解二面角问题三种方法习题及答案.docx

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解二面角问题三种方法习题及答案

解二面角问题

（一）查找有棱二面角的平面角的办法和求解.

（1）界说法：

应用二面角的平面角的界说,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最根本的办法.要留意用二面角的平面角界说的三个“重要特点”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题.下面举几个例子来解释.

例1：

如图,立体图形V－ABC的四个面是全等的正三角形,画出二面角V－AB－C的平面角并求出它的度数.

例2：

在三棱锥P-ABC中,

APB=

BPC=

CPA=600,求二面角A-PB-C的余弦值.

如许的类型是许多的,如下列几道就是应用界说法找出来的：

1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,找出二面角B－AC－B1的平面角并求出它的度数.

2.．边长为a的菱形ABCD,∠ACB=600,现沿对角线BD将其折成才600的二面角,则A.C之间的距离为.（菱形两条对角线互相垂直,半数后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角）

3.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4,过BC的一个平面与AA1交于D,若AD=3,求二面角D―BC―A的正切值.

总之,能用界说法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,可以或许较快地找到知足二面角的平面角的三个重要特点.并且可以或许很快地应用图形的一些前提来求出所请求的.在罕有的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以经由过程它们的性质来找到二面角的平面角.至于求角,平日是把这角放在一个三角形中去求解.由图形及标题标已知前提来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的常识去求解.

（2）三垂线法：

是应用三垂线的定理及其逆定理来证实线线垂直,来找到二面角的平面角的办法.这种办法症结是找垂直于二面角的面的垂线.此办法是属于较经常应用的.

例3：

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,AC=BC=1,∠ACB=900,M是PB的中点.

（1）求证：

BC⊥PC,

（2）平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切.

例4：

如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,AM⊥SB于M,AN⊥SC于N,

（1）求证平面SAB⊥平面SBC

（2）求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.

本题可变形为：

如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB＝600,SA＝AC＝a,

（1）求证平面SAB⊥平面SBC

（2）求二面角A－SC－BC的正弦值.

在应用三垂线找平面角时,找垂线留意应用已知的前提和有关垂直的剖断和性质定理,按三垂线的前提,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线.且两垂线订交,交点在二面角的面内.

（3）垂面法：

作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面订交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.这症结在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面.

例5：

如图在三棱锥S－ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直等分SC且分离交AC.SC于D.E,又SA＝AB,SB＝BC,求二面角E－BD－C的度数.

如图,

α与β所成的角为600,

于C,

于B,AC＝3,BD＝4,CD＝2,求A.B两点间的距离.

（二）查找无棱二面角的平面角的办法和求解.

无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道.若要找出二面角的平面角,则须要依据正义2或正义4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题.这种重要有两类：

一类是分离在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在统一平面内且不服行）.那么延伸这两条线有一交点,依据正义2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分离在两个面内有两条直线是平行的二面角.这由直线和平面平行的剖断和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线.由正义4,可知这两条直线平行于二面角的棱.所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱.

例6：

如图,△ABC在平面上的射影为正△AB1C1,若BB1=

CC1=AB1=1,求平面ABC与平面AB1C1所成锐角二面角的大小.

变式：

1.如图,在底面是直角梯形的立体图S－ABCD中,∠ABC＝900,SA⊥底面ABCD,SA＝AB＝BC＝1,AD＝0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的平面角的正切值.

2.如图,在所给的空间图形中ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD＝AD.求平面PAD和PBC所成的二面角的大小.

3.如图,斜三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成600角,正面BCC1B1⊥面ABC,求平面AB1C1与底面ABC所成的二面角的大小.

解关于二面角问题

二面角是立体几何中最重要的章节.二面角中的内容分解了线面垂直,三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的常识点,是高考的热门和难点.在总结时,若可以或许引诱学生进行对解二面角的问题进行探讨和总结,对进步学生的数学思惟办法是有帮忙的,对进步学生灵巧应用所学的也有很重要的感化.为此我对这方面进行总结,以供教授教养和进修参考.

