专题资金的时间价值与等值计算.docx
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专题资金的时间价值与等值计算
企业经营离不开资金，这些资金的发生，有些是流出的，有些是流入的，而且其发生的时间点也可能不同，这就是资金在一个系统当中的流动。
如果这些资金中有些是通过贷款来的，需要向银行支付一定的利息，贷的越早的部分支付的利息就越多，因为资金存在时间价值。
现金流量
企业是一个经济系统。
从物质形态来看，该系统通过消耗各种资源等投入物而获得一定的产出物；从货币形态来看，表现为投入一定量的资金，花费一定量的成本即资金流出，又通过产品的销售等而获取一定量的货币收入，即资金流入。
各个时点上实际所发生的资金流出或资金流入称为现金流量，其中流出系统的资金称为现金流出（Cashoutflows）,通常用CO表示，流入系统的资金称为现金流入（Cashinflows），通常用CI表示，现金流入与现金流出之差称之为净现金流量，通常用（CI－CO）来表示。
净现金流量有正有负，正现金流量表示某一时点的净收入，负现金流量表示某一时点的净支出。
现金流入与现金流出统称为现金流量。
现金流量图
现金流量图是一种能反映某一经济系统现金流量运动状态的图式，它可以直观地﹑形象地把项目的现金收支情况在一张图上表示出来。
（1）画一条水平线作为时间轴。
根据需要把水平线划分成若干刻度，轴上每一刻度表示一个时间单位，可以取年、半年、季、月等；时间轴上的点称为时点，时点通常表示的是该期的期末，同时也是下一期的期初。
零表示时间序列的起点，n表示时间序列的终点。
（2）根据所研究的经济系统的实际情况用垂直于时间轴的箭线来表示该经济系统不同时间点上的现金流量情况，在横轴上方的箭线表示现金流入，即表示效益，在横轴下方的箭线表示现金流出，即表示费用。
（3）在现金流量图中，箭线长短与现金流量数值的大小应成比例。
实际工作中,由于经济系统中各时点现金流量常常因数值差额悬殊而无法成比例绘出，故在现金流量图的绘制中，箭线长短只要能适当体现各时点现金流量数值的差异，并在各箭线上方（或下方）注明其现金流量的数值即可。
（4）箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时间。
从上述可知，要正确绘制现金流量图，必须把握好现金流量的三要素，即现金流量的大小（资金数额）、方向（资金流入或流出）和时间点（资金发生的时间点）。
资金时间价值的含义
在财务分析时，不仅要着眼于方案资金量的大小（资金收入和支出的多少），而且也要考虑资金发生的时点。
因为今天可以用来投资的一笔资金，即使不考虑通货膨胀的因素，也比将来同等数量的资金更有价值。
这是由于当前可用的资金能够立即用来投资，带来收益。
由此看来，资金是时间的函数，资金随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值。
对于资金时间价值的含义，可以从以下两个方面加深理解：
首先，资金随着时间的推移，其价值会增值（这种现象叫资金增值）。
资金是属于商品经济范畴的概念，在商品经济条件下，资金是不断运动着的。
资金运动伴随着生产与交换的进行，生产与交换活动会给投资者带来利润，表现为资金的增值，资金增值的实质是劳动者在生产过程中创造了剩余价值。
从投资者的角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值。
其次，资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。
牺牲现期消费是为了能在预期得到更多的消费，个人储蓄的动机与国家积累的目的都是如此。
从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为对放弃现期消费的损失所应作的必要补偿。
影响资金时间价值大小的因素
（1）投资收益率
即单位投资所能取得的收益。
投资收益率越大，资金的时间价值就越大。
（2）通货膨胀因素
即对因货币贬值造成的损失所应作的补偿。
通货膨胀率越高，资金时间价值越大。
（3）风险因素
即对因风险的存在可能带来的损失所应作的补偿。
技术实践活动风险越大，资金时间价值越大。
资金时间价值的表现形式
