函数的定义域测试题含答案.docx

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函数的定义域测试题含答案

函数的定义域测试题（含答案）

高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二.教学目标：

理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三.教学重点：

函数性质的运用．

四.教学难点：

函数性质的理解。

［学习过程］

一、知识归纳：

1.求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法：

①换元法（注意新元的取值范围）

②待定系数法（已知函数类型如：

一次、二次函数、反比例函数等）

③整体代换（配凑法）

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2.求函数的定义域

求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

3.求函数值域（最值）的一般方法：

（1）利用基本初等函数的值域；

（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）

（4）函数的单调性：

特别关注的图象及性质

（5）部分分式法、判别式法（分式函数）

（6）换元法（无理函数）

（7）导数法（高次函数）

（8）反函数法

（9）数形结合法

4.求函数的单调性

（1）定义法：

（2）导数法：

（3）利用复合函数的单调性：

（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；

（5）求函数单调区间的常用方法：

定义法、图象法、复合函数法、导数法等

（6）应用：

比较大小，证明不等式，解不等式。

5.函数的奇偶性

奇偶性：

定义：

注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。

f（x）－f（－x）＝0f（x）＝f（－x）f（x）为偶函数；

f（x）+f（－x）＝0f（x）＝－f（－x）f（x）为奇函数。

判别方法：

定义法，图象法，复合函数法

应用：

把函数值进行转化求解。

6.周期性：

定义：

若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。

其他：

若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.

应用：

求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析

例1.若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}求从集合A到集合B的映射的个数。

分析：

解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：

设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。

这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。

对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝2•2•2＝8个。

例2.线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。

解：

1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，

x2＝22+y2－4ycos∠AMB①

（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB）②

①+②x2+（6－x）2＝2y2+8∴y2＝x2－6x+14

又x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴

又三点A、B、C能构成三角形

∴1＜x＜5

2°若三点A、B、C共线，由题意可知，

x+4＝6－x，x＝1或4+6－x＝xx＝5

综上所述：

说明：

第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。

第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3.设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。

解：

（1）当x≤－1时，设f（x）＝x+b

∵射线过点（－2，0）∴0＝－2+b即b＝2，∴f（x）＝x+2

（2）当－1∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a•（－1）2+2，即a＝－1

∴f（x）＝－x2+2

（3）当x≥1时，f（x）＝－x+2

综上可知：

f（x）＝作图由读者来完成。

例4.求下列函数的定义域

（1）

（2）

解：

（1）

∴x≥4或x≤－1且x≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪4，+∞]

（2），则

∴0∴－3≤x＜－2或5＜x≤6即定义域为－3，－2]∪（5，6）

说明：

求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：

若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。

求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f（x）的定义域为－1，4]，求的定义域。

解：

，则

又，∴或

则或即为所求函数的定义域。

说明：

此题实质上是求复合函数的定义域，我们把看成是由y＝f（u）、两个函数复合而成的，因为－1≤u＜4，则，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。

例5.若对于任何实数x，不等式：

恒成立，求实数a的取值范围。

解：

令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为

5－3xx＜1

f（x）＝3－x1≤x≤2

3x－5x＞2

作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。

说明：

该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。

另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6.求函数的值域。

解：

令，则13－4x＝t2

∴

该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。

说明：

对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令

转化为关于t的二次函数在区间0，+∞）上的最值来处理。

这里要注意t≥0的范围不能少。

如：

已知f（x）的值域为，试求函数的值域。

该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。

如求函数的值域，若令，则x无法用t来表示。

这里我们如果注意到x的取值范围：

－2≤x≤2，则－1≤≤1的话，我们就可以用三角换元：

令θ∈0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了。

同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例7.求下列函数的最值。

（1）

（2）

解：

（1）先求出函数的定义域：

∴－2≤x≤7，又在区间－2，7]上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增。

当x＝－2时，；当x＝7时，

（2）∵≥0∴y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：

y2＝x2（1－x2）≤，又y≥0∴，。

说明：

对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。

在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。

例8.设a＞0，x∈－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

解：

∵a＞0，∴＜0，又定义域为－1，1]

∴x＝1时，即－1－a+b＝－1∴a－b＝0

下面分a的情形来讨论：

1°当0＞≥－1即0＜a≤2时，

当时，即，则

∴a2+4a－4＝0，

又a∈（0，2）∴，则

2°当＜－1，即a＞2时，当x＝－1时

∴－1+a+b＝1，a+b＝2又a＝b∴a＝1与a＞2矛盾，舍去

综上所述：

x＝1时，，时。

例9.已知函数y＝f（x）＝（a，b，c∈R，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f

（1）

（1）试求函数f（x）的解析式；

（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

解：

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），即

∴c＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f（x）＝≥2，

当且仅当x＝时等号成立，于是2＝2，∴a＝b2，

由f

（1）＜得＜即＜，∴2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+

（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则

消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1±

∴y＝f（x）的图象上存在两点（1+，2），（1－，－2）关于（1，0）对称

例10.已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>f（0）对所有θ∈［0，］都成立？

若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由

解：

∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>f（2mcosθ－4m），

即cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ+2m－2>0

设t＝cosθ，则问题等价地转化为函数

g（t）＝t2－mt+2m－2＝（t－）2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正

∴当0m>1与m当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m）＝－+2m－2>0

4－2当>1，即m>2时，g

（1）＝m－1>0m>1∴m>2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2

另法（仅限当m能够解出的情况）cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0，］恒成立，

等价于m>（2－cos2θ）/（2－cosθ）对于θ∈［0，］恒成立

∵当θ∈［0，］时，（2－cos2θ）/（2－cosθ）≤4－2，

∴m>4－2

例11.设a为实数，记函数f（x）＝a的最大值为g（a）。

（1）设t＝，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；

（2）求g（a）；

（3）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.

