二次根式易错题集.docx
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二次根式易错题集
二次根式易错题集
一、二次根式的概念：
二次根式的性质：
1.a（a≥0）是一个非负数。
2.a2=a（a≥0）
⎧a（a≥0）3.a2=a=⎨⎩-a（a0）
错题：
1.52=52.
-32=－（－3）=33.25-（-1）2=5－1=4
4.6=3∙6=9⨯6=54或3=5.-
（）
2
2
）
2
（）⨯6）=54）=54
2
2
2
2
-62
=--6=-66.5
-2
=
11⎛1⎫==⎪255⎝5⎭
2
7.根据条件，请你解答下列问题：
（1）已知20-n是整数，求自然数n的值；
解：
首先二次根式有意义，则满足20-n≥0,所以n≤20,又因为20-n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20-n必定可化为20-n=a2（a为整数,且a≥0）这种形式，即
20-n=a2（a为整数,且a≥0）。
所以满足条件的平方数a2有0，1，4，9，16。
所以n=20,19,16,11,4.
（2）已知20n是整数，求正整数n的最小值
解：
因为20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20n必定可化为20n=a2（a为整数）这种形式，即20n=a2（a为整数），而20n=4⨯5⨯a2（a为整数），4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n的最小值就是5，因5⨯5=52能被开平方。
所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能
开平方的数。
7-2.
（2）已知-n是正整数，求实数n的最大值；
解：
因为20-n是正整数，所以满足12-n0,所以n12,所以根号内的数一定是一个平方数，即
20-n必定可化为20-n=a2（a为整数,且a0）这种形式，即20-n=a2（a为整数,且a0）。
所以满
足条件的平方数a2有1，4，9。
所以n=11,8,3.最大值为11.8.计算
x）+2
x-2
）
2
9.计算：
若a-4+-9=0,则
a）
22
-a+
）
22
-b=
10.已知y=2x-5+5-2x-3，则2xy的值为。
⎛x⎫
⎪=1成立，则x的取值范围是。
-211.若等式3⎪
⎝⎭
11-1.已知aa-3≤0，若b=2-a，则b的取值范围是
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。
对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。
又题目aa-≤0，所以a-3≤0，a≤，所以0≤a≤3.不等式两边都乘以－1得-≤-a≤0，不等式两边同加2得，2-≤2-a≤211-2.已知aa-0，若b=2-a，则b的取值范围是。
解：
对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。
对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。
又题目aa-30，所以a≠0,所以a-0，得a，所以
（）
（）
（）
（）
0a.不等式两边都乘以－1得--a0，不等式两边同加2得，2-2-a2
12.已知a,b,c满足
11
a-b+22b+c+c2-c+=0，求-ab+c的值。
24
13.已知实数a,b,c满足a+b-8+-a-b=3a-b-c+a-2b+c+3，请问：
长度分别为a,b,c的三条线段能否组成一个三角形？
如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。
14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a28b，则a+b。
15.选择：
已知实数m,n为两个连续的整数（mn），q=mn，设p=q+n+q-m，则p。
A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数16.在实数范围内分解因式
（1）a2-5
（2）x2-22x+217.化简求值：
（1）2a（a+b）-（a+b），其中a=2019，b=2019；
2
a2+2a+11
+，其中a=-1-5
（2）a+1+2
