）把分布列中的概率算错；
（2）在计算数学期望及方差时不知道使用简单公式；
解决问题的关键是：
（1）在实际问题中提炼出：
随机变量是否为在n次独立重复试验中某事件A发生的次数；
（2）列完分布列之后，看随机变量的取值不是不从０到n？
概率值是不是与二项式的通项一致？
用上述两种方法确定是否为二项分布。
如果是，就用相关的公式解答。
（4）展开式各项系数与二项式系数不做区分；
初学二项式定理的学生，对二项式系数这个概念不能把握，总是与各项系数混淆。
其实，二项式定理的教学，我们老师应该注意几点：
1）二项式定理中的a与b虽然中间是加号，但是不能交换位置；
2）a与b中间的加号是固定的，不能认为是减号也行；
3）a与b可以是具体的数，也可以是一个式子，我们可以任意规定；
4）展开式的二项式系数与a和b是什么无关，只与n有关；
5）二项式系数的性质是我们令a与b为适当的值得到的，这一方法是学生学习的重点；
6）用通项解题关键是计算，如果括号内有三项，可以考虑让两项组合，或是先使用公式：
（5）忽视二项分布:
二项分布是一种特殊的分布，它的随机变量是在n次独立重复试验中某事件A发生的次数。
在实际问题中，学生往往不记得或不会识别二项分布，所以在解答题目的时候造成麻烦甚至错误。
常见的错误有：
（1）把分布列中的概率算错；
（2）在计算数学期望及方差时不知道使用简单公式；
解决问题的关键是：
（1）在实际问题中提炼出：
随机变量是否为在n次独立重复试验中某事件A发生的次数；
（2）列完分布列之后，看随机变量的取值不是不从０到n？
概率值是不是与二项式的通项一致？
用上述两种方法确定是否为二项分布。
如果是，就用相关的公式解答。
七、平面及空间向量还有复数
（1）用向量的数量积研究向量的夹角为钝角或锐角；
在向量部分，讨论两个向量的夹角若为钝角时，应该讨论两个方面：
（1）数量积小于0，
（2）不共线，容易把
（2）丢了，夹角为锐角时道理类似。
八、集合、逻辑与推理
（1）对一个全称命题的否定，全称应该改为特称，特称应该改为全称；对一个全称命题的否定，全称应该改为特称，特称应该改为全称。
这是学生一个容易犯的错误。
记录了。
（2）条件为集合的情况下，研究充分与必要条件；
例：
若函数f（x）=x^3+ax^2+bx-7在R上单调各级递增，则实数a、b一定满足（ ）
（A）a^2-3b<0（B）a^2-3b>0（C）a^2-3b=0（D）a^2-3b<1
不要轻易给出答案啊，研究研究之后再说。
（3）条件语序问题
学生在充分条件，必要条件，充要条件的学习中，对两种语序的区分会出现问题。
1）A是B的……条件；例：
A是B的充分非必要条件，指的是A可以推出B，但B不能推出A。
如果A与B是两个集合，则A是B的真子集。
2）A的……条件是B；这一语序与
（1）刚好相反。
九、导数
（1）用导数求函数在闭区间上的最值时，不要忘记所求的极值点要在闭区间内；
想到一个，用导数求闭区间最值时，需要求得极值，区间端点值，不要忘了极值点是否在区间内
（2）用导数研究单调区间的不等式中有无等号；
一般地,设y=f（x）在某个区间内可导,如果f'（x）>0，则f（x）是增函数。
这是书上给的一句话，为什么在已知一个函数在某个区间上是增函数，把这个作为条件用的时候，都用的是f'（x）>=0呢?
