教堂顶部曲面面积的计算方法.docx
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教堂顶部曲面面积的计算方法
教堂顶部曲面面积的计算方法
教堂顶部曲面面积的计算方法
一．实验目的
本试验主要涉及微积分，通过试验将复习曲面面积的计算、重积分和Taylor展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法。
二．实验内容
1.某个阿拉伯国家有一座着名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。
因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。
据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m。
考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多％.据此，国王的财政大臣拨出了可制造5750m有规定厚度金箔的黄金。
建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。
于是，他以较低的承包价得到了这项装饰
工程，但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭圆球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。
取椭圆中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭圆球面的方程可写为
其中R=30，a=，b=，而其表面积为
这里积分区域D为
通过简单的计算容易得到
引进变量代换
则教堂顶部曲面面积为
（1）利用数值积分方法，用梯形法和simpson法两种近似格式计算教堂顶部曲面面积；
（2）利用摄动的方法近似计算教堂顶部曲面面积；
（3）试用数学软件直接计算教堂顶部曲面面积。
2.在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装饰着或者内藏着各种钻石。
其中有一中较大的金“蛋”，“蛋”壳的外层表面是一个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为8cm、5.2m和5cm。
“蛋”壳的厚度为0.24cm，重量是1680g。
检验这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的。
（金的密度是cm）
3.建筑商人哈桑在对另一座伊斯兰建筑物顶部表面进行装饰时，他碰到的是一个类似半球面、然而又具有一些其他变化规律的曲面，哈桑这次仍要对该建筑物的顶部贴以金箔，我们可以确切地用球坐标表示该曲面方程，为
其中R＝30（m），如果由技术和损耗的因素将使用料比实际面积多%，那么装饰这个顶部至少需要多少金箔
（1）利用数学软件直接计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量；
（2）用数值方法近似计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量；
（3）将上述两结果进行比较。
三．实验方法
1.实验理论
（1）数值积分方法
对于二重积分，可以如同一元函数定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似简化求积，再把所得的值求和即可。
考虑矩形区域D上的二重积分，将D划分mn个相等的小矩形，s和t分别是s和t方向的分点，那么小矩形上的积分可写为
记
则
若对这两个单积分都用梯形法，就有
而
这样便可求得在D上的积分I的近似值
当将分点增加一倍使得而记
那么对
的两次积分都用Simpson法，就得到
从而
于是有积分I的近似值为
（2）摄动方法
简单地说，摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法，应用于积分计算，常常是采取将被积函数（或其部分）展开的方法，通过一个简单例子来说明这方法。
对于计算
利用Taylor公式，关于参数展开，有
余项的写法考虑到了
我们称级数为函数的渐近级数，通常
应用渐进级数的有限项来近似函数。
例如，在这里把前n+1项替换代入
积分式那么由于
可得
当时，用上式前5项计算的误差不超过.
2数学软件实现
（1）教堂顶部面积问题
a.利用数值积分方法，用梯形法和simpson法两种近似格式计算教堂顶部曲面面积
将方程改写为
梯形法核心程序段如下
f=sqrt（t.^2*ones（size（t））'+R^2*（1-t.^2）*（（cos（e）/a）.^2+（sin（e）/b）.^2））;
forj=2:
m+1
fori=2:
m+1
Iij（i,j）=k*h/4*（f（i-1,j-1）+f（i,j-1）+f（i-1,j）+f（i,j））;
end
end
I=sum（sum（Iij））;
S=a*b*I;
simpson法核心程序段如下
f=sqrt（t.^2*ones（size（t））'+R^2*（1-t.^2）*（（cos（e）/a）.^2+（sin（e）/b）.^2））;
forj=2:
2:
2*m
fori=2:
2:
2*m
Iij（i,j）=k*h/9*（f（i-1,j-1）+f（i+1,j-1）+f（i-1,j+1）+f（i+1,j+1）...
+4*（f（i,j-1）+f（i-1,j）+f（i+1,j）+f（i,j+1））...