（一）对本内容进行思虑时,必须弄清两个概念：

（1）什么是二面角,若何暗示？

而二面角的大小是可以用它的平面角来器量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.

（2）什么是二面角的平面角,若何暗示？

这一概念特别重要,要可以或许很快地反响出二面角的平面角是以二面角的棱上随意率性一点为端点,在两个面内分离作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角.,二面角的平面角的界说三个重要特点是：

过棱上随意率性一点;分离在两个面内作射线;射线垂直于棱.明白这一点对于可以或许作出或找出二面角的平面是很症结.在头脑里要能想象出二面角平面角的图形.

如图,0∈a,OA

α,OB

β,OA⊥a,OB⊥a.

（二）查找有棱二面角的平面角的办法和求解.

查找和求作二面角的平面角是解二面角问题的症结,这也是个难点.在从图形中作出二面角的平面角时,要联合已知前提来对图形中的线线.线面和面面的地位关系先辈行剖析,肯定有哪些是平行.垂直的或者是特别的平面图形,然后应用这些的有关性质和二面角的平面角的界说进行找出二面角的平面角.所以解关于二面角问题须要有很好的对线线.线面和面面的地位关系的剖析断定才能.而在求作二面角的平面角的办法重要有三种：

界说法.三垂线法.垂面法.至于在求解有关平面角的问题时,这平面角平日是在三角形中,所以常要用到解直角三角形和斜三角形的常识,这包含正弦和余弦定理的常识,也会用到其它的平面几何常识.

（1）界说法：

应用二面角的平面角的界说,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最根本的办法.要留意用二面角的平面角界说的三个“重要特点”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题.下面举几个例子来解释.

例1：

如图,立体图形V－ABC的四个面是全等的正三角形,画出二面角V－AB－C的平面角并求出它的度数.

剖析：

由图可知,所求的二面角的棱是AB,两个面是面VAB和面CAB.由已知可知这是一个正四面体,各个面是全等的正三角形,依据二面角的平面角的界说,我们可应用正三角形的性质来找出平面角,取AB边上的中点D,贯穿连接VD和CD.则∠VDC是所求二面角的平面角.可设正三角形的边长为a,用解三解形的常识求出VD＝CD＝

在△VDC中,应用余弦定理可求得cos∠VDC=1/3,∴∠VDC＝arccos1/3

评注：

在本题中主如果应用已知前提中的特别前提和二面角平面角的界说来找出所请求的平面角.在求解时应用的是平面几何解三角形的常识.这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思惟.

.例2：

在三棱锥P-ABC中,

APB=

BPC=

CPA=600,求二面角A-PB-C的余弦值.

剖析：

所求二面角的棱是PB,两个面为面PBA和面PBC.用二面角的平面角的界说找出平面角,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和半平面PBC上作QM

PB,QN

PB,则由界说可得

MQN即为二面角的平面角.设PM=a,则在Rt

PQM和Rt

PQN中可求得QM=QN=

a;又由

PQN

PQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cos

MQN=1/3,即二面角的余弦值为1/3.

如许的类型是许多的,如下列几道就是应用界说法找出来的：

1.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,找出二面角B－AC－B1的平面角并求出它的度数.

2.．边长为a的菱形ABCD,∠ACB=600,现沿对角线BD将其折成才600的二面角,则A.C之间的距离为.（菱形两条对角线互相垂直,半数后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角）

3.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4,过BC的一个平面与AA1交于D,若AD=3,求二面角D―BC―A的正切值.

总之,能用界说法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,可以或许较快地找到知足二面角的平面角的三个重要特点.并且可以或许很快地应用图形的一些前提来求出所请求的.在罕有的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以经由过程它们的性质来找到二面角的平面角.至于求角,平日是把这角放在一个三角形中去求解.由图形及标题标已知前提来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的常识去求解.

（2）三垂线法：

是应用三垂线的定理及其逆定理来证实线线垂直,来找到二面角的平面角的办法.这种办法症结是找垂直于二面角的面的垂线.此办法是属于较经常应用的.

