62余弦正切余切函数的图象和性质15.docx

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62余弦正切余切函数的图象和性质15

标准教案

首页编号

学

科

数学

第六章：

三角函数的图象和性质

第2节：

余弦函数的图象和性质

教研组长

审批签字

授课时数

4

授课时间

6.8-9

授课班级

教材分析

1．复习函数的性质．2．研究正弦函数的性质．

3．类比正弦函数的性质，请学生写出余弦函数的性质．

4．两个函数的性质比较．5．课堂练习．

教学目标

1．掌握正弦函数、余弦函数的性质．

2．通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形结合的思想．

重点、难

点和关键

重点是正弦,余弦函数的性质．

难点是函数的周期性．

授课方式、

方法及手段

讲练结合首先研究正弦函数的性质，在讲完正弦函数性质的基础上，引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识

课外作业

教材P178习题1-5

教学回顾

由学过的函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．

来引导出本节的知识内容。

教学方法、过程及主要内容

教学意图

时间

一、复习函数的性质

以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：

函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．

二、正弦函数和余弦函数的性质

（一）正弦函数的性质

讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在研究正弦函数的性质前，先画出y＝sinx的图象．（画此图象时，为了观察准确，应多画几个周期．）

从图象上可以观察出：

1．定义域：

x∈R．

2．值域：

y∈［-1，1］

3．周期性：

正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期．

4．增减性：

从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，

5．最值：

最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例

取到最小值．

函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．

6．奇偶性：

正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数．这点可以用代数方法证明如下：

设f（x）=sinx．因为

sin（-x）=-sinx，

即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数．

7．对称性：

从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？

（引导学生将y轴左移或右移7π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观

的，这是由它的周期性而来的．

在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正．

（三）、余弦函数的性质

画出y＝cosx图象．

1．定义域：

x∈R．

2．值域：

y∈［-1，1］．

3．周期性：

余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期．

4．增减性：

从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而增大．

5．最值：

当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值．

6．奇偶性：

余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明．

（k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=kπ，k∈Z都是对称轴．

至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思考．

当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，如图5．

所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．

由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响．

三、课堂练习

例1 说出y=sinx（x∈R+）的性质．

解 先画出函数图象，再根据图象进行分析．

（注意此函数的定义域对图象的影响）

由图象可知，

定义域：

x∈R+．

值域：

y∈［-1，1］．

奇偶性：

从图象上可以看出它非奇非偶．另外，定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶．

周期性：

它是周期函数，T=2kπ（k∈N）是它的周期，最小正周期为2π．

对称性：

y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，对称

中心，对称中心是（kπ，0），k∈N．

通过这道例题，对正弦函数性质进行了的复习，从中可以看出定义域对函数性质的影响．

例2

由图象去分析函数性质．

定义域：

x∈R．

值域：

y∈［0，1］．

k∈Z时，y取最大值1．

奇偶性：

是非奇非偶函数（图象既不关于y轴对称，又不关于原点呈中心对称）．

周期性：

最小正周期为2π．

的增大而减小．

从此题可以让学生初步看到纵伸缩，纵向平移变换不改变对称性，定义域，增减区间等，但函数的某些性质发生了变化．

需要强调的是在分析函数的性质时，若能较为准确地画出图象，最好利用图象去做，有些函数性质也可以从代数变换中得到，一般较为繁杂．例如此题的函数值域可以用不等式变形来做：

再比如奇偶性的讨论：

奇非偶函数.

函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键．

四、小结

这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．

学习了函数性质，使我们对过去所学的知识有了新的认识．例如sin（α＋2π）＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性．还使我们能够处理一些新问题，例如：

解

在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响．有关这个问题在下节课还要详细分析．总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，也使我们对两个函数有了较为全面的了解．

五、作业：

P178….1-5．

板书设计

第六章：

三角函数的图象和性质

第6节：

余弦函数的图象和性质

1.正弦函数的图象和性质

2.余弦函数的图象和性质

3.课堂小结

4.作业