储油罐的变位识别与罐容表标定.docx
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储油罐的变位识别与罐容表标定
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本题主要研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
通过对小椭圆型储油罐和典型实际储油罐无变位、变位（罐体位置发生纵向倾斜和横向偏转等变化）等情况进行分析，运用高等数学中微积分的相关知识建立模型，并通过matlab编程求解。
问题一:
研究小椭圆型储油罐罐体纵向变位后对罐容表的影响。
运用高等数学中微积分的知识分别求解罐体无变位和倾斜角为
纵向变位时的罐内储油量，建立反应罐内油位高度与储油量关系的数学模型。
通过matlab求解出无变位和变位时油位高度和油量的理论值，然后通过三阶多项式拟合消除系统误差，从而得到修正后的数学模型，并求出修正后的理论值。
与给出的实际值进行比较，分析得出罐体变位后对罐容表的影响。
并通过修正后的模型较精确的计算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（见表1）。
问题二：
要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型。
将实际储油罐近似看为一个主体为圆柱体，两端为球冠体的模型，对于变位后的油罐，通过分析
、角与各边长之间的关系运用球体，柱体的基本数学知识及微积分相关知识求解出储油量和罐内油位高度及变位参数（纵向倾角
和横向偏转角）的分段函数，建立数学模型，然后根据给出的实际检测数据用最小二乘法找出最接近实际数据的变位参数。
关键词：
一、问题重述
对于加油站储存燃油的地下储油罐，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
需要定期对罐容表进行重新标定。
本题主要研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据对模型的正确性与方法的可靠性分析检验。
二、模型假设
假设一：
数据是储油罐的内壁参数。
假设二：
计算结果在误差允许范围内
假设三：
忽略温度、压力对汽油的密度的影响。
假设四：
储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。
假设五：
对卧式储油罐来说，不考虑其长期埋在地下所发生的蠕变。
假设六：
累加进出油量数据是准确可靠的。
假设七：
纵向倾斜角α、β小于9°。
三、符号说明
四、问题分析
问题一：
本题主要研究小椭圆型储油罐罐体纵向变位后对罐容表的影响。
将小椭圆型储油罐近似看为圆柱体，对于无变位的罐体，运用高等数学中椭圆方程的基本知识和微积分的知识求解出储油量和油罐内油位高度的函数关系表达式，运用matlab求解得出理论值。
对于倾斜角为
纵向变位后的油罐，根据罐内油位范围不同分为三个部分（见图2），通过分析
角与各边长之间的关系根据微积分的知识求出储油量和罐内油位高度的分段函数，建立模型，通过matlab求解出理论值，将理论值与所给的实际值相比较，得出其相对误差。
然后通过三阶多项式拟合消除系统误差，从而得到修正后的模型，分析得出罐体变位后对罐容表的影响。
然后通过修正后的模型较精确的计算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
问题二:
本题主要要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型（即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系），然后根据给出的实际检测数据确定变位参数。
将实际储油罐近似看为一个主体为圆柱体，两端为球冠体的模型，对于变位后的油罐，根据管内油位范围不同分为五个部分（见图3），通过分析
，角与各边长之间的关系根据微积分的知识求出储油量和罐内油位高度及变位参数的分段函数，建立数学模型，
五、模型建立与求解
5.1.1求解油罐内油位高度与储油量的对应关系
（1）无变位油罐内油位高度与储油量对应关系
无变位时，罐内储油量所占空间为柱体，设柱体底面面积为S,柱体长度为L,则其体积
V=SL
（1）
以椭圆的下顶点为原点，建立坐标系，则底面椭圆公式为
（2）
如图1所示
设罐内油位高度为h，则底面面积S为
（3）
储油量体积
（4）
（2）倾斜角为
纵向变位油罐内油位高度与储油量对应关系
油罐发生纵向偏转时，油罐中油所占空间为一倾斜柱体，根据罐内油位高度不同分为三个部分（见图2），设油位高度为h，对于一个给定的
，其在空间坐标系中的坐标为
。
第一部分：
当
时（分为2个小部分）
1.当
时
（5）
2.当
时
（6）
由数学关系可得
（7）
将（7）代入（6）可得
（8）
第二部分：
当
时
（9）
此时h和
仍满足（7），将（7）代入（9）可得
（10）
第三部分：
当
时
（11）
根据数学关系可得
（12）
（13）
将（12）、（13）代入（11）可得
（14）
由于油位探针可测得的最大高度为1.2，所以当油位高度达到1.2后罐内油量继续增加时，油位高度不再发生改变。
由上述公式知，油罐的变位会对罐容表（罐内油高与储油量的对应关系），产生较大的影响。
5.1.2应用试验数据对理论关系式进行修正
（1）无变位时，根据储油量与油位高度的关系公式（4）
可以计算出储油量的理论值，由于理论储油量和实测数据之间存在一定的系统误差，所以我们用线性回归方式得到修正系数
=1.0349。
因此，无变位储油量理论值的修正计算公式为
（15）
用式（15）计算出修正后的油量体积和油位高度，然后和实测值进行比对，计算出误差，得到平均误差为0.0016%，达到了较好的计算精度，用matlab画出无变位时的油量与油位高度的关系对比图。
参考数据见附表1。
（2）倾斜角为
°纵向变位时，因为存在由于仪表不准确、罐体变形或者进油出油管道和仪表占据一定的容积等问题导致原始读数不准确而产生的系统误差。