利息和利率是具体体现资金时间价值的两个尺度，利息是衡量资金时间价值的绝对尺度，利率是衡量资金时间价值的相对尺度。
（1）利息
利息是指为得到资金的使用权所付出的代价（或放弃了资金的使用权所得到的补偿）。
如果将一笔资金存入银行，这笔资金称为本金，经过一段时间后，储户可在本金之外再得到一笔利息。
相反，如果向银行贷一笔资金，经过相同的一段时间后，贷款人除了偿还银行的本金外，还需额外支付一笔利息。
通常情况下，这笔贷款利息会比存款利息高一些。
（2）利率
利息通常是根据利率来计算的。
利率是指在一个计算周期内所得到的利息额与期初借贷资金额（即本金）之比，一般以百分数表示。
（3）利息的计算
借贷资金的计息制度分为单利计息制和复利计息制两种，相应的称为单利法和复利法。
1）单利法。
公式为：
F=P（1+in）
2）复利法。
公式为：
F=P（1+i）n
（4）名义利率和实际利率
在现实的经济活动中，通常采用年利率，并且每年只计算一次。
但有时也见到每半年、季或月甚至是天计算一次利息的情况。
这样，一年的复利计算次数就是2、4、12或365。
我们把计息周期为一年的年利率称为年实际利率。
而把计息周期小于一年（如半年、季、月甚至是天等等）的年利率称为年名义利率。
我们把这种利率周期与计息周期一致的利率称为实际利率；利率周期与计息周期不一致的利率称为名义利率。
例如，年利率为15%，每季计息一次，则此年利率就是名义利率，实际的季利率为15%/4=3.75%，而实际年利率是比15%略大的一个数。
设年名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率为r/m，一年后的本利和为：
F=P（1+r/m）m
根据利率定义得到实际年利率i为:
从上式可以看出，当计息周期为一年时，也即m=1时，实际利率等于名义利率；当计息周期小于一年（m>1）时，实际利率大于名义利率，且随着计息周期的缩短或名义利率的增加实际利率与名义利率的差值都会增大。
例：
若有一笔资金，本金为10000元，年利率为15%，每月计息一次，试求其实际利率及第1年年末本利和。
解：
P=10000元，i=15%，m=12，n=1年，
则实际利率为：
i=（1+15%/12）12-1=16.075%
本利和为：
F=P（1+i）=10000×（1+16.075%）=11607.5（元）
资金等值的概念
资金等值是指在考虑资金时间价值因素后，不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下可能具有相等的价值。
利用资金等值原理，我们可以把某一时间上的资金值按照给定的利率换算为与之等值的另一点上的资金值，这一换算过程称之为资金的等值计算。
把将来某一时点的资金额换算成现在时点的等资金额称为“折现”或“贴现”，折现后的金额称为“现值”。
与现值等价的将来某时点的资金额称为“终值”或“将来值”。
需要说明的是，“现值”并非专指资金“现在”的价值，它是一个相对的概念。
一般地说，将t+k个时点上发生的资金折算到第t个时点，所得的等值金额就是第t+k个时点上资金额的现值。
显然，影响资金等值的因素有：
（1）资金额的大小；
（2）资金发生的时间；
（3）利率的大小。
等值计算的有关参数
（1）利率或折现率/贴现率：
i
根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为折现率/贴现率。
此处对利率和折现率一般不加以区分，统一用i来表示。
（2）计息期数（计息次数）：
n
在利息计算中，它是指计算利息的次数；在企业经济分析中，它与工程项目的计算期有关。
（3）现值：
P
表示资金发生在某一特定时间序列始点上的价值。
在企业经济分析中，它表示在现金流量图中0点的投资数额或现金流量折现到0点时的价值。
（4）将来值或终值：
F
表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值。
其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值，即期末本利和的价值。
（5）年金或年值——A
是指每年（时间段）等额收入和支付的金额，通常以等额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同时间（不一定是年）内收支的等额款项。