a+aa
19.（2019江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是
A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根
【答案】C
20.（2019浙江杭州）4的平方根是
A.2B.±2C.16D.±16【答案】B
21.（2019浙江嘉兴）设a>0、b>0，则下列运算中错误的是（▲）．．
（A）ab=a⋅b
（B）a+b=a+b
a
=b
（C）（a）2=a
（D）
【答案】B
22.（2019江苏常州）下列运算错误的是
=
B.【答案】A
23.（2019江苏淮安）
A．2B．3C．4D．5【答案】B
23.（2019湖北荆门）若a、b为实数，且满足│a－2│+-b=0，则b－a的值为A．2【答案】C
B．0
2
=
=
D.（2=2
2
C．－2D．以上都不对
24.（2019湖北恩施自治州）（-4）的算术平方根是:
A.4B.±4C.2D.±2【答案】A
25.下列命题是真命题的是（）
A．若a=b，则a=bB．若x=y，则2－3x﹥2－3yC．若x=2，则x
D．若x=8，则x=±2【答案】C
26.（2019湖北襄樊）下列说法错误的是（）
A
2C
【答案】D
27.（2019湖北襄樊）
A．6至7之间【答案】B
B
是无理数
2
3
22
D
．
是分数2
的结果估计在（）
C．8至9之间
D．9至10之间
B．7至8之间
28.（2019四川绵阳）要使-x+
1
有意义，则x应满足（）．2x-1
1111
A．≤x≤3B．x≤3且x≠C．＜x＜3D．＜x≤3
2222
【答案】D
29.（2019四川绵阳）下列各式计算正确的是（）．
114
A．m2·m3=m6B．=⋅=3
333
23+33=2+3=5D．（a-1）
11=-（1-a）2⋅=--a（a＜1）1-a1-a
【答案】D
30.（2019湖南湘潭）下列计算正确的是
A.2+3=2B.a+a=aC.（2a）⋅（3a）=6aD.2-1=【答案】D
31.（2019贵州贵阳）下列式子中，正确的是
（A）10＜＜11（B）11＜＜12（C）12＜＜13（D）13＜＜14【答案】B
32.（2019四川自贡）已知n是一个正整数，n是整数，则n的最小值是（）。
A．3
B．5
C．15
D．25
2
2
3
1
2
解：
n是整数，那么n肯定能化为n=a2的形式，所以135n=a，将的135分解因式
135=3⨯5⨯9=3⨯5⨯32，要使135n=a2，那么必须再乘以3×5=15才行，所以n=15.【答案】C
33.（2019天津）比较2
的大小，正确的是
（A
）2
2
（B
）2
5，所以372【答案】C
34.（2019福建德化）若整数m满足条件（m+1）2＝m+1且m＜【答案】0
25
，则m的值是．
35.（2019福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：
0，3，6,3,2,
„„那么第10个数据应是。
2
解：
0=0⨯3，3=⨯，6=2⨯3=2⨯3，3=3⨯3，2=2⨯3=4⨯，第
n个数应为n-1⨯，第10个数为-1⨯=9⨯3=3【答案】33
36.已知：
a、b为两个连续的整数，且a
37.已知x-1=3，求代数式（x+1）2-4（x+1）+4的值．
【答案】解法一：
原式＝（x+1-2）„„„„„„„„„„„2分＝（x-1）„„„„„„„„„„„4分当x-1=3时
原式＝（）„„„„„„„„„„„6分＝3„„„„„„„„„„„8分解法二：
由x-1=3得x=+1„„„„„„„„„„„1分
化简原式＝x+2x+1-4x-4+4„„„„„„„„„„„3分
＝x-2x+1„„„„„„„„„„„4分＝（3+1）2-2（3+1）+1„„„„„„„„„„5分
＝3+2+1-23-2+1„„„„„„„„„„7分＝3„„„„„„„„„„„8分
2
2
2
2
2
38.（2019山东烟台）（本题满分6分）先简化，再求值：
【答案】
其中
x-y（x-2y）2x-2yx-yx2-y2解：
=⋅=÷2
2
x+yx-2yx-4xy+4yx-2y（x+y）（x-y）当
时，原式=
1+2-2（1-2）1+2+1-2
=
32-1
2
39.（2019福建晋江）（8分）先化简，再求值：
x⎫x2-1⎛3x
-，其中x=2-2⎪⋅
x⎝x-1x+1⎭
⎡3x（x+1）x（x-1）⎤x2-1
【答案】解一：
原式=⎢-⎥⋅x
x-1x+1x-1x+1⎣⎦
3x2+3x-x2+xx2-1