解：

（1）∵t＝

∴要使t有意义，必须有1+x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1.

∵t2＝2+2∈2，4]，t≥0……①

∴t的取值范围是，2]由①得＝x2－1

∴m（t）＝a（t2－１）＋t＝at2+t－a，t∈，2]

（2）由题意知g（a）即为函数m（t）＝at2+t－a，t∈，2]的最大值.

注意到直线t＝－是抛物线m（t）＝at2+t－a的对称轴，分下列情况讨论.

当a>0时，函数y＝m（t），t∈，2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t＝－∴g（a）＝m

（2）＝a+2.

当a＝0时，m（t）＝t，t∈，2]，∴g（a）＝2.

当a若有t＝－∈0，]，即a≤－，则g（a）＝m（）＝.

若有t＝－∈（，2），即a∈，则g（a）＝m（－）＝－a－.

若有t＝－∈0，]，即a∈，则g（a）＝m

（2）＝a+2.

综上有g（a）＝

（3）当a>－时，g（a）＝a+2>>，

当时，－a∈，∈，所以，

g（a）＝>2＝.因此当a>－时，g（a）>.

当a>0时，>0，由g（a）＝g（）知a+2＝+2解得a＝1.

当a要使g（a）＝g（），必须有a≤－或≤－，即－≤a≤－

此时g（a）＝＝g（）.

综上知，满足g（a）＝g（）的所有实数a为：

－≤a≤－或a＝1.

【模拟试题】

（一）选择题

1.设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（75）等于（）

A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5

2.已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）A.（2，3）B.（3，）C.（2，4）D.（－2，3）

3.若函数f（x）＝（x≠）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于（）

A.－3B.C.－D.3

4.设函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，在x≤1时，f（x）＝（x+1）2－1，则x>1时f（x）等于（）

A.f（x）＝（x+3）2－1B.f（x）＝（x－3）2－1

C.f（x）＝（x－3）2+1D.f（x）＝（x－1）2－1

5.函数的值域是（）

A.（－∞，1）B.1，+∞]C.（0，1）D.0，1]

6.的值域是（）

A.y≥－2B.y≤－2C.y∈RD.y≥0

（二）填空题

7.若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（－3）＝0，则xf（x）8.如果函数f（x）在R上为奇函数，在（－1，0）上是增函数，且f（x+2）＝－f（x），试比较f（），f（），f

（1）的大小关系_________。

（三）解答题

9.

（1）已知f（x）是一次函数，且ff（x）]＝4x－1，求f（x）的解析式；

（2）已知，求f（x）的解析式；

10.若函数的定义域为R，试求实数k的取值范围。

11.求下列函数的值域

（1）

（2）

12.定义在（－∞，4）上的减函数f（x）满足f（m－sinx）≤f（－+cos2x）对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围。

13.已知函数y＝f（x）＝（a，b，c∈R，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f

（1）

（1）试求函数f（x）的解析式；

（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

14.已知函数y＝f（x）是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，又知y＝f（x）在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x＝2时，函数取得最小值，最小值为－5。

（1）证明f

（1）+f（4）＝0；

（2）试求y＝f（x），x∈［1，4］的解析式；

（3）试求y＝f（x）在［4，9］上的解析式。

【试题答案】

1.B2.A3.D4.B5.C6.A

7.（－3，0）∪（0，3）

8.f（）＜f（）＜f

（1）

9.

（1）或f（x）＝－2x+1

（2）

10.0≤k＜

11.解：

（1）（－∞，lg5）

（2），]

对x∈R恒成立

∴m∈［，3］∪{}

13.解：

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），即

∴c＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f（x）＝≥2，

当且仅当x＝时等号成立，于是2＝2，∴a＝b2，

由f

（1）＜得＜即＜，∴2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+。

（2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）图象上，则

消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1±。

∴y＝f（x）图象上存在两点（1+，2），（1－，－2）关于（1，0）对。

14.

（1）证明：

∵y＝f（x）是以5为周期的周期函数，

∴f（4）＝f（4－5）＝f（－1），

又y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，∴f

（1）＝－f（－1）＝－f（4），∴f

（1）+f（4）＝0

（2）解：

当x∈［1，4］时，由题意，可设

f（x）＝a（x－2）2－5（a≠0），由f

（1）+f（4）＝0

得a（1－2）2－5+a（4－2）2－5＝0，

解得a＝2，∴f（x）＝2（x－2）2－5（1≤x≤4）

（3）解：

∵y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，

∴f（0）＝－f（－0），∴f（0）＝0，

又y＝f（x）（0≤x≤1）是一次函数，

∴可设f（x）＝kx（0≤x≤1），

∵f

（1）＝2（1－2）2－5＝－3，f

（1）＝k•1＝k，∴k＝－3

∴当0≤x≤1时，f（x）＝－3x，

当－1≤x＜0时，f（x）＝－3x，

当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1，∴f（x）＝f（x－5）＝－3（x－5）＝－3x+15，

当6＜x≤9时，

1＜x－5≤4，f（x）＝f（x－5）＝2［（x－5）－2］2－5＝2（x－7）2－5

∴f（x）＝