为了提高计算精度，使理论值更加接近实际值，我们把给出的实际储油量与理论储油量进行比较，用三阶多项式拟合储油量差值和油高。
在一定程度上消除了系统误差。
三阶多项式为
（16）
利用公式（16）对系统误差进行修正。
误差曲线拟合图如下
变位后由于只涉及模型中第二种情况，故其它两种情况不予考虑。
修正后的储油量体积与油位高度的关系式为
（17）
°，用式（17）计算出修正后的油量体积和油位高度，然后和实测值进行比对，计算出误差，得到平均误差为0.0919%，达到了较好的计算精度，用matlab画出变位后的油量与油位高度的关系对比图。
参考数据见附表2。
由所建模型可以得出罐体变位后对罐容表有很大影响，根据所建模型求解出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值如下表所示。
变位后小椭圆型储油罐罐容表
油高/cm
油量/L
油高/cm
油量/L
油高/cm
油量/L
0.00
1.67
41.00
960.41
82.00
2660.04
1.00
3.53
42.00
996.84
83.00
2702.59
2.00
6.26
43.00
1033.72
84.00
2744.99
3.00
9.97
44.00
1071.04
85.00
2787.21
4.00
14.76
45.00
1108.78
86.00
2829.24
5.00
20.69
46.00
1146.92
87.00
2871.07
6.00
27.85
47.00
1185.45
88.00
2912.67
7.00
36.32
48.00
1224.34
89.00
2954.04
8.00
46.14
49.00
1263.59
90.00
2995.15
9.00
57.39
50.00
1303.17
91.00
3035.99
10.00
70.13
51.00
1343.07
92.00
3076.53
11.00
84.40
52.00
1383.28
93.00
3116.76
12.00
100.25
53.00
1423.78
94.00
3156.67
13.00
117.75
54.00
1464.56
95.00
3196.22
14.00
136.92
55.00
1505.60
96.00
3235.41
15.00
248.65
56.00
1546.88
97.00
3274.20
16.00
263.84
57.00
1588.39
98.00
3312.58
17.00
280.50
58.00
1630.13
99.00
3350.53
18.00
298.51
59.00
1672.06
100.00
3388.02
19.00
317.77
60.00
1714.18
101.00
3425.03
20.00
338.18
61.00
1756.48
102.00
3461.53
21.00
359.71
62.00
1798.94
103.00
3497.50
22.00
382.27
63.00
1841.54
104.00
3532.90
23.00
405.83
64.00
1884.27
105.00
3567.72
24.00
430.33
65.00
1927.13
106.00
3601.91
25.00
455.74
66.00
1970.08
107.00
3635.44
26.00
482.02
67.00
2013.13
108.00
3668.29
27.00
509.13
68.00
2056.26
109.00
3700.40
28.00
537.04
69.00
2099.44
110.00
3731.74
29.00
565.72
70.00
2142.67
111.00
3762.27
30.00
595.14
71.00
2185.94
112.00
3791.92
31.00
625.27
72.00
2229.23
113.00
3820.64
32.00
656.08
73.00
2272.52
114.00
3848.37
33.00
687.56
74.00
2315.81
115.00
3875.01
34.00
719.67
75.00
2359.07
116.00
3900.48
35.00
752.39
76.00
2402.29
117.00
3924.62
36.00
785.71
77.00
2445.46
118.00
3976.66
37.00
819.59
78.00
2488.57
119.00
3995.54
38.00
854.02
79.00
2531.60
120.00
4012.74
39.00
888.98
80.00
2574.53
40.00
924.45
81.00
2617.35
5.2.1求解罐内储油量与油位高度及纵向倾角及横向偏转角β之间的函数关系。
将实际储油罐近似看为一个主体为圆柱体，两端为球冠体的模型，对于变位后的油罐，根据管内油位范围不同可分为五个部分（见图3）。
图3中，
为区域Ⅰ中油位线与左圆弧的焦点，
=2，
为区域Ⅰ中油位线与z轴的交点，
=9，
为区域Ⅴ中油位线与右圆弧的交点，
为区域Ⅴ中油位线与直线y=3的交点。
设变位前，储油罐内油高为h,变为后实际油高为
（见图4）。
则有
（17）
由以上条件可得：
，
，
，
，
，
由于罐体的倾斜主要是由地基变形导致的，倾斜角α、偏转角β的值不会很大，故假设均小于9度。
在此情况下，建立油位高度与储油量关系的模型可分为五个部分。
第一部分：
（18）
第二部分：
（19）
第三部分:
（20）
第四部分：
（21）
第五部分：
（22）
运用matlab编程，计算出油高和储油量的理论关系
六、模型评价与推广
优点：
在一定程度上消除了系统误差，使所建模型更加精准和符合实际。
缺点：
在模型一中由于只给定了第二种情况的实验数据，导致无法对其它两种情况进行修正，使得模型不够全面。
推广：
七、参考文献
【1】薛山，MATLAB基础教程.清华大学出版社，2011
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