从以上参数的含义可以看出，现值P与终值F是相对而言的，某一个时间序列的终值，也是以该时间序列终点为起点的另一个时间序列的现值。
2.2.3资金等值的计算
在资金等值的计算中，根据时间的不同和评价的需要，常用的资金等值变换有两种：
第一种：
现值P与终值F的变换，我们称之为一次支付或整付类型。
这类支付方式是现金流量无论是流入还是流出，均在一个时点上发生。
第二种：
年值A与现值P或与终值F的相互变换，我们称之为多次支付类型。
多次支付是指现金流入和流出在多个时点上同时发生，而不是集中在某个时点上。
现金流量数额的大小可以是不等的，也可以是相等的。
当现金流量数额的大小相等时，可以利用数学公式计算过程简化。
☆★☆一次支付类型
一次支付的等值计算公式有两种情形，即已知现值P求终值F和已知终值F求现值P。
其典型的现金流量图如下所示。
（1）一次支付终值公式
F=P（1+i）n
例:
某企业欲购买一件设备，现向银行借款10万元，年利率为12%，5年后一次还清，问到期后应向银行归还的本利和是多少？
解：
P=10万元，i=12%，n=5年，
F=P（1+i）n=10（1+12%）5=17.62（万元）
（2）一次支付现值公式
已知n年后一笔资金F，在利率i下，相当于现在多少钱？
这就是一次支付现值计算的问题，对一次支付终值公式进行逆运算便可得到一次支付现值公式：
例：
某企业计划5年后从银行提取1万元，如果银行利率为12%，问现在应存入多少钱？
解：
F=1万元，i=12%，n=5，
=
=0.5674（万元）
☆★☆等额分付类型
等额分付是多次支付类型的一种。
其现金流量序列是连续的，且数额是相等的，我们把这样的现金流量称为等额系列现金流量。
下面介绍等额系列现金流量的四个等值计算公式。
（1）等额分付终值公式。
从第1年年末至第n年年末有一等额的现金流量序列，每年的金额均为A，称为等额年金。
同时，也可以看出，第n年末的终值总额F等于各年存入资金A的终值总和，即：
F=A+A（1+i）+A（1+i）2+……+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1
=A[1+（1+i）+（1+i）2+……+（1+i）n-2+（1+i）n-1]
运用等比数列前n项求和公式得
例：
某企业每年年末存入1000元，连续存款18年，若银行存款年利率为8%，问18年后的本利和是多少？
解：
A=1000元，n=18年，i=8%，
依据公式计算得：
=
=1000×37.45=37450（元）
（2）等额分付偿债基金公式。
已知第n年年末要从银行提取F元，在利率为i的情况下，现在每年年末等额存入多少钱可以实现上述提取。
这就是已知F，求A的情形。
显然，它是等额分付终值公式的逆运算。
因此，可以由等额分付终值公式直接导出等额分付偿债基金公式。
例：
某企业欲积累一笔基金，用于5年后更新某大型设备。
更新费用为500万元，银行利率为10%，问每年至少要存款多少？
解：
F=500万元，n=5年，i=10%，
依据公式计算得：
=
=500×0.1638=81.9（万元）
（3）等额分付现值公式
（4）如上图所示，如果从第一年末到第n年末有一个现金流量序列，每年的金额均为A，这一等额年金序列在利率为i的条件下，其现值是多少。
（公式推导过程略）
例：
某机械设备经济寿命为5年，预计年净收益为10万元，残值为0，若投资者要求收益率至少为15%，问投资者最多愿意出多少钱购买该设备？
解：
A=10万元，n=5年，i=15%，
依据公式计算得：
=
=33.522（万元）
所以，投资者最多愿意出价33.522万元购买此设备
（4）等额分付资金回收公式
等额分付资金回收公式是已知P，求A的情形。
显然，它是等额分付现值公式的逆运算，即：
例：
某投资项目贷款500万元，预计在5年内等额还清贷款，已知贷款利率为12%，试问每年的净收益不应少于多少？
解：
P=500万元，i=12%，n=5年，依据公式计算得：
=500×
=500×0.2774=138.7（万元）
所以，该项目每年的净收益至少应为138.7万元。
上述六个公式是等值计算的基础，汇总如下表。
类型
求解关系
系数名称及符号
公式
相互关系
一
次
支
付
已知P
求F
一次支付终值系数
（F/P，i，n）
F=P（1+i）n
互为