例3：

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,AC=BC=1,∠ACB=900,M是PB的中点.

（1）求证：

BC⊥PC,

（2）平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切.

剖析：

第1小题较简略.第2小题,不雅察图形中的线面地位关系,已知PA⊥平面ABC,M是PB的中点,若在△PAB中取AB的中点N,则很快发明MN⊥平面ABC,作KN⊥AC,连MK,则由三垂线定理可得MK⊥AC,所以∠MKN为所求的二面角的平面角.而求其正切值,在Rt△MNK中求出MN和KN,而求MN和KN,只需在△PAB和△ABC中就可求出,从而求出其正切值为

.

评注：

本题用界说法较难以实现,但由图可找到二面角一个面的垂线.从而作棱的垂线,由三垂线定理证实是所要找的平面角.症结找到MN这条垂线.

例4：

如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,AM⊥SB于M,AN⊥SC于N,

（1）求证平面SAB⊥平面SBC

（2）求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.

剖析：

由图和题意可得BC⊥平面SAB,从而可得证平面SAB⊥平面SBC,而要证

二面角A－SC－B的平面角是∠ANM,从已知前提AM⊥SB于M,由两个平面垂直的性质可得AM⊥平面SBC,又有AN⊥SC,所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC,从而证清楚明了∠ANM是二面角A－SC－BC的平面角.

评注：

本题供给了应用若何从一系列的垂直关系中来慢慢找到二面角的一个面的垂线,再由三垂线的定理证实所要找的平面角.本题要特别留意的是这条垂线不是在程度上的,所以不雅察剖析图时要留意多应用有关定理去断定.

本题可变形为：

如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB＝600,SA＝AC＝a,

（1）求证平面SAB⊥平面SBC

（2）求二面角A－SC－BC的正弦值.

解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角,然后应用各个直角三角形求出AN和AM的长.

　　总之,在应用三垂线找平面角时,找垂线留意应用已知的前提和有关垂直的剖断和性质定理,按三垂线的前提,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线.且两垂线订交,交点在二面角的面内.

（3）垂面法：

作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面订交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.这症结在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面.

例5：

如图在三棱锥S－ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直等分SC且分离交AC.SC于D.E,又SA＝AB,SB＝BC,求二面角E－BD－C的度数.

剖析：

由题意和图,可得SC⊥平面BDE,则SC⊥DB,又SA⊥平面ABC,则SA⊥DB,从而得BD⊥平面SAC.所以BD⊥DC,BD⊥DE,则∠DEC是二面角的平面角.请求它的度数,可在Rt△SAC和△DEC中求,先求出∠SCA的度数.设SA＝a,在图的直角三角形中求出SB＝BC＝

a,AC＝

a,故得到∠SCA＝300,从而得到∠DEB＝600.

评注：

本题的垂直关系许多,若何应用好这些关系？

这需解题的目标要明白才干应用好这些关系.从这些垂直关系很轻易就剖断BD⊥平面SAC,而BD是二面角的的棱,所以平面SAC是二面角的垂面,由二面角的平面角的界说就找到了∠EDC是所求二面角的平面角.它的应用例如：

如图,

α与β所成的角为600,

于C,

于B,AC＝3,BD＝4,CD＝2,求A.B两点间的距离.

由题意要应用二面角的度数,要找出它的平面角,可过C作CE∥DB,且CE＝DB,连AE,则很轻易得到l⊥面ACE,∠ACE是二面角的平面角,为了求AB,连BE,在△ACE中由余弦定理求出AE,在Rt△AEB中可求出AB的长.

总之要会应用此法,对线线.线面.面面的垂直关系要有很好的断定才能,才干找到解的思绪.

（三）查找无棱二面角的平面角的办法和求解.

