第2节随机变量的特征函数_精品文档.ppt

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2随机变量的特征函数随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率论自身内容的一个组成部分。

在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔吉斯积分。

一、斯蒂尔吉斯积分先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。

定义：

定义：

设f（x）,g（x）是定义在区间a,b上的两个有界函数。

把区间a,b分成n个子区间，分点为，在每一个子区间上任意取一个点作和式令。

如果极限存在，且与子区间的分法和的取法无关，则称此极限为函数f（x）对函数g（x）在区间a,b上的斯蒂尔吉斯（Stieltjea）积分，简称S积分。

记2随机变量的特征函数为。

此时也称f（x）对g（x）在区间a,b上S可积。

S积分是高等数学中黎曼积分的推广。

如果取积分是高等数学中黎曼积分的推广。

如果取g（x）=x，那么，那么S积分就变成黎曼积分了。

积分就变成黎曼积分了。

在无限区间上的S积分，可用如下定义。

定义：

定义：

设f（x）,g（x）是定义在无限区间上的两个函数。

若在任意有限区间a,b上，f（x）对g（x）是S可积的，且极限存在，则称此极限为f（x）对g（x）在无限区间上的斯蒂尔吉斯积分。

简称S积分。

记为。

在S积分中，当g（x）取一些特殊形式时积分可化为通常积分或级数。

2随机变量的特征函数若g（x）是在上的阶梯函数，它的跳跃点为（有限多个或可列无限多个），则若g（x）是在上的可微函数，它的导函数为，则上面两个结果我们就不证明了。

前者把S积分化成和式，后者把S积分化成黎曼积分。

2随机变量的特征函数定义定义:

设函数g（x）定义在无限区间上，若积分存在，则称此积分为对g（x）的傅里叶-斯蒂尔吉斯（Fourier-Stieltjes）积分，简称F-S积分。

二、特征函数先引进复随机变量。

定义定义:

如果X与Y都是概率空间（,F,P）上的实值随机变量，则称为复（值）随机变量，其中。

复随机变量是取复数值的随机变量。

它的数学期望定义为EZ=EX+iEY其中E（X），E（Y）是（实值）随机变量的数学期望。

若X是（实值）随机变量，那么eitX应是复随机变量。

2随机变量的特征函数定义：

定义：

设X是（实值）随机变量，则对任意实数t称为随机变量X的特征函数，其中。

设离散随机变量X的分布列为则X的特征函数可表示成

（1）设连续随机变量X的分布密度为f（x），则X的特征函数可表示成

（2）一般的，设随机变量X的分布函数是F（x），则X的特征函数可表示为（3）2随机变量的特征函数由

（2）式可见，连续随机变量的特征函数是分布密度f（x）的傅里叶积分，简称F积分。

（3）式表明随机变量的特征函数是分布函数F（x）的傅里叶-斯蒂尔吉斯积分，或F-S积分。

傅里叶积分在数学中和工程技术上是一个强有力的工具。

后面将看到它在概率论中的作用。

下面计算一些重要分布的特征函数。

例例1.单点分布设随机变量X的分布为，其中c是常数。

由

（1）式，有例例2.二项分布设随机变量X的分布列为由

（1）式，有2随机变量的特征函数例例4：

正态分布正态分布N（a,2）的分布密度是其中。

由

（2）式，得特殊情形，标准正态分布N（0,1）的特征函数为已知一个概率分布用

（1）、

（2）或（3）式计算它的特征函数。

反过来，如果给定一个特征函数怎样确定它所对应的概率分布呢？

且问它所对应的概率分布是否唯一？

2随机变量的特征函数先看连续概率分布情形。

此时，特征函数是分布密度f（x）的F积分，那么f（x）应当是的反演。

根据F积分理论，在的条件公式下有反演公式（4）且F积分反演是唯一的。

一般地说，随机变量X的概率分布用分布函数F（x）给出。

由特征函数确定对应的分布函数F（x）可用下面公式。

逆转公式逆转公式设分布函数F（x）的特征函数为，则对的连续点，有（5）此公式的证明略2随机变量的特征函数唯一性定理唯一性定理分布函数F（x）被它的特征函数唯一的确定。

证证:

在F（x）的连续点x上，利用逆转公式，当y沿着F（x）的连续点趋向于时，有（6）在F（x）的不连续点上，利用分布函数的右连续性，选一列单调下降的趋向于x的F（x）的连续点，那么（7）式（6）与（7）给出了由特征函数确定分布函数F（x）的公式，且由确定F（x）是唯一的。