逆运算
已知F
求P
一次支付现值系数
（P/F，i，n）
等
额
分
付
已知A
求F
等额分付终值系数
（F/A，i，n）
互为
逆运算
已知F
求A
等额分付偿债基金系数（A/F，i，n）
已知A
求P
等额分付现值系数
（P/A，i，n）
互为
逆运算
已知P
求A
等额分付资本回收系数（A/P，i，n）
应用举例：
某企业拟购某大型设备，价值为500万元，有两种支付方式可供选择：
方式一：
一次性付款，优惠12%；方式二：
分期付款，则不享受优惠，首次支付必须达到40%，第一年末付30%，第二年末付20%，第三年末付10%。
假若企业购买设备所用资金全部来自借款，借款的利率为10%，问应选择哪种付款方式？
如果借款的利率为16%，则应选择哪种付款方式？
解：
（1）若资金的成本为10%，则
一次性付款，实际支出500×88%=440（万元）
分期付款，为了具备可比性，可把各期付款折现然后求和得：
P=500×40%+500×30%×
+500×20%×
+500×10%×
=456.57（万元）
显然，应该选择一次性付款。
（2）若资金的成本为16%，则一次性付款方式的实际支出仍为440万元，而分期付款的各期付款折现求和得：
P=500×40%+500×30%×
+500×20%×
+500×10%×
=435.66（万元）
显然，此时应该选择分期付款的方式。
例：
某工厂购买了一台机器，估计能使用12年，每4年要大修一次（第12年年末不再修理），每次的大修理费用估计为15000元，而每年的一般维修费用为2000元（第12年年末不再修理），在年利率为12%的情况下，12年来，每年应从收入中提取多少钱以支付12年寿命期的各种维修费？
其现金流量图如下图所示。
解：
由上图可以看出，大修理费用只在第4、8两年年末发生，而一般维修费用发生在第1～11年年末，而这些费用应分摊在12年内，因此，可分解为
首先对各项费用折现并且求和，然后再将费用现值分摊至各年，计算过程如下：
P=15000×
+15000×
+2000×
=28183（元）
A=28183×
=4549.86（元）
资金的时间价值与等值计算专项练习
1.什么是资金的时间价值？
资金为什么会具有时间价值？
2.借贷资金的计息制度分为哪两种形式？
什么是单利法及复利法？
各有什么特点？
3.什么是名义利率和实际利率？
其关系如何？
4.某企业获得一笔50万元的贷款，偿还期为5年，年利率为8%，有如下四种还款方式：
（1）每年年末偿还10万元本金和所欠利息；
（2）每年年末偿还所欠利息，第5年年末一次还清本金；
（3）在5年中每年年末等额偿还；
（4）在第5年年末一次还清本息；
试分别计算各种还款所付出的总金额。
5.企业第一、二、三年分别投资1000万元，800万元，500万元；第三、四年分别收益20万元，40万元，经营费用为30万元。
以后各年平均收益550万元，经营费用均为100万元，寿命期12年，期末残值200万元。
画该项目的现金流量图。
6.年利率为10%，按季计息，问半年实际利率、年实际利率各为多少？
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参考答案：
1、
答：
资金的时间价值是指资金经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为货币的时间价值（见讲义P115）
资金之所以会有时间价值是因为：
①从投资者的角度来看，资金的增值特性使资金具有时间价值；②从消费者的角度来看，放弃现期消费的损失所应得的必要补偿产生了资金的时间价值。
2、
答：
分为单利计息制和复利计息制。
单利法：
就是每期只对原始本金计息，对所获得的利息不再进行计息。
其特点是：
每个计息周期所获得的利息是相等的，而与计息的次数无关；
复利法：
不仅本金生息，利息在每一次计息周期结束后如果不付也要生息，其特点是：
符合商品化社会生产的资金运动情况，并有间断复利与连续复利之分。
3、
答：
利率周期与计息周期一致的利率称为实际利率，利率周期与计息周期不一致的利率称为名义利率。
其关系式为：
i=（1+r/m）m-1其中i为实际利率，r为名义利率，m为计息次数。
4、
解：
1）F1=（10+50×8%）+（10+40×8%）+（10+30×8%）+（10+20×8%）+（10+10×8%）=62万元