这个问题如果非要问为什么的话，也不能用大学的知识解答，不论我们会还是不会！
首先导数大于0，则原函数在对应的区间上单调递增是用导数的几何意义直接得到的，不用证明；而导数等于0时，原函数可能是常数函数，那么它在对应的区间上就可能不单调了，所以前者导数大于0中不能加等号。
其次是函数在某一区间上是增函数时，该函数在某点处的导数可以是0（如y=x^3在x=0处导数为0，而函数在R上是单调递增的），所以结论中应该是导数大于或等于0。
如果没有等于0，结论就可能是错的。
在高中阶段，我们只能这样解释，不能够把知识讲难了。
数形结合、举例、反面分析即可。
几何部分：
一、直线与圆
（1）用点斜式或斜截式设直线的方程；
用点斜式或斜截式设直线的方程
这个也是学生容易犯错的一个地方。
用上述两种方法设直线的方程，其实都已经认定直线的斜率是存在的了。
所以，不考虑直线的斜率不存在的时候怎么样就会丢解。
虽然简单，但是对于教学中不经常强调，或是教师在上课的时候由其是上习题课的时候不加重视学生就无法形成思维的严谨性的。
（2）用作差法求两圆相交弦所在直线方程时，要给出简单证明；
我们知道求两圆相交弦所在直线的方程时，我们只需要用两圆的方程相减就可以了。
但是，两圆的方程相减一定会得到一条直线的方程。
可是，这条直线一定是两圆的相交弦所在的直线方程吗？
回答不是，因为两圆完全有可能不相交。
所以，用该法求两圆相交弦所在直线的方程时，必须给出简单证明。
（3）线性规划中的整点问题；
上新课，引进一个新东西，意味着可以解决新的问题，但此时为理解新办法的局限性
在适当时候，还要补上（或强调）不适用的情景，（其实是在暗示没发现万能的办法）。
比如等比数列q=1,sn-s（n-1）=an（n>1）.线性规划里简单加个x,y∈Z,变为整数规划。
基本不等式y=x+2/x（x>0）改变下定义域（4,6）或改为x∈Z
直线方程里设y=kx+b，k不存在情况等。
二、圆锥曲线
（1）韦达定理的使用；
在研究直线与圆锥曲线相交的问题时，有两种常用的方法：
一是设而不求“点差法”，二是韦达定理“公式法”。
如果直线与曲线相交得弦且题目与弦的中点有关，则用第一种方法；如果与弦的中点无关，则用第二种方法。
但是学生在用第二种方法的时候，常常不考虑直线与曲线联立之后消去一个求知数之后所得方程是不是二次的，如果是二次的学生马上就使用韦达定理。
这样做，犯一个一个严重的错误。
错误的原因就是，学生不知道二次方程是否有根，就用根与系数的关系（韦达定理）。
一般来说，这个差别式的使用，往往可以得到一个求知数的范围或是两个求和数的不等关系，这对解题会带来很大的好处。
不要小看这个失误，这个失误往往会让很多的学子走向失败。
（2）二次曲线相切使用判别式的误区；
动点P在双曲线x^2-y^2/b^2=1（b>0）上，定点A（2，0）。
当且仅当P点在（1，0）处时，|PA|取得最小值，则b的取值范围是（ ）。
如果本题考虑以A为圆心以1为半径的圆与双曲线只相切于点P，并且使用判别式等于0去求b的范围，结果是错误的。
原因是什么呢？
判别式等于0与圆与双曲线相切不等价，当消去y得关于x的一元二次方程后，这个方程就算是有两个不相等的实数根，圆与双曲线仍然可以相切。
本题用判别式时，只要求在[1，3]之间只有一个根x=1就可以了。
三、空间几何面体（结构、面积与体积）
四、平行与垂直
（1）直线垂直时忽略斜率不存在的情况；
例：
m=1/2是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的（）条件。
如果学生只考虑斜率存在的情况，就填充要条件了。
但是当m=-2时，直线-6y+1=0与直线4x+3=0也是垂直的。
五、空间角与距离
（1）误把向量角当成二面角；
我们知道在求二角面的余弦值的时候，我们可以用两平面的法向量来所成的角的余弦值来求。
但是，由于法向量成角与二面角的平面角可能相等也可能互补，所以它们的余弦值有时相等有时候互为相反数。
所以在求好之后，必须考虑这一点才能完成。
但是，有的学生往往会忽略。
（2）误把法向量与线成的角当成线面角；
一般研究线面角的时候总是求线面角的正弦值，其实它正好是平面法向量与线向量成角的余弦值的绝对值，有的同学总是把它们混淆。
刚刚考过，好多学生忽略了。
（3）研究空间角时，应该首先思考角的特殊性，比如90度；
立体几何里有一个东西我感触很深，可能算不上什么易错的性质。
就是在求两条异面直线所成角时，有时候这两条直线本身是异面垂直的（可以用三垂线定理等方法来证明），也即成角为90°，但我们学生往往习惯性的还是平移来求角，那样就误入歧途了，费力费时也往往不能成功，这也是很多试题命题的陷阱所在，因为证明垂直的方法比求异面直线成角的方法要多。
其它：
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