无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道.若要找出二面角的平面角,则须要依据正义2或正义4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题.这种重要有两类：

一类是分离在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在统一平面内且不服行）.那么延伸这两条线有一交点,依据正义2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分离在两个面内有两条直线是平行的二面角.这由直线和平面平行的剖断和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线.由正义4,可知这两条直线平行于二面角的棱.所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱.

例5：

如图,△ABC在平面上的射影为正△AB1C1,若BB1=

CC1=AB1=1,求平面ABC与平面AB1C1所成锐角二面角的大小.

剖析：

所求的二面角只各一个公共点A,不雅察图可知二面角的两个面内BC和B1C1共面但不服行,所以若延伸它们必交于一点D,由正义2知,点D在二面角的棱上.所以连AD就找到棱.接着是找出二面角的平面角.由图形的性质知,C1D=2B1C1=2,A1C1＝1,∠AC1B＝600,用正弦定理或余弦定理都可求出∠C1AD＝900,再由三垂线定理得∠CAC1为二面角的平面角,然后在Rt△CAC1中可求得∠CAC1＝450.

评注：

本题是属于第一类的问题.延伸两条直线交于一点从而得到棱,再用三垂线法找二面角的平面角.此题可变成：

如图,在底面是直角梯形的立体图S－ABCD中,∠ABC＝900,SA⊥底面ABCD,SA＝AB＝BC＝1,AD＝0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的平面角的正切值.

由图可知二面角有一个公共点S,但在两面中的AB和CD共面且不服行,所以延伸交于点E.再由题意证实BC⊥平面SAB,SB⊥SE,由三垂线定理可知∠BSC是所求的二面角.在Rt△SBC中可求得正切值为

.

例6：

如图,在所给的空间图形中ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD＝AD.求平面PAD和PBC所成的二面角的大小.

剖析：

由图知二面角有一个公共点P,在两面内的AD和BC是共面且平行,所以AD∥平面PBC,由直线和平面平行的性质知,过AD的平面PAD与平面平面PBC的交线（即为二面角的棱）与AD平行,所以过P作PE∥AD,则PE为二面角的棱.由题意PD⊥面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥PE,又可证得CD⊥平面PAD,由三垂线定理可得∠CPD为所求二面角的平面角.在Rt△CPD中可求得∠CPD＝450.

评注：

本题是属于第二类的问题.二面角有一个共点,在分离两面内的两条直线平行,则平行于棱.找出二面角的棱后,再用三垂线法找二面角的平面角.

例7：

如图,斜三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成600角,正面BCC1B1⊥面ABC,求平面AB1C1与底面ABC所成的二面角的大小.

剖析：

此题A是二面角的一个公共点.又在两面的BC和B1C1平行,故过点A作AE∥BC,则AE为二面角的棱.若何找平面角是本题的难点.因为各棱长都相等,所以正面是菱形,底面是正三角形.又正面BCC1B1⊥面ABC,过C1作C1D⊥BC,由两平面垂直的性质得C1D⊥面ABC,侧棱与底面成600角,所以∠C1CD＝600,由此可得D为BC的中点.连AD得AD⊥BC,从而AD⊥AE,由三垂线定理得∠C1AD为二面角的平面角,在Rt△C1AD中可求得∠C1AD＝450.

评注：

本题除了要找棱外,用三垂线法找平面角时,症结在能剖析已知前提的感化,来找垂线,和应用直线和平面所成的角来推算出点D为BC的中点,从而可用三垂线法找出平面角.

总之,无棱的二面角按两类的办法找出棱,转化为有棱的二面角问题来解.

从上面几个例题的剖析和介绍的办法中,可以看出,二面角问题可以分解较多常识点,可以分解有关的平行.垂直的关系.用到的定理几乎是我们所学立几的常识.所以要有较扎实的基本常识才干够对于得了这类问题.在盘算方面要用到解三角形的常识,要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角,然后平日归结在一个三角形中去求出最后的成果.总的,解这类题,找平面角是症结的一步,要留意应用题中的前提剖析图形,然后用有关的办法找出平面角,盘算时要剖析所请求的量是可由图中的哪些平面图形去慢慢去求出.