+16*f（i,j））;
end
end
I=sum（sum（Iij））;
S=a*b*I;
b.利用摄动的方法近似计算教堂顶部曲面面积
引进小参数
那么面积表达式成为
应用摄动方法，要对函数
关于小参数α和β展开。
在这种双参数的情况，我们可以直接运用二元函数的Taylor公式，但也可以借助一元函数的Taylor公式，即先将函数中的看作一个整体（一项）进行展开，然后再作进一步的处理，从而可得
因为
取g前有限项积分，可近似求得结果，
下为求解析解核心程序段：
symsreabAB
y1=int（r/sqrt（1-r^2）,0,1）
g1=a*b*int（y1,e,0,2*pi）
y2=int（（A*cos（e）^2+B*sin（e）^2）*r^3/（2*sqrt（1-r^2））,r,0,1）
g2=a*b*int（y2,e,0,2*pi）
y3=int（（A*cos（e）^2+B*sin（e）^2）^2*r^5/（8*sqrt（1-r^2））,r,0,1）
g3=a*b*int（y3,e,0,2*pi）
s=g1+g2-g3
下为求数值解的核心程序段：
a=;
b=;
A=;
B=;
symsre
y1=int（r/sqrt（1-r^2）,0,1）
g1=a*b*int（y1,e,0,2*pi）
y2=int（（A*cos（e）^2+B*sin（e）^2）*r^3/（2*sqrt（1-r^2））,r,0,1）
g2=a*b*int（y2,e,0,2*pi）
y3=int（（A*cos（e）^2+B*sin（e）^2）^2*r^5/（8*sqrt（1-r^2））,r,0,1）
g3=a*b*int（y3,e,0,2*pi）
S=double（g1+g2-g3）;
c.用数学软件直接计算教堂顶部曲面面积
程序代码如下：
functiony=ep2_f0（r,e）
a=;
b=;
R=30;
y=a*b*sqrt（r.^2+R^2*（1-r.^2）*（（cos（e）/a）^2+（sin（e）/b）^2））;
s4=dblquad（'ep2_f0',0,1,0,2*pi）;
（2）检验复活节蛋的壳是否用纯金制作的
计算出蛋的面积，进而得体积，用质量比上求得体积得到蛋的密度，与黄金密度相比较就可知蛋是否为纯金制作。
利用数值积分方法近似求解，取m=18,求得体积L,核心程序如下：
f=sqrt（t.^2*ones（size（t））'+R^2*（1-t.^2）*（（cos（e）/a）.^2+（sin（e）/b）.^2））;
forj=2:
2:
2*m
fori=2:
2:
2*m
Iij（i,j）=k*h/9*（f（i-1,j-1）+f（i+1,j-1）+f（i-1,j+1）+f（i+1,j+1）...
+4*（f（i,j-1）+f（i-1,j）+f（i+1,j）+f（i,j+1））...
+16*f（i,j））;
end
end
I=sum（sum（Iij））;
S=2*a*b*I;
L=*S;
（3）伊斯兰建筑物顶部表面积
a.利用数学软件直接计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量；
利用球坐标方程改写成积分中的函数f（u，v），程序如下：
x=R*sin（v）*cos（u）*（1+*sin（6*u））;
y=R*sin（v）*sin（u）*（1+*sin（6*u））;
z=R*cos（v）;
E=simple（diff（x,u）^2+diff（y,u）^2+diff（z,u）^2）;
G=simple（diff（x,v）^2+diff（y,v）^2+diff（z,v）^2）;
F=simple（diff（x,u）*diff（x,v）+diff（y,u）*diff（y,v）+diff（z,u）*diff（z,v））;
EG_F2=simple（E*G-F^2）
f_uv=sqrt（EG_F2）
利用int命令将f（u，v）在相应区域积分。
程序如下：
f_u=int（f_uv,v,0,pi/2）
f=int（f_u,u,0,pi/6）
S=12*double（f）
b.用数值方法近似计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量；
m=15;
R=30;
k=pi/6/（2*m）;
h=pi/2/（2*m）;
u=0:
k:
pi/6;
v=（0:
h:
pi/2）';
forj=1:
2*m+1
fori=1:
2*m+1
f（i,j）=sqrt（1/100*R^2*sin（v（j））^2*（101+20*sin（6*u（i））+35*cos（6*u（i））^2）...
*（1/100*R^2*cos（v（j））^2+1/5*R^2*cos（v（j））^2*sin（6*u（i））...
-1/100*R^2*cos（v（j））^2*cos（6*u（i））^2+R^2）...
-9/2500*sin（v（j））^2*R^4*cos（v（j））^2*cos（6*u（i））^2*（10+sin（6*u（i）））^2）;
end
end
clearIij;
forj=2:
2:
2*m
fori=2:
2:
2*m
Iij（i,j）=k*h/9*（f（i-1,j-1）+f（i+1,j-1）+f（i-1,j+1）+f（i+1,j+1）...