定理证毕。

由此定理可见概率分布函数F（x）与特征函数是一一对应的。

例如，特征函数是的概率分布必定是二项分布；特征函数是的概率分布必定是标准正态分布。

在概率论中，概率分布与特征函数的一一对应性，是特征函数应用的理论基础。

2随机变量的特征函数三、特征函数的性质下面介绍特征函数的一些性质。

一般地说，可以用特征函数表示式（3）进行证明。

为了方便起见，我们仅对连续概率分布情形，用特征函数表示式

（2）进行证明。

（1）证：

又

（2）共轭对称性证：

（3）特征函数在区间上一致连续。

所谓函数在区间上一致连续，其定义为：

任给，总可以找到与t无关的，当时有2随机变量的特征函数应该指出，函数在区间上一致连续可以得到它在每一点t上都连续，即在上连续；由于一致连续要求与t无关，所以在区间上一致连续比在此区间上连续要求高。

这个性质的证明从略。

（4）设随机变量，其中a，b都是常数，则其中，分布表示随机变量X,Y的特征函数。

证:

由特征函数定义2随机变量的特征函数（5）设随机变量X,Y相互独立，又,则此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。

证:

由特征函数的定义这里第四个等号成立用到了随机变量X与Y的独立性。

（6）设随机变量X的n阶原点矩存在，则它的特征函数可以微分n次，且有或（8）（8）式表明随机变量X的n阶原点矩可以利用它的特征函数在原点的n阶导数获得。

2随机变量的特征函数证：

（9）上式第二个等号成立，需要加条件即亦即由定理的已知条件得此式成立。

（9）式改写为因而，证毕。

例例5.若随机变量X和Y相互独立，且分别服从参数为和的泊松分布。

试用特征函数求随机变量Z=X+Y的概率分布。

解.由泊松分布的特征函数式，2随机变量的特征函数利用特征函数性质（5），这是参数+的泊松分布的特征函数。

由唯一性定理的随机变量Z具有参数+的泊松分布。

例例6.若随机变量X和Y相互独立，且分别服从正态分布N（a1,12）和N（a2,22）。

试用特征函数求随机变量Z=X+Y的概率分布。

解.由正态分布的特征函数式，利用特征函数性质（5）这是正态分布N（a1+a2,12+22）的特征函数。

由唯一性定理得到随机变量Z服从正态分布N（a1+a2,12+22）。

2随机变量的特征函数这两个例子说明独立的泊松变量之和仍是泊松变量；相互独立的正态分布之和仍是正态变量。

这种性质称为再生性。

上面我们看到利用特征函数求相互独立随机变量之和的概率分布是比较方便的。

例例7.利用特征函数求正态分布N（a,2）的数学期望和方差。

解.正态分布的特征函数为易得故。

由特征函数性质（6），得又故。

由特征函数性质（6），得所以2随机变量的特征函数此例表明在已经获得随机变量的特征函数的情况下，计算矩归结为特征函数的求导问题，所以非常方便。

然而，在概率论中计算矩通常用定义计算，归结为求级数或积分问题，因此比较繁琐。

四、波赫纳尔-辛钦定理特征函数还有一条重要性质非负定性。

定理定理.特征函数具有非负定性，即对于任意正整数n,任意n个实数及复数，有证.利用特征函数的定义2随机变量的特征函数此定理表明特征函数具有非负定性；反过来，对非负定函数加些条件就能得到特征函数。

波赫纳尔波赫纳尔-辛钦（辛钦（Bochner-Khintchine）定理）定理.设满足上是连续的复值函数，则是特征函数的充分必要条件为它是非负定的。

此定理的必要性由特征函数的性质

（1）和（3），以及上面的定理可以得到。

充分性的证明非常复杂，这里省略。

上述定理将在第四章平稳过程中应用。

下面介绍一个与此相类似的定理，它也将应用于第四章。

为此先定义复数数列的非负定性。

2随机变量的特征函数定义定义.若复数列，有则称此复数列式非负定的。

赫尔格洛兹（赫尔格洛兹（Herglotz）定理）定理.复数列可以表示成的充分必要条件为它是非负定的，这里区间上的有界非降函数。

特征函数还可以用于证明中心极限定理。

这部分内容可参考复旦大学编概率论第一册。

结束2随机变量的特征函数