北师大版数学八年级下册第一章《三角形的证明》单元检测题A.docx
《北师大版数学八年级下册第一章《三角形的证明》单元检测题A.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学八年级下册第一章《三角形的证明》单元检测题A.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北师大版数学八年级下册第一章《三角形的证明》单元检测题A
2016--2017学年度第二学期北师版数学八年级单元检测题
第一章《三角形的证明》A
一．选择题（共12小题）
1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20w
2．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）【
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
3．（2016•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）【
A．40°B．30°C．70°D．50°
4．（2015•菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
5．（2013•西宁）使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等D．两条边对应相等
6．（2015•湖北）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（ ）
A．
B．1C．
D．2
7．（2015•随州）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．（2014•茂名）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点
9．（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC
10．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
11．（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）
A．有且只有1个B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
12．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
二．填空题（共6小题）
13．（2015•广元）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
15．（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．
16．（2015•徐州）如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．
17．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
18．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2016•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
20．（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：
OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
21．（2016•台湾）如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
22．（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
23．（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
24．（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证
已知：
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证：
．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
25．（2016•柳州）求证：
等腰三角形的两个底角相等
（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）
已知：
求证：
证明：
26．（2016•菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：
AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：
AE=2
CM+
BN．
2017年01月12日教育人生的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解：
①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
2．【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=
∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
解：
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=
∠A=
×30°=15°．
故选A．
3．【分析】根据AD∥BC可得出∠C=∠1=70°，再根据AB=AC即可得出∠B=∠C=70°，结合三角形的内角和为180°，即可算出∠BAC的大小．
解：
∵AD∥BC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°．
故选A．
4．【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
解：
∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°．
故选：
B．
5．【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
解：
A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：
D．
6．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=
CE=1
解：
∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE=
CE=1．
故选B．
7．【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC
解：
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
8．【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
解：
∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选A．
9．【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．【来源
解：
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，EB=DE，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），
故选：
C．
10．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可
解：
作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=
BC•EF=
×5×2=5，
故选C．
11．【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD．
解：
作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB=CD，
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．
故选D．
12．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
解：
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，
∴7=
×4×2
×AC×2，
∴AC=3．
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
解：
分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2=4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：
12．
14．【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度
解：
∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∵∠F=30°，
∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴直角△DBE中，BE=2DE=2．
故答案是：
2．
15．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．
解：
∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．
故答案为：
6．
16．【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
解：
∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE=
∠ABC=
（180°﹣31°﹣∠A）=
（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠DBE=
∠ABC=
（149°﹣∠A）=∠C=31°，
∴∠A=87°．
故答案为：
87．
17．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．2-1-c-n-j-y
解：
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=
∠ABC=30°，
∴BC=
AB=3，
∴CD=BC•tan30°=3×
=
，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD=
，
故答案为：
．
18．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
解：
过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是
×DE×BC=
×10×3=15，
故答案为：
15．
三．解答题
19．【分析】由AB=AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD
解：
△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
20．【分析】
（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；2·1·c·n·j·y
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．
21．【分析】求出∠B、∠C、∠DAC的度数，根据等腰三角形的判定方法以及30度直角三角形的性质即可解决问题．
解：
∵∠4=60°，∠1=30°，
根据三角形外角定理可得：
∠ABD=∠4﹣∠1=60°﹣30°=30°=∠1．
∴BD=AD．
∵∠ABD=30°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°﹣∠4﹣∠C=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD．
22．【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
解：
∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE=
∠CAB=
（90°﹣∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAE=
∠CAB=
（90°﹣∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
答：
若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
23．【分析】
（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
证明：
（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
24．【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论
解：
已知：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：
PD=PE．
故答案为：
PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
25．【分析】充分理解题意，利用等腰三角形的性质，要根据题意画图，添加辅助线来证明结论．
解：
已知：
△ABC中，AB=AC，
求证：
∠B=∠C；
证明：
如图，过D作BC⊥AD，垂足为点D，
∵AB=AC，AD=AD，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B=∠C．
26．【分析】
（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用
（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．
（1）①证明：
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
②解：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，
∴∠CDM=∠CEM=
×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，
∴DE=2DM=2×
=2
CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，
∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，
∴BE=
=
BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE=
BN+2
CM．
升级会员 