=⋅
x-1x+1x
2x2+4xx2-1
⋅=
x-1x+1x
=
2x（x+2）（x+1）（x-1）⋅x-1x+1x
=2（x+2）
当x=2-2时，原式=22-2+2=22
）
3xx2-1xx2-1
⋅-⋅解二：
原式=x-1xx+1x
=
3x（x-1）（x+1）x（x-1）（x+1）⋅-⋅x-1xx+1x
=3（x+1）-（x-1）=3x+3-x+1=2x+4
当x=
2-2时，原式
=22）+4=22
5x-3）÷40.（2019湖北武汉）先化简，再求值:
（x-2-，其中x=2-3.x+22x+4
x2-452（x+2）
-）∙【答案】答案:
原式=（x+2x+2x-3
x2-92（x+2）（x+3）（x-3）2（x+2）
===2x+6.∙∙
x+2x-3x+2x-3
当x=2-3时，原式=2（2-3）+6=22.41.若等式（
x
-2）0=1成立，则x的取值范围是.3
b
b
0b0
0次幂的底数不能为0，为0时无意义。
a=a÷a，若a=0，则有0=0÷0=b=无意义。
00
【答案】x≥0且x≠12
b
b
42.
已知6-3m+（n-5）=3m-6-，则m-n=．解：
使
2m-3nm-3n
2
22
有意义的条件是（m-3）n≥0，而n≥0，所以只需m-3≥0，即m≥3。
所以6-3m0,所以
6-3m=3m-6，所以原式为3m-6+（n-5）=3m-6-
2m-3n
2
，即（n-5）=-
2m-3n
2
2
。
因（n-5）≥0，
2
所以-
2
≥0,所以
m-3n
2
所以n=5，代入=0,所以（n-5）=0，
2m-3n
=0,得
m-3⨯5
2
=0,
得m=3,所以m-n=3-5=-2
【答案】－2
43.已知x，y为实数，且满足+x-（y-1）-y=0，那么x
2019
－y2019．
解：
使-y有意义，则y≤1,则-（y-1）≥0,所以-（y-1）-y≥0，又+x≥0,且+x-（y-1）-y=0，所以-（y-1）-y=0,【答案】－2；
44.已知a、b为有理数，m、n
分别表示5的整数部分和小数部分，且
+x=0,求得x=-1,y=1.所以x2019－y2019=－2.
amn+bn2=1，则2a+b=。
分析：
只需首先对5-估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5-7-a表示．再分别代入
amn+bn2=1进行计算．
解：
因为2＜7＜3，所以-3-7-2,所以5-35-75-2,所以2＜5-7＜3，故m=2，
n=5-7-2=3-7．
化简得（6a+16b）-7（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含
2
把m=2，n=3-代入amn+bn=1得，23-7a+3-b=1
（）（）
2
，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=所以2a+b=3-【答案】45.
若m=
52
31，b=-．22
15
=22
543
，则m-2m-2019m的值是．
可得
解：
如果直接代入计算，
将会非常复杂。
必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。
m=
m=
2019+12
m3因式分.又可将m5-2m4-2019=2019+1,则m-1=2019.则（m-1）=2019
2019-12019+1
）
解得m3m2-2m-2019=m3m2-2m+1-2019=m3（m-1）-2019=m3
2
（）[（）]
[]
[2019）-2019]=0.
2
【答案】0
46.已知m=1+2，n=1-2，则代数式m2+n2-3mn的值为（）
A.9B.±3C.3D.5
22
解：
像这种两个数为x=a+b,y=a-b.的形式，可化成x+y=2a从而消去b，化成xy=a-b可消去根式。
一看
2222
到两个字母的平方和m+n就要想到用完全平方公式进行配方成m±n
m2+n2-3mn=m2+n2+2mn-5mn=
m+n2
-5mn=22-51+21-2=3
（）
的形式。
【答案】C
47.（2019山东烟台，19,6分）先化简再计算：
x2-1⎛2x-1⎫2
÷x-⎪，其中x是一元二次方程x-2x-2=0的正数根.2
x+x⎝x⎭
1x（x+1）（x-1）x2-2x+1x-1
【答案】解：
原式===.⋅÷2
x-1x（x-1）x（x+1）x解方程得x2
-2x-2=0得：
x1=10，x2=10.