+4*（f（i,j-1）+f（i-1,j）+f（i+1,j）+f（i,j+1））...
+16*f（i,j））;
end
end
I=sum（sum（Iij））;
S=12*I
四．实验结果
（1）教堂顶部面积问题
a.利用数值积分方法，用梯形法和simpson法两种近似格式计算教堂顶部曲面面积
梯形法结果：
m
S
m
S
2
16
4
24
6
44
10
100
Simpson法结果：
m
s
m
s
2
16
4
24
6
44
10
100
梯形法在m=44及Simpson法在m=6是表面积为5679.81平方米，若仅要求到精确到（m2）,而加上技术与损耗等因素，教堂顶部实际使用金箔总面积为
而国王的财政大臣拨出了可制造5750m有规定厚度金箔的黄金，显然，建筑商人哈桑在金箔上将入不敷出，从而招受损失。
b.利用摄动的方法近似计算教堂顶部曲面面积
利用求解析解的方法，求得前三项的积分函数，
分别为
S1=2*a*b*pi
S2=a*b*（1/3*B*pi+1/3*A*pi）
S3=a*b*（1/30*A*B*pi+1/20*A^2*pi+1/20*B^2*pi）
s=2*a*b*pi+a*b*（1/3*B*pi+1/3*A*pi）-a*b*（1/30*A*B*pi+1/20*A^2*pi+1/20*B^2*pi）
将a=;b=;A=;B=;代入s1,s2,s3,进而得S的近似值
S1=45288/25*pi=
S2=-1096347/312500*pi
S3=/*pi
S=
与数值积分方法相比，用梯形法需取到m=24才能得到S=，可见近似效果不错。
c.用数学软件直接计算教堂顶部曲面面积
教堂顶部曲面面积公式为：
利用dblquad命令计算S=
考虑损耗后面积为5765.01平方米，国王的财政大臣拨出了可制造5750m有规定厚度金箔的黄金，亏损15.01平方米黄金。
（2）检验复活节蛋的壳是否用纯金制作的
计算出蛋的面积，进而得体积，用质量比上求得体积得到蛋的密度，与黄金密度相比较就可知蛋是否为纯金制作
经运算得知：
金蛋表面积S=平方厘米，
因为金蛋重量为1680克，
所以此金蛋密度为（g/cm3），小于黄金密度，
故复活节蛋的壳不是用纯金制作的。
（3）伊斯兰建筑物顶部表面积
a.利用数学软件直接计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量
利用matlab的符号求解法得到被积函数f_uv:
f_uv=
3*（sin（v）^2*（100+20*sin（6*u）+sin（6*u）^2+36*cos（6*u）^2）*（cos（u）^2+sin（u）^2）*（9*cos（v）^2+180*cos（v）^2*sin（6*u）-9*cos（v）^2*cos（6*u）^2+900）-324*cos（v）^2*cos（6*u）^2*sin（v）^2*（cos（u）^2+sin（u）^2）^2*（10+sin（6*u））^2）^（1/2）
利用int命令在相应区域上积分可求得S
S=
由于技术和损耗的因素将使用料比实际面积多%，那么装饰这个顶部至少需要*%=（平方米）金箔。
b.用数值方法近似计算建筑物顶部表面积，进而计算所需金箔量
利用数值积分的Simpson法在m=15时给出建筑物顶部近似表面积S:
S=
哈桑这次仍对该建筑物的顶部贴以金箔,由于技术和损耗的因素将使用料比实际面积多%，那么装饰这个顶部至少需要*%=（平方米）金箔。
c.此伊斯兰建筑物顶部立体图像
五．联想与猜测
1.若利用数值积分方法近似计算曲面面积，则亦利用C语言编写求解程序代码，给定函数f和m后，利用两次循环嵌套，即可求出近似面积。
2.利用matlab的符号推导的特点，可利用limit（求极限）、diff（求各阶导数）、int（求积分）、solve（求解方程）、dsolve（求解微分方程）等命令得到一些解析解，这对问题的解决是很有帮助的。
3．要考虑到不同方法适用于不同问题，比较直观的问题（被积函数易得）可直接利用数学软件在相应区域积分即可，
可引入小参数的情形则可利用摄动的方法求解，如比较容易实现循环的情况下（C,C++，VB等）可利用数值积分的方法得到十分精确的解。
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