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高考江苏卷

2012年江苏省高考数学试卷解析

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上

1•（2012年江苏省5分）已知集合4｛h2,4｝，方二｛2,4,6｝,则人UB=▲

2.（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：

；3：

4,现用分层抽

样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生.

【解析】

分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此,

50X=15

由3+3+4知应从高二年级抽取15名学生。

住+折

3.（2012年江苏省5分）设dbwR,

1-21（i为虚数单位），则Q+b的值为

【答案】

8。

【考点】

复数的运算和复数的概念。

【分析】

由宀存严=挣鬧=晋曲，所以

【答案】

5。

【考点】

程序框图。

根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表:

是否继续循环

谀-虫+4

循环前

第一圈

是

第二圈

是

-2

第三圈

是

-2

第四圈

是

第五圈

是

第六圈

否

输出5

【分析】

最终输出结果k=5。

5.（2012年江苏省5分）函数訂的定义域为_丄

【答案】

【考点】

函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲

【答案】

【解析】

•••以1为首项，-3为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,•其中有5个

6_3

•••从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是1。

5。

7.（2012年江苏省5分）如图，在长方体期CD-A耳闊中，肋=皿二％m,纠"血，

/_PDnn-X3忑X2X-忑=6

•••四棱锥“-口时心的体积为32。

&（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系◎

L-P=1

中，若双曲线加朋'+4的离心率为

则旳的值为丄

C++4f-

段=—=L=v57

°血，即*-4尽+4=0,解得沪2。

9.（2012年江苏省5分）如图，在矩形朋饬中，肪二也"02,点E为处的中点,

点F在边CD上，若AS*AF=/,则AS，EF的值是▲

【答案】

•.•曲=©,.•.伍df=7^,.•.窈j°.・.cF=V^-i。

记肚和BF之间的夹角为AkSB-d^AFBC-^,则弘0：

+/!

。

又•••BC=2、点E为BC的中点，•.酬J。

本题也可建立以人E力D为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

【答案】

2兀

cos

a+-

=—

sina+—

16；

•

•1d

\J?

£in

=2sin

Q+-

cos

a+-

I3J

[6丿

。

25225250。

12.（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系◎中，圆C的方程为F+护-8X+15二0，若

直线y=b-2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则上的最大值是▲

【解析】

•••圆C的方程可化为：

山-4『+“1•.圆C的圆心为（4卫），半径为1。

•••由题意，直线y=h-2上至少存在一点虫（和妬J-2），以该点为圆心，1为半径

的圆与圆C有公共点;

|4i-2

•••存在叽eR，使得嵐Q+1成立，即虫©五-2。

-<2

迪即为点C到直线y士-2的距离加十］Jh+］，解得

3。

••上的最大值是3。

13.（2012年江苏省5分）已知函数/（X）二F+处+她佻R）的值域为［0,+耳，若关

于x的不等式

血"的解集为血皿+6）,则实数c的值为_▲

【解析】

由值域为［0,+◎，当F+苗必=0时有=0,即4,

fW=+处=H+盘玄+—=J+-

4I2丿。

解得2,22。

则住的取值

范围是▲

【答案】

【考点】

可行域。

rab、f

3-+->5

【解析】

条件血T,cln於血可化为:

一=芹

设E

y=-

已知兀y满足

，则题目转化为:

'张十沖5

Z+y<4

/>&j>0

，求

X的取值范围。

作出（兀y）所在平面区域（如图）.线的斜率0，设过切点户（引的切线为

旳-E鬲+加飞I用

则州*0州，要使它最小，须旳司o

•X的最小值在卩怖曲处，为e。

此时，点刊肝曲在尸/上之间。

严4-Xy=5-3x[4^=20-12x

尸/

的切

）对应点c时,

。

求出

y=&x+旳>0）

当（兀y

•••X的最大值在C处，为7o

5尸2—5.^尸厶7

•I的取值范围为b7」，即a的取值范围是

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

—*

15.（2012年江苏省14分）在iASC中，已知AC=BC.

（1）求证：

taii5=3tan>l；

cosC=—J

（2）若5求A的值.

【答案】解：

（1）•••AE*AC=3IiA*蛮，•肪曲•血辰1弘BC*co££,即

JlC*cos>3£C*cosB。

竺二竺

皿泄£

cmBcosj4即

由正弦定理，得sin5sin.4siflRMS』=3sirL』*C：

0$^J。

又•••,•••C必』>0,cos5>QO

tanB=3tanJl。

co£C*=—1OwCs

tanj4+tan5

二

•l-tanA>tanB

（2）v5

.t曲卜-（A+引卜2即tan（A+5）=-2

上驾2toA司tanJ—1

由

（1），得1-3面務，解得3。

A=-

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

—*,IF

【解析】

（1）先将AB>AC=3胁表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

伽“十+可］,从

（2）由应¥'可求画7,由三角形三角关系，得到

而根据两角和的正切公式和

（1）的结论即可求得A的值。

16.（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱低-4耳G中，锢詔q，D、S分别是棱方C,CC］上的点（点D不同于点C）,且如丄现』为恥的中点.