所以原式
.★★48.（2019山东日照，18，6分）化简，求值：
【答案】原式=
m2-2m+1m2-1
÷
（m-1）（m+1）-（m-1）
m+1
m2-2m+1m2-1
÷（m-1-
m-1
）m+1
其中m=．，
（m-1）2m+1
∙2=
（m-1）（m+1）m-1-m+1
m-1m-1m+1
==2∙2
m+1m-mm-m
1m-1
==．
mm（m-1）
∴当m=3时，原式=
1=
3
．3
49.（2019•青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）
2019
=
考点：
非负数的性质：
算术平方根；非负数的性质：
绝对值。
分析：
根据题意得
+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
解答：
解：
依题意，得+|a﹣2|=0，
根据非负数的意义，得，2b+6=0，
解得：
b=﹣3，a﹣2=0，解得：
a=2，
20192019
∴（a+b）=（﹣1）=﹣1．故答案为为：
﹣1．
点评：
此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：
a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质．50.
是同类二次根式的是（）
1a+b有意义，则a+b0,所以
5
a+b3
a+b1=a+b,
5a+b
2
（a+b）（a+b）=
4
a+b
=a+b,
33
=a+b.所以答案为A.a+
ba+b
51.若最简二次根式x的值为.
-1[提示：
根据题意得x+3=3x
+5，解得x=-1.]
52.
.
2
.]3[
53.
已知x+y=
5,xy=3,.
解：
x+y=5,xy=3,∴x＞
0,y＞0,∴原式=
==
54.阅读下列材料，然后回答问题.
们可以将其进一步化简
.
（一）
==
=；
（二）
（三）===1；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
.
还可以用以下方法化简：
23-1
==3+13+1
）-1=2
+1
3+13-1
=-1（四）
3+1
）
（1）请用不同的方法化简
；
；
+
（2）
+…
解：
（1
==
22====
…+
=1
（2
…1.
1111
+++...++15+7+52n+1+2n-1
=
121=2=
=
3-1
2n+1-2n-1）3-1）5-）7-5）+++...+
5-3
7-5
3-1
+
3+13-1
）
-3
+
5+3-3
）
7-5
+...+
7+7-
）
2n+1-2n-1
2n+1+2n-12n+1-2n-1
）
2n+1-2n-1-1+-3+7-5+...+2n
+1-2n-12n+1-1
）
）
55.在实数范围内分解因式：
x4-9=__________,x2-+2=__________
答案：
（
x+3）xx;x
2
（
（2
56.
把。
解：
使二次根式有意义则a0,所以a-
1
0,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使a
其小于0.即a-答案：
57.
1⎛1⎫
=-a2⨯-⎪=--a,
a⎝a⎭
x0）
y=-2）
x0）x+y中，二次根式有（C）A.2个B.3个C.4个D.5个
解：
根据二次根式定义:
（a≥0）叫做二次根式。
满足两个条件，第一根指数是2，第二被开方数大于等于
0.所以
x
（x0）,2,-2x（x0）,x2+1满足条件，y+1（y=-2）的被开方数小于0，的根指数为3，x+y2
不是根式。
故选C.
58.下列各式一定是二次根式的是（C）
解：
只有第一根指数是2，第二被开方数大于等于0.故选C.59.
的值是（D）
A.0B.4a-2C.2-4aD.2-4a或4a-2
【专题解读】
当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.=|a|进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.解
=2a-+-2a
1
令2a-1=0,1-2a=0,得a=.