2）F2=50+50×8%×5=70万元
3）F3=5×A=5×50×（8%（1+8%）5）/（（1+8%）5-1）=62.63万元
4）F4==50×（1+8%）5=74.8万元
5、
解：
现金流量图如下：
6、
解：
年名义利率为10%，则半年名义利率为10%/2，
设半年实际利率为I,年实际利率为i,
则I=（1+10%/2/2）2-1=5.06%
i=（1+10%/4）4-1=10.38%
投资项目评价的方法（取自教材1）
投资项目评价方法可分为两类：
一类是贴现分析评价方法，即考虑了资金时间价值因素，主要包括净现值（NPV）、现值指数（PI）、内含报酬率（IRR）等；另一类是非贴现分析评价方法，即没有考虑资金时间价值因素，主要包括回收期（PP）、平均收益率（ARR）等。
1、净现值（NPV：
NetPresentValue）法。
这种方法使用净现值作为评价方案优劣的指标。
净现值是指特定方案未来现金流入的现值与未来现金流出的现值之间的差额。
其计算公式如下：
若NPV为正数，则该投资项目的报酬率大于预定的贴现率；若NPV为零，该投资项目的报酬率相当于预定的贴现率；若NPV为负数，该投资项目的报酬率小于预定的贴现率。
净现值法的决策规则：
若被选方案为一个时，净现值为正数则采纳，否则拒绝；若从多个方案中选择一个，应选择净现值最大者。
2、现值指数（PI：
ProfitabilityIndex）法（又称：
获利指数或利润指数）。
是根据投资方案的现值指数作为评价方案优劣的指标。
现值指数，又称获利指数，是指投入项目的未来现金流入现值与现金流出现值的比率。
其计算公式为：
若PI>1，则该投资项目的报酬率大于预定的贴现率；若PI=l，该投资项目的报酬率等于预定的贴现率；若PI<1，该投资项目的报酬率小于预定的贴现率。
现值指数法的决策规则：
若被选方案为一个时，PI>=1时则采纳，否则拒绝；若从多个备选方案中选择一个，应选择现值指数最大者。
3、内含报酬率（IRR：
InternalRateofReturn）法。
是根据方案本身内含报酬率来评价方案优劣的一种方法。
内含报酬率是指能够使未来现金流入现值等于未来现金流出量现值的贴现率，或者说是使投资方案净现值为零的贴现率。
内含报酬率实际上是投资方案在其生命周期内按现值计算的实际投资报酬率，它反映了投资方案的真实报酬。
其计算公式为：
式中i为内含报酬率的值。
内含报酬率i的计箅，通常需要“逐步测试法”。
先预估计一个贴现率，用它来计算方案的净现值；如果净现值为正数，说明方案本身的报酬率超过估计的贴现率，应提高贴现率后进一步测试；如果净现值为负数，说明方案本身的报酬率低于估计的贴现率，应降低贴现率后进一步测试；经过多次测试，寻找出净现值接近于零的贴现率，即为方案本身的内含报酬率。
内含报酬率法的决策规则：
当只有一个备选方案时，内含报酬率大于或等于资金成本率或必要报酬率时才能采纳，反之则拒绝；若有多个备选方案的互斥选择决策中，应选择内部报酬率超过资本成本或必要报酬率最多的投资项目。
4、投资回收期（PP：
PaybackPeriod）法。
是根据方案本身回收期的长短来评价方案优劣的一种方法。
投资回收期是指投资引起的现金流入累计到与投资额相等所需要的时间。
它代表收回投资所需要的年限。
投资回收年限越短，方案越有利。
PP的计算方法有以下两种情况：
第一种情况：
若原始投资一次支出，每年现金净流入量相等时，
PP=P0/I
式中：
P0：
原始投资额；
I：
每年净流入量。
第二种情况：
若现金流入量每年不等，或原始投资是分几年投入的，则下式成立，n为回收期，
PP法的决策规则：
当备选方案只有一个时，PP小于标准PP，则采纳，否则拒绝；有多个方案可供选择时，选择PP最短且低于标准PP。
5、平均报酬率（ARR：
AverageRateofReturn）法。
是指投资项目年平均的净收益或现金净流入与原始投资额的比例。
ARR的计算公式：
ARR=A/P0
式中：
A：
年平均净收益；
P0：
原始投资额。
平均报酬率法的决策规则：
当备选方案只有一个时，若ARR大于期望报酬率，则采纳，否则拒绝；有多个方案可供选择吋，ARR高于期望报酬率多的为较好的方案。
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