求证：

（1）平面ADEi平面方cq耳；

（2）直线AF"平面4加.

J.7

【答案】证明：

（1）V趾C-A耳G是直三棱柱，•.cq丄平面ABCO

又•••肛＞匸平面掘c,m丄肋。

又...Q丄DE,CqDE匚平面BCq耳，CqnDE=£,..肛）丄平

又ADu平面虫DS,•.平面Q?

丄平面呻。

（2）•••«耳MG,F为耳G的中点，•.AF丄耳Go

又皿丄平面妬q,且朋U平面他q,•鸥丄裁O

又••叫恥'匚平面脱關邓闻=q,闪丄平面妬qO由

（1）知，曲丄平面网耳，••则//血。

又•••AD匸平面個，仍平面』DE,•.直线£F〃平面個

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】

（1）要证平面ADS1平面方cq耳，只要证平面AQg上的ADi平面方cq耳即可。

它可由已知曲。

-箱G是直三棱柱和Q丄DS证得。

（2）要证直线AF〃平面』DE，只要证人卩//平面虫DE上的AD即可。

17.（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系砂，丫轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米•某炮位于坐标原点•已知炮弹发射后的轨迹在方程

尸+优>0）

20表示的曲线上，其中上与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地

点的横坐标.

（1）求炮的最大射程;

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过

多少时,

炮弹可以击中它？

请说明理由.

躍案】解：

（1）在"垢（側炯。

）中，令河，得/評灼4

由实际意义和题设条件知r>Q,fc>Q。

aoA

k，当且仅当k=l时取等号。

•••炮的最大射程是10千米。

舫-—Q+P）/W,2

（2），•炮弹可以击中目标等价于存在JOU，使20

成立,

有正根。

即关于k的方程（jV-2[]（7i+[3^+a4=o

卜2叱卜韧乍+64企0彳曰曲

20a+』（-20口『-4/甘十64）

此时，肓（不考虑另一根）。

•••当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

尸fcc-_（l+P）F优>0）

【解析】

（1）求炮的最大射程即求20与I轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

18.（2012年江苏省16分）若函数在6处取得极大值或极小值，则称为

函数的极值点。

已知也1是实数，1和-1是函数+的两个极值点.

（1）求a和i的值;

（2）设函数g（M的导函数旳）打⑴+2,求

的极值点；

（3）设，其中c€【-2$2］，求函数y=h（R的零点个数.

【答案】解：

（1）由f（x）/+aF+处,得％）=3*+2曲+3。

•/1和7是函数/⑴=F+oF+的两个极值点,

...列）=3+2姑口，才（-1）二3-2姑口，解得"电注3。

⑵•••由

（1）得，fW=*-3x

...£（力叮（力+2&-3；1+2二（兀-1仏+2）,解得丁矿LXj=-2

•••当”-2时，y”）uO；当-2wl时，炎）H,

•••r=-2是g（M的极值点。

•.•当或taI时，1=1不是的极值点。

g（M的极值点是一2。

⑶令f（沪,则灿论fd。

先讨论关于X的方程f（兀円根的情况：

讥日2

当叶2时，由

（2）可知，fU）=-2的两个不同的根为I和一2,注意

2。

到/（力是奇函数，•••他=2

的两个不同的根为一和

d<2

-1）-d=/

（2）-d-2-d>Z

2,-1,1,2都不是的根。

由

（1）知金W+1）（x1）。

①当恥仏+坷时，

于是/W是单调增函数，从而

他皿2）=2。

此时『（识在仏+8）无实根。

②当畫寺2）时./M>0，于是是单调增函数。

又•••f（l）-dvCi,/

（2）-dH,尸fd的图象不间断,•••TW在（1,2）内有唯一实根。

冋理，在（一2，一I）内有唯一实根。

③当毗（-bl）时，/w

的图象不间断,

•••TW在（一1,1）内有唯一实根。

有三个不同的根帀帀「3，满足闲7冃*5。

现考虑函数的零点:

（i）当归时，曲有两个根W「满足讣1也H。

而几X）吗1有三个不同的根，/⑴吗有两个不同的根，故y#（力有5个

零点。

（11）当E卜2时，代）=c有三个不同的根kS,满足

卅4冃4,5。

而f（啊（耳4,5]

有三个不同的根，故有9个零点。

有9个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】

（1）求出y叮（X）的导数，根据1和-1是函数y叮（X）的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由

（1）得，几x）/-3x,求出炎），令F⑴司，求解讨论即可。

虑函数的零点。

砂-J+£=1（口>0>0）

19.（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系A屮中，椭圆白占的左、

r®

\心率.