211
于是实数集被分为a≥和a两部分。
22
1
①当a≥时，2a-1≥0,1-2a≤0.所以原式=2a-1+2a-1=4a-2.
21
②当a时，2a-10,1-2a0.所以原式=1-2a+1-2a=2-4a.
2
规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：
首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
60.下面的推导中开始出错的步骤是（）
==（
1）
-=
=（
2）
∴=-（3）∴2=-2（4）
A.
（1）B.
（2）C.（3）D.（4）
解：
第
（2）步出错了。
正确的应为-2=-22⨯3=-61.★★★★已知x2-3x+1=
0解：
此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。
可对已知方程和要求的根式进行适当变形后再代入求解更简单。
观察根式12
，是这是典型的a2+b2的形式，可使用完全平方公式进行配方x+2x
2
为a2+b2=a2+b2±2ab2ab=（a±b）2ab。
11⎫⎛
于是可将二次根式变形为x2+2+2-4=x+⎪-4„①，
xx⎭⎝
2
1⎫⎛
也可变形为x-⎪„②
x⎭⎝
11
已知方程x2-3x+1=0要变成x+或x-的形式就必须降次，因为方程隐含x≠0.所以将方程两边
xx11⎫同时除以x进行降次得x+=3，代入①得x+⎪-4=32-4=
xx⎭⎝
2
2
二、二次根式的乘除
二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算，最后把两个结果相乘。
记住两个公式a∙=ab（a0,b0）,错题：
1.化简9⨯125=9⨯5⨯25=32⨯5⨯52=3⨯=2.202-162=
aa
（a≥0,b0）。
=
b20+1620-16=
⨯4=62⨯22=6⨯2=12
3.2a⨯6a=2a⨯6a=a2=3⨯22⨯a=23a（不要写成2a3）4.
2424
⨯a3（a0）原式=⨯18a3=4⨯6⨯2⨯9a2=4⨯2⨯3⨯2⨯9a2=42⨯32⨯3a2=a（不aa
要写成12a3）
5.若正数x的两个平方根分别是2a+1和3-a，求x+7的值。
6.72÷327.÷
3223
a2
8.化简0.69.（a0,b0,c0）
bc29m2（）10.化简11.m0,n02
x4n
12.
1122
x÷x⨯13.ab22
a-bx
（）
x2-1
（x1,y0）化成最简二次根式为14.将
xy-y15.等式
xx
成立的条件是=
1-x-x
⨯，同学甲的解法是==；同学乙的解法是==；同学
333
16.选择题：
计算
丙的解法是
⨯3===。
你认为解法正确的同学是（A）
33⨯3
A.甲、乙、丙B甲、乙C乙D甲、丙17.当a≤0，b
0=__________。
解：
ab3=ab∙b2=b∙ab，因为b0.所以b∙ab=-bab.18.
m=_____,n=______。
⎧m+n-2=1
解：
因为都是最简二次根式，所以被开方数的次数为1.所以有⎨，解这得m=1,n=2.
3m-2n+2=1⎩19.已知xy
0，化简二次根式）
C.
解：
使二次根式y≤0,且x≠0,又已知xy0，所以y≠0,所以y0,所以x0.所以x
-y1⎛1⎫
=x∙-y=x∙-⎪y=--yx2x⎝x⎭
20.对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（）
A.
2
=a+
b=a+b
a2+
b22
=a+b
解：
对于A有
a+=
）a）+2
2
2
a∙b+
）=a+b+2
ab
对于B有取a=1,b=1代入，则a2+b2=2，而a+b=2，所以不对。
对于C有对于D有
a
2
+b2=a2+b2=a2+b2，成立。
2
a+b2
⎧a+b当（a+b≥0时）
=a+b=⎨
⎩-a-b当（a+b0时）
21.）
A.它是一个非负数B.它是一个无理数C.它是最简二次根式D.它的最小值为3
解：
A,二次根式都是非负数；B，只有当
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