（1）求椭圆的方程;

（2）设4B是椭圆上位于r轴上方的两点，且直线朋;与直线方时平行，人可与B耳交于

点P.

（i）若2,求直线肿1的斜率;

（ii）求证：

璃+P耳

由点

总，

2丿

“丫

在椭圆上，得

（2丿

2丿d

-1^―r+

•••椭圆的方程为2o

2宁+扌2宀佃+4g宀

⑵由

（1）得肝W（h0），又•.•型//B片,

•••设缨、蹈的方程分别为阳r+h那E雉F亦帝M丹沁护0。

f厂宀2）己砌■冋》=竺辺吝I

'丿加+2

•鴉片=Xi+1

••Uo

码=—-——I

同理,

加Jd+1三&

解+22得加=2o

加+2。

②

（i）由①②得，尬+2

•.•注意到旳:

>D,•.沪近o

•••直线型的斜率为加3o

PB_^

（ii）证明：

•••型//两，.••丽二M,即

由点5在椭圆上知，跖+鸥=2爲，...'

PF产

同理。

由①②得,

觸+亦=

吩PF讦2忑-学冷

U£■O

.•.囲+P耳是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

阴-砌卫

（2）根据已知条件2，用待定系数法求解。

20.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列｛耳｝和少」满足:

、_务+玄

*+】■/22

賦也，衣沪，

妇+1=1+』

是等差数列;

（1）设％，丹EN,求证：

数列

（*）矛盾。

&I1丿

*g+打

15讪—

1为公差的等差数列。

宓屮J

。

（*

设等比数列｛%｝的公比为g,由知甘°，下面用反证法证明円

肿，则严紳皿」当i诘时，“唧皿，与

住］=—科＞10g丄4*

矛盾。

若gqU则？

，•当时，漏1"蛆'与（*）

•••综上所述，沪1。

.••陽叫应叭」1€恥0

又•••

，于是

又由A+»即耐「得™彳•••卯S鸟中至少有两项相同，与W鸟矛盾o.・.a应o

J士阿F（兀羽

•••肌=0

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

_务+玄.一*

~i—2r妇+L=1+

（1）根据题设V坷！

+»和

数列。

最后用反证法求出住我=羽。

］数学n（附加题）

B.［选修4-2:

矩阵与变换］（2012年江苏省10分）已知矩阵山的逆矩阵

求矩阵A的特征值.

令几久冋，解得矩阵4的特征值A"L0o

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵乂的特征值。

C.［选修4-4:

坐标系与参数方程］（2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C经过点

•圆C经过极点。

.••圆C的极坐标方程为尸2服。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

p应

经过点

4丿求出圆0的半径。

从而得到圆C的极坐标方程。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（2012年江苏省10分）设（为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，当两条棱平行时，？

的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，f

（1）求概率P（m）;

（2）求?

的分布列，并求其数学期望

【答案】解：

（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱,

•••共有对相交棱。

3誓护;I

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或d,其中距离为农的共有6对,

111111。

找$=1）=11=0）-Pig=^）=1-—-丄=£

•••随机变量f的分布列是:

•其数学期望E3令屈卜学。

昭1）

（2）求出两条棱平行且距离为。

的共有6对，即可求出PC忑），从而求出

（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量（的分布列，求出其数

学期望。

条件的集合人的个数:

①肚巴;②若r",则2丫；③若X€CJ，则加Cp/。

（2）求『何的解析式（用H表示）.

【答案】解：

（1）当《=4时，符合条件的集合虫为：

{2}也4},{2,命{134},

=4。

（2）任取偶数》€乙，将丫除以2,若商仍为偶数.再除以2,…经过上次

以后.商必为奇数.此时记商为和。

于是，其中用为奇数Ic"鬥。

由条件知.若毗丄则re虫ufc为偶数；若rnM，则re虫ui为

奇数。

于是r是否属于人，由用是否属于虫确定。

设&是£中所有奇数的集合.因此/何等于Q.的子集个数。

当M为偶数〔或奇数）时，£中奇数的个数是2

（2）。

2『佢为偶数）

*+1

2〒（咖奇数）。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

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